第3讲弹性

北京城市学院《国际特色班》高等数学第三讲——弹性理论第1页共7页第三讲弹性理论TheAnalysisofElasticity一、问题的引入引例：某企业生产某产品，已知需求函数为)50(10pQ(Q：件，p：元)．前面通过边际收入确定使收入最大的销售量和销售价格．得到结论：当0)(QMR时，即250Q件时，收入最高，最高收入为11875)250(R销售价格为5.47251.050p边际导数，指自变量增大一个单位时，因变量的改变量当边际＞0时，自变量增大会导致因变量增大当边际＜0时，自变量增大会导致因变量减小但若仅用绝对量不能完全体现变量的变化情况，有时还用相对量如原价2.5元的大米和25万元的汽车各涨价1元显然，大米和汽车涨价的绝对量相等，都是1元但两者的相对量差距极大：大米涨价幅度为%404.05.21，涨40%汽车涨价幅度为%0004.0000004.02500001，涨%0004.0两者相差甚大除了用绝对量表示一些量的改变量问题外，有必要用相对量表示一些量的改变问题于是引入弹性问题．二、准备知识——相对改变量引例：假设某产品的需求函数为pQ101000)1000(p(p：元；Q：件)当价格为20p元时，则相应的需求量80020101000Q件若价格从20元上涨到21元，需求量变为79021101000Q件12021p元【价格上涨1元】——价格【自变量】改变量的绝对量北京城市学院《国际特色班》高等数学第三讲——弹性理论第2页共7页%505.0201pp【价格上涨5%】——价格【自变量】改变量相对量10800790Q【需求量减少10件】——需求量【因变量】改变量的绝对量%25.10125.080010QQ【需求量下降1.25%】—需求量【因变量】改变量的相对量再如：当价格为40p元时，则相应的需求量60040101000Q件若价格从40元降到36元，需求量变为64036101000Q件44036p元【价格降低4元】——价格【自变量】改变量的绝对量%101.0404pp【价格下降10%】——价格【自变量】改变量相对量40600640Q【需求量增加40件】——需求量【因变量】改变量的绝对量%67.60667.060040QQ【需求量上升6.67%】—需求量【因变量】改变量的相对量一般：若需求函数)(pfQ，当价格为p时，需求量为Q若价格有一个改变量为p，需求量产生相应改变量)()(pfppfQ则：pp为价格改变量的相对量——百分比QQ为需求量改变量的相对量——百分比三、弹性——Elasticity1、弹性的含义弹性是物理学名词，指一物体对外部力量的反应程度经济学中体现因变量变化百分比对自变量变化百分比的反应程度2、弹性的分类任何一个函数都可以计算弹性，但我们重点讨论需求弹性和供给弹性四、需求弹性——Elasticityofdemand需求价格弹性，简称为需求弹性1、需求(价格)弹性定义北京城市学院《国际特色班》高等数学第三讲——弹性理论第3页共7页称ppQQp0lim为需求价格弹性，用dE表示，即：ppQQEpd0lim——需求量改变量的相对量／价格改变量的相对量，当价格改变量0时的极限2、需求(价格)弹性的计算QppQppQQppQQEpppd000limlimlim【由于lim下方变量为p，故求极限的变量为p，其中Q与p有关，而Qp,与p无关，提到极限符号的前面】pQQpp0lim【按照导数定义，dpdQpQp0lim】QQpdpdQQp即：QQpdpdQQpEd故需求弹性的定义式为：ppQQEpd0lim——用此解释弹性的经济意义需求弹性计算公式为：QQpdpdQQpEd——用于计算需求弹性【例1】已知某商品的需求函数为)10(500pQ)100(p(p：元；Q：件)，求：(1)需求（价格）弹性dE；(2)分别计算当价格为2、5、6元时的需求（价格）弹性．(3)说明(2)中所算值的经济意义；(4)为提高收入，应该涨价还是降价？调整到多少合适？北京城市学院《国际特色班》高等数学第三讲——弹性理论第4页共7页解：(1)ppppdpdQQpEd10)500()10(500(2)25.021021022ppdppE151051055ppdppE5.161061066ppdppE3、需求(价格)弹性的经济意义需求价格弹性经济意义由两部分组成——(1)符号；(2)数值(1)符号：1需求价格弹性符号都是“－”∵在需求价格弹性计算公式dpdQQpEd中0p，0Q，由于需求函数单减，则0dpdQ，故0dE∴需求价格弹性符号都是“－”2“－”的含义：∵在需求价格弹性计算公式dpdQQpEd中0p，0Q，由于0dE，只有0dpdQ，所以需求函数一定单减即：价格上升，需求量下降；价格下降，需求量上升也即：需求量与价格的变化方向相反一般：弹性为负：说明因变量与自变量变化方向相反；弹性为正：说明因变量与自变量变化方向相同．3思考：供给弹性为正还是负？为什么？(2)数值的含义北京城市学院《国际特色班》高等数学第三讲——弹性理论第5页共7页按照需求价格弹性定义：ppQQEpd0lim定义中要求0p，但实际问题中取分母1pp则QQQQppQQEpd1lim0可见，需求价格弹性也是一个近似值，但在谈经济意义时“近似”可以省略由于需求价格弹性中的分母、分子都是改变量的相对量，因而都用百分比表示分母、分子都添加百分号，看成分母变动1%时，分子变动QQ%dE的经济意义表述为——当价格为p时，若价格上升1%，需求量下降（近似）dE%当价格为p时，若价格下降1%，需求量上升（近似）dE%注意：是在dE的后面直接添加百分号，而不是将dE移动小数点，变成百分比的形式因为分母1%中的“%”也是人为添加的，属分子、分母同时添加“%”【例1】(3)25.02pdE的经济意义：当价格为2元时，若价格上升1%，需求量下降25.0%当价格为2元时，若价格下降1%，需求量上升25.0%15pdE的经济意义：当价格为5元时，若价格上升1%，需求量下降1%当价格为5元时，若价格下降1%，需求量上升1%5.16pdE的经济意义：当价格为6元时，若价格上升1%，需求量下降5.1%当价格为6元时，若价格下降1%，需求量上升5.1%(4)当2p时，125.0dE，此时价格若下降1%，需求量上升不足1%相反若价格上升1%，需求量下降不足1%北京城市学院《国际特色班》高等数学第三讲——弹性理论第6页共7页此时应涨价当6p时，15.1dE，此时价格若下降1%，需求量上升超过1%相反若价格上升1%，需求量下降超过1%此时应降价当5p时，1dE，此时价格若下降1%，需求量上升1%相反若价格上升1%，需求量下降1%此时的价格应不涨也不降，此时收入最高故应将价格调整到5元，收入最高．4、需求(价格)弹性的分类及调价依据(1)若1dE，称为缺乏弹性，需求量随价格变化反应迟钝，应涨价(2)若1dE，称为富有弹性，需求量随价格变化反应灵敏，应降价(3)若1dE，称为单位弹性，价格最优，即此时收入最高(4)特别：0dE，称为完全无弹性，不论价格如何变动，需求量都不变，即刚性需求调价依据也可从下列方式中得到：已知需求函数为)(pfQ则销售收入)()(ppfpQpR]1)[()]()(1)[()()()()()(dEpfpfpfppfpfppfpfppfppR由于0)(pf，而0dE故：当1dE，01dE，0)(pR，)(pR单增，即当价格增大时，收入增大，故应涨价当1dE，01dE，0)(pR，)(pR单减，即当价格增大时，收入减少，故应降价当1dE，01dE，0)(pR，)(pR有最大值【例2】已知某商品的需求函数为peQ02.0100)0(p(p：元；Q：吨)，求：(1)需求价格弹性dE；(2)当价格为20p元时的需求价格弹性，说明其经济意义，该涨价还是降价？(3)价格调整到多少钱，可使收入最高？北京城市学院《国际特色班》高等数学第三讲——弹性理论第7页共7页解：(1)peepdpdQQpEppd02.0)02.0(10010002.002.0(2)4.02002.020pdE经济意义：当价格为20元时，若价格上升1%，需求量下降0.4%当价格为20元时，若价格下降1%，需求量上升0.4%由于1dE，所以需涨价(3)欲使收入最高，应使1dE，即102.002.0pp，故50p5、需求(价格)弧弹性QQpdpdQQpppQQEpd0lim——点弹性但有时需要求一个区间上的平均弹性——弧弹性：QppQppQQEd四、供给弹性供给弹性也分为：供给价格弹性，供给收入弹性，供给交叉弹性供给价格弹性，又称供给弹性已知供给函数)(xQQQpdpdQQpppQQEps0lim0dpdQ，0sE价格上涨1%，供给量上升sE%价格下降1%，供给量下降sE%