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1第四章数学与数学课程第一节如何认识数学数学是历史最悠久而又始终充满活力的人类知识领域，也是每个受教育的人一生中需要学习时间最长的学科之一。数学之所以历久常新、人人皆学，是由其作为一门科学的对象、内容、特点和在人类文化中的地位所决定的。对数学的对象、特点和价值有一个正确的观念，或者说树立正确的数学观，对于教好数学，学好数学具有重要的意义。一、数学是一门什么样的学科数学是人类的一种文化活动，与人类其它文化活动既密切联系，又相互区别。正是这种联系和区别，决定了数学在人类文明中的地位及其特殊的教育功能。《标准》一开始就明确陈述道：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”这一简明的定义，是对数学作为一种文化的整体认识的出发点。数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化。然而纵观数学的全部历史人们可以达成这样的共识：尽管经过由古至今的漫长发展，现代数学已是一个分支众多的庞大的知识系统，但整个数学始终是围绕着“数”与“形”这两个基本概念的抽象、提炼而发展的。数学在各个领域中千变万化的应用也是通过这两个基本概念而进行的。然而需要说明的是，这里所说的数量关系与空间形式，并不限于现实世界，而是包括一切可能的数量关系与空间形式：它们既可以是来源于现实世界，也可以是数学自身逻辑的产物。《标准》对什么是数学的这一陈述，反映了以往作为自然科学传统学科之一的数学发展到我们这个时代所经历的深刻变化。从根本上说，数学的发展与人类的生产实践和社会需求密切相关。2对自然和社会的探索是数学研究最丰富的源泉，而几乎所有数学分支中那些最初的和最基本的问题都是由现实世界产生的。但是，数学的发展对于现实世界又表现出相对的独立性。一门数学分支或一种数学理论一经建立，人们便可在不受外部影响的情况下，仅靠逻辑思维而将它向前推进，并由此导致新概念与新理论的产生（例如虚数、群论、非欧几何等等）。当然这些基于数学内在逻辑需要而产生的数学理论最终又将回归现实，在现实世界的应用中接受检验，并从现实世界获取进一步发展的动力。现实世界与数学内部之间这种反复呈现的相互作用，在现代数学的发展中愈显突出，并赋予现代数学不同于一般自然科学的特征。首先是更高的抽象性。抽象是数学最基本的特征。当然，抽象性并非数学独有，但数学的抽象不同于其它科学之处是，它舍弃了事物的其他一切方面而仅保留数量关系和空间形式。数学的抽象从数与形等原始概念的形成中发其端，经过一系列阶段而达到了现代数学的程度。如前所述，仅就研究对象而言，现代数学研究各种可能的、抽象的数量关系和空间形式，以揭示和描述现实世界或数学自身的抽象世界所具有的特定关系与结构。这样就产生了诸如群、环、域、范畴，无穷维空间、分形几何、拓扑空间、微分流形、微分算子、随机过程、计算复杂性，…等等层出不穷的高度抽象的概念或结构，表征着现代数学各个领域的前沿。与此同时，不仅数学概念，而且数学方法也更趋抽象。例如，从古希腊时代起数学就使用的特有的逻辑推理法则，现今已发展为系统的现代公理化方法，将数学的严密性推向更高的层次。与高度抽象相联系的现代数学的另一个特点是其空前广泛的应用。数学的广泛应用性也是它一贯的特点，但现代数学的应用无论在广度和深度上都是以往所不能比拟的。数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有的知识领域渗透。数学正在向包括从粒子物理到生命科学、从航空技术到地质勘探在内的一切科技领域进军。数学在物理学中的应用经历了一系列激动人心的重大事件：从量子力学的公理化，到广义相对论与统一场论的3数学基础等等；现代化学为了描述化学过程已少不了微分方程和积分方程；生物学不用数学的时代也早已一去不返，除了生物统计，用微分方程建立生物模型在上世纪取得了突破性成果，抽象的拓扑纽结论与概率论、组合学正一起帮助生物学家解开复杂的DNA结构之谜，等等。除了自然科学，在经济学、社会学、历史学等社会科学部门中，数学方法的应用也在大显身手：经济学是数学化取得最明显成效的社会科学学科，只要看看历年诺贝尔经济学奖的获奖工作就不难明白这一点，它们绝大部分都涉及数学方法的应用，有的实质上就是数学的方法与理论；数学与语言学这两门最古老的学问之间也架起了桥梁。语言学家们使用数理统计的方法分析语言资料以得出有关语言规律或文化悬疑的重大结论，同时还进行了运用数学与逻辑分析将语言学改造为严格的形式系统的努力。数学的广泛应用催生出一系列交叉学科，如数学物理、数理化学、生物数学、数理经济学、数学地质学、数理气象学、数理语言学、数理心理学、数学考古学、史衡学（计量历史学）…，等等，它们的数目还在增加。纯粹数学中最抽象的一些分支也获得应用。在20世纪60年代，像拓扑学这样的抽象数学离实际应用似乎还很遥远。然而拓扑学在今天的物理学、生物学和经济学中正在扮演重要角色。数论曾经被英国数学家哈代看成是“无用”和“清白”的学问，但如今数论方法已经在密码技术、卫星信号传输、计算机科学和量子场论等许多部门发挥重要的有时是关键的作用。值得注意的是纯粹数学中的一些前沿成果与其他科学的前沿领域的快速结合，这反映了现代数学向其他领域渗透的深度。可以说没有微分拓扑学、代数几何学、群论与复分析等这些前沿数学领域的最新成果，就没有当代物理学中超弦理论等这样一些前沿领域；数理经济学中一般均衡理论的建立，也用到了微分拓扑学的基本定理与彻底的公理化方法，而这些都引导出菲尔兹数学奖或诺贝尔经济学奖的得奖成果。我们看到，现代数学空前广泛的应用，是与更高的抽象化趋势共轭发展着：一方面数学的核心领域正变得越来越抽象，一方面数学的应用也变得越来越广泛。这恰恰揭示了数学理论在极其抽象的外表下4与客观现实世界之间的深刻、复杂而又奇妙的联系；说明现代数学理论前沿的推进蕴涵着比以往更为丰富多彩的、难以遇见的应用机遇。数学越来越成为一种普遍的科学语言与工具。二、数学是人类文化的重要组成部分作为一门科学的数学所表现出的文化特征，决定了其在人类文明史上的独特地位。作为人类文化的重要组成部分，数学一方面受着社会经济、政治和文化等诸多因素的影响，另一方面，数学又始终作为一种重要力量，推动着人类物质文明和精神文明的进步。首先，数学作为普遍的科学语言和工具，在各个领域的知识创新中扮演越来越重要的作用，以致一些著名的学者认为数学是一种普遍适用的、赋予人能力的技术，在21世纪将成为各个门类科学研究中重要的并且也许是最富创造性的部分。当代自然科学与工程技术领域的创新在本质上都依赖于数学研究的进展，数学在人文科学与社会科学发展中的份额与力度也越来越加大。在信息时代，数学作为科学的语言与工具的应用威力由于计算机的推助而得到了极大的加强。计算机本身是数学与工程技术相结合的产物，是抽象数学成果应用的光辉例证。反过来，计算机正日益成为数学研究本身的崭新手段，并通过科学计算、数值模拟、图象显示等将数学应用的触角延伸到科学与工程技术的各个角落。数学在推动生产发展、改变人们生活方式方面的作用不容低估。数学从它萌芽之日起,就表现出与人类物质生产活动的紧密联系。数学与生产的联系具有多种方式，有时是间接的，以往在更多的情况下，纯数学的成果首先是被应用于其他自然科学领域(如天文学、力学、物理学)，再由这些科学提供技术进步的基础。然而20世纪下半叶以来，数学科学与生产技术的相互作用正在加强，现代数学对生产技术和社会生活的应用变得越来越直接。数学提供的工具直接影响和推动技术进步的频率正在加大，在许多情况下产生巨大的经济效益。也就是说，数学（包括那些最抽象的部门）正越来越走向生产与社会生活的前台。例如以计算流体力学为基础的数值模拟已成为飞行器设计的有效工具，类似的数值模拟方法正在被应用于许多技术部门以替代耗资巨大5的试验；1980年代以来，以调和分析为基础的小波分析直接应用于通信、石油勘探与图象处理等广泛的技术领域；现代大规模生产的管理决策、产品质量控制等也密切依赖于数学中的线性规划算法与统计方法；现代医学仪器工业也离不开数学(如CT扫描仪、核磁共振仪等研制的理论基础主要是现代积分变换)，等等，这样的例子举不胜举。特别是，计算机已经成为当今社会最宏大的产业。计算机空前地改变着人们的生活方式，将人类带进了信息时代。然而不仅计算机的发明包含了数学家不可磨灭的贡献——被称之为“计算机之父”的是数学家冯诺依曼，计算机的进一步研发、使用，也始终离不开数学。可以说，所谓信息时代，本质上是数学化的时代。数学对人类精神文明也有深刻影响。众所周知，日心说曾长期遭宗教的压制被禁止传播。日心说地位的真正确立是在牛顿等利用微积分等数学工具将太阳系的运动严格地推演出来之后，而依靠精确的数学计算引导的海王星的发现，则给顽固维护地心说的宗教势力以最后的致命一击。在现代，相对论使人们的时空观和宇宙观又发生了巨大的变革，而没有从高斯、波约、罗巴切夫斯基到黎曼的非欧几何学，这种变革是难以想象的。以博弈论数学为基础的纳什均衡理论使“双赢”概念深入人心，改变了人们的竞争观念，…。数学精确的计算与严密的推理对人们世界观与生存观的变革往往具有重要的意义。数学作为一种文化创造活动，还具有艺术的特征，这就是对美的追求。这是一种抽象、简洁的逻辑形式与结构的完美。数学的美并不是只有从事数学研究的专家才能品味享受，一些数学概念和原理如对称、透视、比例、黄金分割乃至现代的分形等等，通过在绘画、音乐、建筑中的应用而物化为广大公众喜闻乐见的艺术作品。谁也不能否认，如果没有透视的数学原理，就不可能有文艺复兴时代以来一幅幅传世名画；没有三分律、十二平均律等简单的比例规律，也就不可能有古今中外无数美妙动听的音乐作品，更不用说今日计算机创作的大量分形绘画、电子音乐和动漫作品了。这些数学概念与原理，无疑是艺术创作中美的源泉。最后，我们要强调说明的是，数学对于人类社会还拥有另一项重6要的文化功能，就是培养发展人的思维能力特别是理性思维能力。数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识。数学为人们提供特有的、具有典范意义的思维方式，这种思维方式对于从事各种职业的公民在自己的岗位上获得成功与发展都是重要的智力保障。培养思维能力不能说是数学独有的功能，人们也可以并需要通过其他知识部门的学习和实践来培养自己的思维能力。那么什么是数学思维呢？数学思维在培养发展人的思维能力方面有何特殊意义？数学的思考方式包括很多方面，计算、证明、归纳、类比、建模（建立模型）、数据推断等等。但质而言之，数学思维最基本的两大方面是精确的定量化方法和严密的逻辑推理。自古以来，数学追求解决问题的一般模式或者说一般算法。从初等的三角形面积算法到描述各种自然和社会现象的复杂方程的解算，从简单的数据分析到现代统计推断，定量化的方法已经深入到各行各业。另一方面，数学运用特有的逻辑手段来组织知识，使之系统化、条理化和严格化；数学运用特有的逻辑证明来达到确定无疑的结论，提供正确性的标准。这种严密的逻辑推理方法已超越数学自身的范围，日益渗透到其它知识领域如物理学、经济学甚至政治学中。当然无论是定量化还是逻辑推理，本质上都是通过建立适当的模型来实现的。因此，在更概括的意义上可以说，数学是关于模式(pattern)的科学，数学寻求尽可能简单、普遍适用的模式，来解决认识自然、发展社会以及数学自身世界的各种问题。数学思维的上述特征，赋予数学以不能比拟的严密性和精确性，使数学在培养人的理性思维能力方面发挥着无可替代的作用。这是数学影响于人类文化的突出方面之一。正因为如此，数学一直是传统教育的重要组成部分，并将继续成为培养有素养的现代公民和各个领域的创新人才的基础教育科目。三、树立正确的数学观对数学教学的意义认识数学的对象、特点和价值，对于正确贯彻《标准》理念、实现数学课程的目标，具有重要的教学指导意义。数学的对象与特点决定了其在人类文明中的地位和对社会进步的作用，同时也决定了其教育功能。然而对于数学的文化价值和教育功7能取得共识（包括教师、学生、家长在内的公众的共识）本身依然是数学教育的任务。数学抽象的外表常常引起公众对这门科学的误解，造成数学抽象难学、只有聪明有天赋的人才能学好的形象，或者忽视数学对于社会进步