第4章射影变换学习辅导(1)

第4章射影变换115第4章射影变换学习辅导(1)学习方法引荐本章内容是在仿射变换的基础上，进一步研究射影变换和在射影变换下的不变问题.首先对点列和线束引入基本射影不变量——交比.即从介绍交比概念，引入共线四点的交比和调和比，共点四线形的交比和调和比.在此基础上讨论两个同类一维基本形的射影对应，射影变换及其特殊情况—对合，主要研究点列到点列的射影对应.在本章内容中，交比是重要的概念，它是射影变换的基本不变量.一维基本形的射影对应（变换）是平面射影几何的基础.作为调和比的几何背景本章还介绍了完全四点形及对偶图形完全四线形的调和性，这两个图形的调和性也是射影几何的重要不变性，它们在射影几何中也具有重要地位.学习本章时要抓住以下几点：1.点列与线束的交比与调和比；2.完全四点形和完全四线形的调和性质；3.一维基本形的射影对应；4.一维基本形的对合.它们的基本内容包括如下：1.点列与线束的交比和调和比（1）点列的四点的交比.我们知道，单比是仿射变换的基本不变量，但对于中心投影来说，单比不是不变量.这样就发生如何建立中心投影的基本不变量的问题，这个基本不变量就是交比.交比是两个单比的比，它有许多基本性质，见教材中的定理.由这些定理知，共线四点A，B，C，D共有24种排列，即有24个交比，分为6类，每类的四个交比值相等.当（AB，CD）=－1时，CD调和分割线段AB，由调和分割的关系是对等的，因此A，B，C，D称为调和点列.（AB，CD）=（CD，AB）=－1（2）交比的代数表示设点P1，P2，P的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），单比（P1P2P）=μ，则121xxx121yyy（1）P的齐次坐标（21xx，21yy，1），当μ=1时，（1）式无意义.但当μ→1时，可得到P1，P2所在直线上的无穷远点.所以（P1P2P∞）=1即一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1，也就是（P1P2，P3P∞）=（P1P2P3）如果四点P1，P2，P3，P4中，P1或P2为无穷远点，则上式可作为交比的定义.设四个不同的共线点P1（A+λ1B），P2（A+λ2B），P3(A+λ3B)，P4(A+λ4B)，则))(())((),(413242314321PPPP其中λi（i=1，2，3，4）彼此不相等.设四个不同的共线点的三点及其交比k（k≠1，k≠0）为已知，则第四点必唯一确定.（3）线束的四直线的交比与调和比与点列的四点的交比类似，线束中四直线的的交比是利用三条直线的单比定义的.（AB，CD）=)()(ABDABC第4章射影变换116应该注意，四直线的交比值与直线μ的取法无关.如果线束S的四直线A，B，C，D被任何一条直线S截于四点A，B，C，D，则（AB，CD）=（AB，CD）由这个结论可以推出与点列交比性质相类似的关于线束交比的性质，因此也可知四条直线所构成的24个交比值分为6类，每类的四个交比值相等.交比经中心投影后不变，即交比为射影性质.2.完全四点形与完全四线形调和性利用完全四点形的性质，可以解决“已知共线三点，求作第四调和点”的作图方法.设S，S'是完全四点形ABCD的一对对边，它们的交点是对边点X，X与其它二对边点的连线是l，l'，图4-1.则必有（SS'，ll'）=－1XSl'DlS'MQCYLABE图4-1设S，S'是完全四线形ABCD的一对对顶点，它们的连线是对顶线x，x与其它两对顶线交点T，T'，图4-2.则（SS'，TT'）=－1.TSyAxDT'CAS'图4-23.一维基本形的射影对应（1）透视对应如果一个点列和一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，则这个对应叫做透视对应，点列和线束叫做透视的.显然，点列与线束的透视关系具有对称性.点列与点列或线束与线束的透视关系都具有对称性.交比在透视对应下不变.（2）射影对应两个一维基本图形之间的射影对应的性质：①是一一对应的②AB则BA③具有传递性，即若AB，BC，则AC两个点列间的一一对应是射影对应任何四点的交比与其对应四点的交比相等.已知两个一维图形的三对对应元素，那么可以确定唯一一个射影对应.第4章射影变换117两个点列间的射影对应是透视对应它们底的交点自对应.两个线束间的射影对应是透视对应它们顶点的连线自对应.4.一维基本形的对合对合是射影变换的一种特殊的情况，在对合里每对对应元素的每个元素归入哪个基本形都可以.射影变换成为对合对应的充分必要条件.重点、难点解析1.交比和调和比仿射变换（对应）是对平行射影而言的，单比是仿射几何中最重要的概念，它又是仿射变换的基本不变量.在研究中心射影时，我们引进了无穷远元素.可以证明，在中心射影下，共线三点的单比不是不变量.由此引入交比概念，首先研究共线四点的交比（1）关于交比的定义定义（4.2）把交比定义为两个单比的比，即共线四点A，B，C，D的交比定义为两个单比（ABC）和（ABD）的比，表为(AB,CD)=)()(ABDABC.交比也称复比，即两个单比之比的意思.这种定义可称为几何定义.交比还有另一种定义，即代数法定义：设四个不同的共线点A，B，C，D的坐标顺次为A，B，A+λ1B，A+λ2B，则(AB，CD)=21以上两种定义方法是不同的.用第一种方法定义(AB，CD)=)()(ABDABC=ADBCBDAC，所用坐标的非齐坐标，AC，BD，BC，AD都指有向线段的代数长度；第二种定义方法(AB，CD)=21,用齐次坐标.例如，共线四点A（2，1，-1），B（1，-1，1），C（1，0，0），D（1，5，-5），求（AB，CD）时，可把A和B作为基础点对，则C=A+B，λ1=1，D=2A-3B，λ2=32所求交比21=32注意，第二种定义方法采用齐次点坐标，可以不限制这四个点中是否有无穷远点.所以，定义(AB，CD)=)()(ABDABC=ADBCBDAC，还属于欧氏平面上的定义，不能解决无穷远点的问题，在射影平面，应使用(AB，CD)=21的定义方法.关于交比的定义，要注意以下问题：①A，B，C，D四点必须共线，而且要考虑顺序，顺序不同则交比不同；②AC，BD，BC，AD都是有向线段的代数长，因而交比（AB，CD）是个数值.（2）交比的性质由于A，B，C，D四个点的编排顺序不同，所得的交比也不同，共线四点可以组成24种编排顺序，因而可以有24个交比值.由交比的性质原理可知，对于每个排列，还有另三种排列，它们的交比等于已知排列的交比，因此，这24种排列所产生的交比值，实际上只有6类，并且在24个排列中，只要求出1个交比值，就可求出其它23个交比值.第4章射影变换118例如，已知（AB，CD）=3，则可知（DC，BA）=（BA，DC）=（AB，CD）=3.而（AC，BD）=1－（AB，CD）=－2（3）几个特殊的交比共线四点A，B，C，D中，设A，B，C是固定点，第四点D沿直线移动.可以证明，点D在直线上的每个位置都对应一个确定的交比（AB，CD）的值.点D的不同位置对应不同的交比值，不然的话，假设点D和D'在两个不同的位置，且有（AB，CD）=（AB，CD'）则)()()()(DABABCABDABC，因而（ABD）=（ABD'）这只有在D=D'时，等式才成立，因此，（AB，CD）的每个值，对应点D的一个确定的位置.当这四个点中有无穷远点时，还可以用其他方法证明这个结论.证明如下：设已知三点的坐标是A＋1B，A＋2B，A＋3B则由k))(())((41324231（其中k为定值，且k≠0，1）可以求出4，确定第四点.因此第四点A＋4B唯一确定.下面讨论交比的几个特殊情况①D与C重合时，则有（AB，CD）=1②当D与B重合时，则有（AB，CD）=（AB，CB）=ABBCBBAC=0③当D与A重合时，（AB，CD）=（AB，CA）=AABCBAAC④D为无穷远点时，则有（AB，CD）=（AB，CD∞）=)()(ABDABC（ABC）可以看出，若第四点为无穷远点，则其交比等于前三个点的单比（ABC），利用这个性质若无穷远点不在第四个点的位置，可以交换到第四个点的位置，以求其交比.（4）点列中四点的调和比调和比是交比的重要特例.当（AB，CD）=－1时，称为C，D调和分割A，B.或称点偶A，B与点偶C，D调和共轭.D叫做A，B，C的第四调和点.应当注意，在调和分割中，两对点的关系是完全对等的.点列中四点A，B，C，D所组成的交比可以有六个交比值，在一般情况下，这六个交比值是不等的，但当且仅当这四个点适当地编排顺序，可以组成调和共轭的两对点偶时，（注意排除两点重合和虚点不考虑），那么这六个交比值才有相同的.（5）线束的交比和调和比①由定义知，四直线A，B，C，D的交比为)()(ABDABC=ADBCBDAC，注意这个定义中数目的排列.②要注意定理4.7：如果线束S的四线A，B，C，D被任何一条直线S截于四点A，B，C，D，则（AB，CD）第4章射影变换119=（AB，CD）的证明.在上述定理中，若点S，A，B，C，D都是有穷远元素时，或者，当S为无穷远点或S为无穷远直线时（即A，B，C，D都是无穷远点），此定理仍成立.即（AB，CD）的值与直线S的取法无关，所以仍可取（AB，CD）=（AB，CD）③定理4.7是一个非常重要的定理，由于定理可以证明“两点列同时截一线束，则此点列上对应四点的交比相等.”还可以推广证明投影于同一点列的两线束的四条对应直线的交比相等.可以知道，此定理使点列和线束的问题沟通了，为研究交比是中心射影下的不变量打下基础，同时点列和线束的问题可以对偶地进行研究.（6）有关交比的作图问题①有关交比的作图可以根据共线四点的交比的定义，借助初等几何作图来完成，需要用相应例题来理解.②第四调和点的作图用“一角两条边和这个角内外平分线调和共轭”作第四调和点.利用相似三角形作第四调和点.（7）利用交比的调和共轭解初等几何问题交比和调和共轭是几何学中的重要概念，它们在几何的研究中有重要的作用，运用这些概念和有关性质，可以解决一些初等几何问题主要在以下三个方面：①角平分线的调和性.②利用交比证明有关圆的问题.③与图有关的调和共轭问题.2.完全四点形和完全四线形的调和性完全四点形和完全四线形是射影几何中的重要图形，由于这两个图形具有调和性，而交比又是射影变换的不变量，所以对完全四点形的性质的研究在射影几何中占有重要地位.值得注意的是，在前面调和比是用交比来定义的，而交比之定义为单比之比，所以定义调和比此时用了变量概念.对完全四点形的性质的研究，可以使我们完全不用度量概念，而使用下列方法来定义调和比或调和共轭.即“一直线S上的点偶A，B与C，D，A，B是一个完全四点形的对边点，C，D是通过第三个对边点的两条对边与S的交点，则A，B与C，D成调和共轭”.这种定义是综合地纯射影的定义，这种定义方法只与直线和直线相交的作图有关，与度量无关.由于完全四点形的调和性是射影性质，所以它的对偶图形完全四线形也有调和性.学习本单元内容时还应注意以下问题：（1）注意完全四点形与中学所熟悉的四边形的区别.四边形指简单四边形，由顶点依次连接而成，顶点数等于边数，均为4，如图4-3.ABCD为简单四边形.而完全四点形是平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形，如图4-4.完全四点形ABCD有四个顶点A，B，C，D，有六条边（即任何两顶点的连线都是边），通过同一顶点的边叫邻边，不通过同一顶点的边叫对边，因此有三对对边：AB与CD；AC与BD；AD与BC，对边交点叫对边点，共三个，即AB×CD=X，AC×BD=Y，AD×BC=Z.三个对边点组成对边三点形XYZ.BCDAYCDXZAB第4章射影变换120图4-3图4-4完全四点形的一对对边被通过这两个边交点的对边三点形的两边调和分割.完全四线形的一对对顶点被连接这两个点的对角三角形的两边调和分割.（2