第4章标量位与矢量位

1教案课程:电磁场与电磁波内容:第4章标量位与矢量位课时:2学时武汉理工大学信息工程学院教师：刘岚2课题标量位与矢量位科目电磁场与电磁波课时2学时教师刘岚授课班级时间~学年第学期教学目的与要求知识目标：１、理解位函数的定义和概念。２、理解矢量位的定义和概念。３、理解标量位的定义和概念。４、理解如何用位函数和A表示的非均匀波动方程——达朗贝尔方程。5、理解洛伦兹规范的定义和概念。6、理解库仑规范的定义和概念。7、理解如何利用场源和J求解位函数和A。8、基本了解理纳德—威切特位函数的定义和概念。能力目标：根据学生已具备的关于方面数学知识和物理知识，引导学生从“位函数”出发了解静态场的基本分析方法，培养学生的想象力及利用所学知识分析、总结问题的能力。情感目标：引导学生将抽象的数学分析与现实物理世界尽可能融合，激发学生对理论学习的热情。3概述相对于电场与磁场的研究来说，有时先去研究一个位函数可能会容易很多，当然这个位函数一定是与场有关的，比如对这个位函数的微分即可得到场。本章我们将要来寻找这种适合于电场和磁场的位函数，本章所得到的结果将成为我们分析电场和磁场时的基本方法。教学重点矢量位、标量位、利用场源求解位函数。教学难点滞后位的概念以及基本应用。教学方法讲述法、演示法、发现法、讨论法教学环境多媒体教室教学准备多媒体课件教学过程1、复习提问2、引入新课3、讲解新课4、归纳总结5、布置作业学时分配矢量位、标量位、理纳德位2学时小计2学时4教学环节教学过程引入新课讲述新课多媒体课件展示：第4章标量位与矢量位提示：本章的重点内容设置悬念、激发探究提问：你对“位”有什么认识？电位或磁位如何描述？多媒体课件展示：4.1矢量位A1、“任意矢量的旋度的散度恒等于零”所具有的含义与应用。2、矢量位A的引入。从麦克斯韦第三方程出发，必有BA()0BA于是我们就得到了一个关于磁场B的位函数。因为BA，而是一个微分算子，所以A是关于B的位函数。尽管我们很容易就找到了与磁场相关的矢量位A，但它却是一个无任何约束的任意矢量。多媒体课件展示：4.2标量位1、“梯度的旋度恒等于零”所具有的含义与应用。2、标量位的引入。由麦克斯韦第二方程BEt，如果用A代替B，则方程变为AEt5更一般地，如果是一个矢量函数并且0，则有AEt保证0的唯一方法是令。则有/EAt式中是一个尚无任何约束的标量函数。在非时变（静态）情况下/0At＝,方程变为E于是对的微分即可得到E。提示：可用E来求静态场。多媒体课件展示：4.3用位函数和A表示的非均匀波动方程两个位函数A和描述如下BA和/EAt这些结果是从0B和/EBt这两个方程中得出的，将这些结果代入到余下的麦克斯韦方程中去，可得222222011()AJAActcct显然，这个方程中有类似于物理学中所定义的波动方程的部分，比如222210AAct如果我们选定21Act这时，方程将变为2222201AJActc这是一个关于A的三维波动方程，这个方程也被称为达朗贝尔方程，方程右边为场源。6上面我们选定的条件21Act可写成21Actt，称其为洛伦兹条件或称为洛伦兹规范，它是目前我们对于A和所采用的约束。同理有02222/1tc这是一个关于的波动方程，它也是一个达朗贝尔方程，方程右边是以电荷密度为场源的。接下来的任务就是要在给定和J的情况下求解这两个方程，以得出和A，然后再从和A得出E和B。在应用电磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用所谓的库仑规范，即令0A，则A和所满足的微分方程为222()AAJtt2/提问：引入洛伦兹规范或库仑规范，所得方程的区别是什么？多媒体课件展示：4.4利用场源和J求解位函数和A提示：标量位已被定义为——在静电场中给定了电场E。于是，我们有0()1()4pVprrdVrr这样就得到了静态场中的解，将这个结果扩展到运动电荷的分布场中，则和为时间和位置的函数。由于和不是在同一个点，并且由于电磁场是以一个极限速度(在真空中为光速C)在扰动传播的，所以点r处的场在时间上将会早于电荷7分布的时间't。所以场从源点传播到场点所经历的时间是'/prrc，其时间延迟为''/pttrrc因此''/pttrrc那么移动电荷的分布则为''0'(,')1(,)'4||ppVrtrtdVrr或者写成'''0'(,||/)1(,)'4||pppVrtrrcrtdVrr式中'pr是延迟源的位置，'t是延迟时间，积分是在延迟体积V'上进行的。我们在这里所构造的解给出了位函数和电荷密度之间的一般关系。根据这个关系我们可以写出对应的A的表达式为''2'0'(,|/)1(,)'4||pppVJrtrrcArtdVcrr式中的电流密度J是在延迟位置'(,')prt时的值，积分是在延迟体积V'上进行的。提示：上面的分析说明，在时刻t，空间某点所观察到的矢量位A和标量位，是由'(/)ptrrc时刻的电流或电荷产生的，也就是说，在空间某点并不会立刻感受到波源的影响，而是要滞后一段时间'/prrc，这个滞后效应是由于电磁波的速度为有限值而引起的，于是我们又可将随时间变化的位函数（r,t）和(,)Art称为动态位或8归纳总结滞后位。多媒体课件展示：4.5理纳德—威切特位函数下列方程称为相对于运动点电荷的理纳德—威切特（Lienard-Wiechert）位函数01()()4'[1/]pqrRvtnc201(')(,)()4'[1/]pqvtArtcRvtnc本章要点1、矢量A是关于磁场B的矢量位函数，二者的关系为BA，但此时的A为任意矢量；2、洛伦兹规范约束了矢量A的行为和范围，并描述了矢量位A与标量位之间应满足的关系，洛伦兹规范是21Act3、洛伦兹规范中的是关于电场E的标量位函数，它与电场的关系为AEt在静态电场中，E4、在电流作为场源的激励之下，矢量位A所满足的三维波动方程为2222201AJActc在电荷作为场源的激励之下，标量位所满足的三维波动方程为902222/1tc5、求解上述波动方程，就可分别得出在各自场源激励下的矢量位A和标量位，而后再通过关系BA和AEt（或E），则可求得磁场B和电场E，这是求解电场和磁场的一种途径和方法，这种途径和方法往往要比直接求解磁场B和电场E方便且容易，特别是对于静态场的求解；6、对时间发生变化的电场和磁场而言，如果这时仍使用位函数方法来求解，则由于位函数或A与激励或J是时间和位置的函数，并且激励源与位函数不在同一个空间点上，同时由于电磁场是以一个极限速度在扰动传播的，所以场量在时间上将会与激励之间出现一定的延迟，在计算中需考虑这个延迟。通常又将时变条件下的位函数称为动态位或滞后位，这是因为在与场源相距r的场点处，时变源在0tt时刻的改变将反映在0/ttrc（c为光速）时刻的位函数中。7、在t时刻，空间某点所观察到的矢量位A和标量位，是由'(/)ptrrc时刻的电流或电荷产生的，也就是说，在空间某点并不会立刻感受到波源的影响，而是要滞后一段时间'/prrc，这个滞后效应是由于电磁波的速度为有限值而引起的。将随时间变化的位函数（r,t）和(,)Art称为动态位或滞后位，即为'''0'(,||/)1(,)'4||pppVrtrrcrtdVrr10布置作业''2'0'(,|/)1(,)'4||pppVJrtrrcArtdVcrr8、相对于运动点电荷的标量位和矢量位01()()4'[1/]pqrRvtnc201(')(,)()4'[1/]pqvtArtcRvtnc又称为理纳德—威切特位函数。课后思考：１、矢量位和标量位是如何导出的？２、矢量位和标量位如何应用？３、达朗贝尔方程的物理意义是什么？４、洛伦兹规范起到了什么作用？５、库仑规范起到了什么作用？６、利用场源和J求解位函数和A的思路是什么？为什么要考虑滞后效应？７、理纳德—威切特位函数表达了什么概念？