玻耳兹曼统计经典课件

1热统2热统1、粒子经典运动状态a.代数描述),,,(11rrppqqb.几何描述粒子相空间（空间）“代表点”在量子力学中，微观粒子的运动状态为量子态。2、粒子量子运动状态量子态由一组量子数表征。3、简并度ω一个能级对应的不同的量子态的数目。一、粒子微观运动的描述第六章回顾3热统4、与经典描述之间的关系对于宏观大小的容积，是很小的量，量子描述趋近于经典描述。由于不确定关系，。即在体积元h内的各运动状态，它们的差别都在测量误差之内，即被认为是相同的！以一维自由粒子为例，其相空间的体积元为。pxhpxpxoLpxppxx一个量子态对应粒子相空间的一个h大小的体积元（相格）。4热统二、系统微观运动的描述1、全同和近独立粒子的宏观系统全同粒子具有相同物理性质（质量、电荷，自旋等）的微观粒子近独立粒子粒子之间的相互作用可以忽略不计。iNiE1系统粒子数N能量2、经典微观系统的运动状态粒子可分辨。系统的微观状态确定，每个粒子的微观状态确定。Nr个广义坐标和Nr个广义动量都确定。5热统几何表示：μ–空间N个代表点。玻耳兹曼分布、玻耳兹曼粒子。3、量子系统的微观状态粒子不可区分，只知道几个粒子在哪个量子态，不知道哪几个粒子在这个量子态。泡利不相容原理：自旋半整数的粒子，在一个量子态不可能有一个以上的粒子。自旋整数的粒子，不受泡利原理限制－玻色分布、玻色粒子。自旋整半数粒子－费米分布、费米粒子。光子(自旋1)、声子(自旋1)、等电子、质子、夸克等（自旋1/2）6热统4、分布的定义VNE,,12l12lla2a1a能级简并度粒子数确定的宏观态la表示一个分布，满足;,EaNalllll分布对应的微观态数A.玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布）lallllBMlaNa!!}{.B.玻色分布lllllEBaa)!1(!)!1(.C.费米分布lllllDFaa)!(!!.leall1leall7热统1leall1eleall玻色分布和费米分布趋向于玻耳兹曼分布。满足经典极限条件时，玻色（费米）系统中的近独立粒子在平衡态遵从玻尔兹曼分布。8热统定域粒子组成的系统，如晶体中的原子或离子定域在其平衡位置附近作微振动。从其量子本性来说不可分辨，但可以根据其平衡位置而加以区分。在这意义下可以将定域粒子看做可以分辨的粒子，因此由定域粒子组成的系统（定域系统）遵从玻尔兹曼分布。玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布）lallllBMlaNa!!}{.leall;,EaNalllll9热统一、玻耳兹曼分布leallleaNllll00leaUllllll00令leZll01eZN1则叫配分函数1ZNe§7.1热力学量的统计表达式10热统二、热力学量1.内能leUlll0)(0leell)(11ZZN1lnZN2.功dQdWdU01l'la'0'1'lla能级不变分布变能级变分布不变01lla0lllaU统计表达式11热统00lllllldadadU能级不变分布变能级变分布不变能级的值，是力学方程在指定的边界条件下的解。l力学系统不变，方程不变，能级变，只有边界条件变。改变边界，即做功。外界对系统的力lllayYleylll)1(leyell111ZyZNyZN1ln1VZNp1lnlllaydyYdylllad每个粒子受力：yfll功广义力统计表达式12热统3.熵dSTYdydUTdQYdydUdQdyyZNZNd11ln1)ln(dyyZNZdNYdydU11ln)ln()(由得等式两边同乘β：),(11yZZ而leZll01yfll且所以13热统dyyZdZZd111lnlnln11ln(ln)ZdNZNdSTYdydUTdQkT111ln(ln)ZNdSdZT熵)ln(ln11ZZNkSdyyZNZdNYdydU11ln)ln()(11ln(ln)ZNkdZ其中令求全微分之前求得由得到14热统三、熵的统计意义)ln(ln11ZZNkSUkZNk1lnUkNkNNkln]ln[UNNNk[ln()]lllkNNaleall]lnlnln[llllllaaaNNklnkS玻尔兹曼关系1lnZUN0llNa0lllUa1ZNeNZlnln1lnllla15热统1lnZNU说明：1、统计意义，熵——混乱度——微观状态数2、满足经典极限条件的不可分辨（玻色，费米）系统yZNY1ln1VZNp1ln!ln)ln(ln11NkZZNkS!ln.NkSBM......!DFBMEBNlnkS对于玻色、费米分布16热统自由能TSUF)ln(lnln111ZZTNkZN1lnZNkT1lnln!NkTZkTN对于定域系统满足经典极限条件的玻色、费米系统TSUF111lnln(ln)ln!ZZNTNkZkTN17热统四、经典统计表达式所有热力学量都可以通过配分函数表示。经典表达式0llrhleZll01lehlrl00rhdeZ01rrrpqhdpdpdqdqe011],[18热统h0对经典统计结果的影响1lnlllZUaN1ln1lllZYaNyy!ln)ln(ln11NkZZNkS与h0无关与h0有关0lllraeh对经典分布1ZNe10lllrNaeZh不含有0rh19热统一、理想气体气体分子之间的相互作用势能被忽略。)(21222zyxpppm3r222()213xyzpppxyzmdxdydzdpdpdpZeh二、配分函数zmpympxmpdpedpedpedxdydzhzyx222322212/321)2(hmVZ§7.2理想气体的物态方程20热统VZNp1ln三、物态方程)]2ln(23[ln2hmVVNVNkTp四、内能1lnZNU)]2ln(23[ln2hmVNNkTU23经典极限条件1e1ZNe32221aVmkTeNh经典条件下：1、N/V愈小，即气体愈稀薄2、温度愈高3、分子的质量愈大21热统01lla能量分布0v1vlv?lb速度分布lehall3出发点：)(21222zyxpppm§7.3麦克斯韦速度分布率一、思路22热统二、速度分布率la是能量在粒子数目，求动量在zzzyyyxxxdpppdpppdppp,,中粒子数目，对空间积分llehall32/321)2(hmVZ1ZNe2/323)2(hmVNehdpdpdxdydzdpalzyxVlzyxpppmkTdpdpdpemkTNzyx)(212/3222)21(23热统zzzyyyxxxdvvvdvvvdvvv,,在速度区间的粒子数222()3/22(,,)()2xyzmvvvkTxyzxyzxyzmfvvvdvdvdvNedvdvdvkTzzzyyyxxxdvvvdvvvdvvv,,单位体积内在速度区间的粒子数222()3/22(,,)()2xyzmvvvkTxyzxyzxyzmfvvvdvdvdvnedvdvdvkT即麦克斯韦速度分布率(,,)xyzxyzfvvvdvdvdvnNnV为单位体积内粒子数24热统三、速率分布速率与方向无关，故需对上式进行角度积分。223/222(,,)sin4()()2mvkTfvvdvddmNevdvfvdvkT23/22200()4()2mvkTmfvdvNevdvNkT物理含义：粒子速率在v-v+dv之间的粒子数目25热统四、特征速率最概然速率：使速率分布函数取极大值的速率；把速率分为相等的间隔，vm所在间隔分子数最多。23/222()[4()]02mvkTfvmNevvvkT0][222vevkTmvmkTvm20]2)[(222mmmkTmvvvkTmvem2RTM26热统用分布函数计算与速率有关的物理量在速率0~区间内的平均值vvvvvdd00)()()(ffWWdxxenInx20210202dxeIx21120xdxeIx2320422dxxeIx2302132dxxeIx27热统平均速率0()vfvdvvNdvvekTmkTmv322/32)2(4mkT8方均根速率2vvsdvvekTmvvkTmv222/3222)2(4mkT3mkTvs323/22204()2mvkTmvevdvkT8RTM3RTM28热统五、泻流v单位时间碰到单位面积器壁的粒子数＝单位时间从器壁上单位面积空洞逃逸的粒子－泻流4vnxyzxddAdTfdvdvdvdAvdtxxzyfdvvdvdv02223222202yzxmmmvvvkTkTkTyzxxmnedvedvvedvkT2122022xmvkTxxmnvedvkTkTnm29热统一、经典统计证明对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值为。kT21A.与动能有关部分2121iriipparrriiiihdpdpdqdqepaNpa1122211212221111221112iiiiapapriiriiirdqdqdpdpdpdpapedpeZh§7.4能量均分定理粒子的能量=动能+势能某一个方向的动能的平均值为：30热统11112rrrdqdqdpdpeZh2112kT2222111122111122iiiiapapriiriiiiirdqdqdpdpdpdpapapedpeZh221111221112iiiiapapriirirdqdqdpdpdpdpedpeZh222222121iiiipaiipaiiedpdpepa2222122iiiiapapiipeedp由于2212iiapiedp结果代入下式31热统B.与势能有关部分priiipqb'2112证明与上面同。二、经典统计理论的困难A.单原子分子理想气体)(21222zyxpppm