第3讲一元二次不等式及其解法

第3讲一元二次不等式及其解法【2013年高考会这样考】1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．2．考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题．3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．【复习指导】1．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．2．熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法．基础梳理1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象续表一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅3.用程序框图来描述求解一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的算法过程为一个技巧一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．双基自测1．(人教B版教材习题改编)不等式x2－3x＋2＜0的解集为()．A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)B．(－2，－1)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(1,2)解析∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2.故原不等式的解集为(1,2)．答案D2．(2011·广东)不等式2x2－x－1＞0的解集是()．A.－12，1B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.－∞，－12∪(1，＋∞)解析∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0，∴x＞1或x＜－12.故原不等式的解集为－∞，－12∪(1，＋∞)．答案D3．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()．A.x|x≠－13B.－13C.x|－13≤x≤13D．R解析∵9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≥0，∴9x2＋6x＋1≤0的解集为x|x＝－13.答案B4．(2012·许昌模拟)若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为x|－2＜x＜14，则ab＝()．A．－28B．－26C．28D．26解析∵x＝－2，14是方程ax2＋bx－2＝0的两根，∴－2a＝－2×14＝－12，－ba＝－74，∴a＝4，b＝7.∴ab＝28.答案C5．不等式ax2＋2ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________．解析当a＝0时，不等式为1≥0恒成立；当a≠0时，须{a＞0，Δ≤0，即{a＞0，a2－4a≤0.∴0＜a≤1，综上0≤a≤1.答案[0,1]考向一一元二次不等式的解法【例1】►已知函数f(x)＝{x2＋2x，x≥0，－x2＋2x，x＜0，解不等式f(x)＞3.[审题视点]对x分x≥0、x＜0进行讨论从而把f(x)＞3变成两个不等式组．解由题意知{x≥0，x2＋2x＞3或{x＜0，－x2＋2x＞3，解得：x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}．解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．【训练1】函数f(x)＝2x2＋x－3＋log3(3＋2x－x2)的定义域为________．解析依题意知{2x2＋x－3≥0，＋2x－x2＞0，解得x≤－32或x≥1，－1＜x＜3.∴1≤x＜3.故函数f(x)的定义域为[1,3)．答案[1,3)考向二含参数的一元二次不等式的解法【例2】►求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．[审题视点]先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集．解∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，得：x1＝－a4，x2＝a3.①a＞0时，－a4＜a3，解集为x|x＜－a4或x＞a3；②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；③a＜0时，－a4＞a3，解集为x|x＜a3或x＞－a4.综上所述：当a＞0时，不等式的解集为x|x＜－a4或x＞a3；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＜0时，不等式的解集为x|x＜a3或x＞－a4.解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练2】解关于x的不等式(1－ax)2＜1.解由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0，当a＝0时，x∈∅.当a＞0时，由ax(ax－2)＜0，得a2xx－2a＜0，即0＜x＜2a.当a＜0时，2a＜x＜0.综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；当a＞0时，不等式解集为x0＜x＜2a；当a＜0时，不等式解集为x2a＜x＜0.考向三不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．[审题视点]化为标准形式ax2＋bx＋c＞0后分a＝0与a≠0讨论．当a≠0时，有{a＞0，Δ＝b2－4ac＜0.解原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，从而有{a＋2＞0，Δ＝42－4a＋2a－1＜0，整理，得{a＞－2，a－2a＋3＞0，所以{a＞－2，a＜－3或a＞2，所以a＞2.故a的取值范围是(2，＋∞)．不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，{a＞0，Δ＜0；不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，{a＜0，Δ＜0.【训练3】已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解法一f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]．法二令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或{Δ＞0，a＜－1，g－1≥0.解得－3≤a≤1.所求a的取值范围是[－3,1]．规范解答12——怎样求解含参数不等式的恒成立问题【问题研究】含参数的不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于新课标对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势．对含有参数的不等式恒成立问题，破解的方法主要有：分离参数法和函数性质法．【解决方案】解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题．【示例】►(本题满分14分)(2011·浙江)设函数f(x)＝(x－a)2lnx，a∈R.(1)若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a；(2)求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．本题对于(1)问的解答要注意对于结果的检验，因为f′(x0)＝0，x0不一定是极值点；对于(2)问的解答可以采用分离参数求最值的方法进行突破，这样问题就转化为单边求最值，相对分类讨论求解要简单的多．[解答示范](1)求导得f′(x)＝2(x－a)lnx＋x－a2x＝(x－a)(2lnx＋1－ax)．(2分)因为x＝e是f(x)的极值点，所以f′(e)＝(e－a)3－ae＝0，解得a＝e或a＝3e.经检验，符合题意，所以a＝e或a＝3e.(4分)(2)①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f(x)≤0＜4e2成立．(5分)②当1＜x≤3e时，由题意，首先有f(3e)＝(3e－a)2ln(3e)≤4e2，解得3e－2eln3e≤a≤3e＋2eln3e(6分)由(1)知f′(x)＝x－a2lnx＋1－ax.(8分)令h(x)＝2lnx＋1－ax，则h(1)＝1－a＜0，h(a)＝2lna＞0，且h(3e)＝2ln(3e)＋1－a3e≥2ln(3e)＋1－3e＋2eln3e3e＝2ln3e－13ln3e＞0.(9分)又h(x)在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h(x)在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x0，则1＜x0＜3e,1＜x0＜a.从而，当x∈(0，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0.即f(x)在(0，x0)内单调递增，在(x0，a)内单调递减，在(a，＋∞)内单调递增．所以要使f(x)≤4e2对x∈(1,3e]恒成立，只要{fx0＝x0－a2lnx0≤4e2，1f3e＝3e－a2ln3e≤4e2，2成立．(11分)由h(x0)＝2lnx0＋1－ax0＝0，知a＝2x0lnx0＋x0.(3)将(3)代入(1)得4x20ln3x0≤4e2.又x0＞1，注意到函数x2ln3x在(1，＋∞)内单调递增，故1＜x0≤e.再由(3)以及函数2xlnx＋x在(1，＋∞)内单调递增，可得1＜a≤3e.由(2)解得，3e－2eln3e≤a≤3e＋2eln3e.所以3e－2eln3e≤a≤3e.(13分)综上，a的取值范围为3e－2eln3e≤a≤3e.(14分)．本题考查函数极值的概念，导数的运算法则，导数的应用，不等式的基础知识，考查学生推理论证能力．分析问题，解决问题的能力．难度较大，做好此类题目，一要有信心，二要结合题意进行恰当地转化，化难为易，化陌生为熟悉．【试一试】设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，求实数a的值．[尝试解答](1)若x＝0，则不论a取何值，f(x)＝1＞0恒成立．(2)若x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝31－2xx4，∴g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上