第4章正态分布

第4章正态分布习题解答48第4章正态分布1，（1）设)1,0(~NZ，求}24.1{ZP，}37.224.1{ZP，}24.137.2{ZP；（2）设)1,0(~NZ，且9147.0}{aZP，0526.0}{bZP，求ba,。解：（1）8925.0)24.1(}24.1{ZP，0986.08925.09911.0)24.1()37.2(}24.1{}37.2{}37.224.1{ZPZPZP0986.0)]37.2(1[)]24.1(1[)37.2()24.1(}24.137.2{ZP（2）)37.1(9147.0}{aZP，所以37.1a；}{10526.0}{bZPbZP，所以)62.1(9474.0}{bZP，即62.1b。2，设)16,3(~NX，求}84{XP，}50{XP。解：因为)16,3(~NX，所以)1,0(~43NX。2957.05987.08944.0)25.0()25.1(}43843434{}84{XPXP4649.0)7734.01(6915.0)430()435(}50{XP。3，（1）设)36,25(~NX，试确定C，使得9544.0}25{CXP。（2）设)4,3(~NX，试确定C，使得95.0}{CXP。解：（1）因为1)6(2)6()6(}25{}25{CCCCXCPCXP所以得到9772.0)6(C,即0.26C，0.12C。（2）因为)1,0(~23NX，所以95.0)23(1}{CCXP，即95.0)23(,05.0)23(CC或者，从而645.123C，29.0C。4，已知美国新生儿的体重（以g计）)575,3315(~2NX。（1）求}25.439075.2587{XP；（2）在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小于2719的个数，求第4章正态分布习题解答49}4{YP。解：根据题意可得)1,0(~5753315NX。（1）)575331575.2587()575331525.4390(}25.439075.2587{XP8655.0)8962.01(9693.0)2648.1()87.1(（或0.8673）（2）1492.0)04.1(1)57533152719(}2719{XP，根据题意)1492.0,25(~BY，所以6664.08508.01492.0}4{254025kkkkCYP。5，设洗衣机的寿命（以年计）)3.2,4.6(~NX，一洗衣机已使用了5年，求其寿命至少为8年的条件概率。解：所要求的概率为1761.08212.08554.01)92.0(1)06.1(1)3.24.65(1)3.24.68(1}5{}8{}5|8{XPXPXXP6，一电路要求装两只设计值为12欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为11.9欧，标准差为0.2欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量,,YX则)04.0,9.11(~NX，)04.0,9.11(~NY（1）}3.127.11{}3.127.11{}3.127.11,3.127.11{YPXPYXP2)2.09.117.11()2.09.113.12(6699.08185.0)1()2(22；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率为2)2.09.114.12(1}4.12{}4.12{1}4.12,4.12{1YPXPYXP0124.09938.012。第4章正态分布习题解答507，一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从均值160，均方差为的正态分布，若要求80.0}200120{XP，允许最大为多少？解：根据题意，)1,0(~160NX。所以有80.01)40(2)160120()160200(}200120{XP，即，)28.1(9.0)40(，从而25.31,28.140。故允许最大不超过31.25。8，将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器整定在Cd，液体的温度X（以C计）是一个随机变量，且)5.0,(~2dNX，（1）若90d，求X小于89的概率；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少？解：因为)5.0,(~2dNX，所以)1,0(~5.0NdX。（1）0228.0)2(1)2()5.09089(}89{XP；（2）若要求99.0}80{XP，那么就有99.0)5.080(1}80{dXP，即01.0)5.080(d或者)326.2(99.0)5.080(d，从而326.25.080d，最后得到163.81d，即d至少应为81.163。9，设YX,相互独立，且X服从数学期望为150，方差为9的正态分布，Y服从数学期望为100，方差为16的正态分布。（1）求YXW1，YXW22，2/)(3YXW的分布；（2）求}6.242{YXP，}51252/)({YXP。解：根据题意)16,100(~),9,150(~NYNX。（1）根据正态分布的线性组合仍为正态分布（本书101页定理2）的性质，立刻得到)25,250(~1NW，)52,200(~2NW，)425,125(~3NW（2）因为)25,250(~1NW，)425,125(~3NW，所以第4章正态分布习题解答51)1,0(~5250NYX，)1,0(~2/51252/NYX。因此0694.0)48.1(1)52506.242(}6.242{YXP，}51252/)(5{1}51252/)({YXPYXP)5.25()5.25(1)2(220456.010，（1）某工厂生产螺栓和垫圈。螺栓直径（以mm计）)2.0,10(~2NX，垫圈直径（以mm计）)2.0,5.10(~2NY，YX,相互独立。随机地取一只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率。（2）在（1）中若)2.0,10(~2NX，),5.10(~2NY，问控制至多为多少才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。解：（1）根据题意可得)08.0,5.0(~NYX。螺栓能装入垫圈的概率为9616.0)77.1(08.0)5.0(0}0{}{YXPYXP。（2）)04.0,5.0(~2NYX，所以若要控制)282.1(90.004.0)5.0(0}0{}{2YXPYXP，即要求282.104.05.02，计算可得3348.0。表明至多为0.3348才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。11,设某地区女子的身高（以m计）)025.0,63.1(~2NW，男子身高（以m计）)05.0,73.1(~2NM。设各人身高相互独立。（1）在这一地区随机选一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；（2）在这一地区随机选5名女子，求至少有4名的身高大于1.60的概率；（3）在这一地区随机选50名女子，求这50名女子的平均身高达于1.60的概率。解：（1）因为)003125.0,1.0(~NWM，所以第4章正态分布习题解答520367.09633.01)79.1()003125.01.00(}0{}{WMPMWP；（2）随机选择的女子身高达于1.60的概率为8849.0)2.1()025.063.160.1(1}60.1{WP，随机选择的5名女子，身高大于1.60的人数服从二项分布)8849.0,5(B，所以至少有4名的身高大于1.60的概率为8955.08849.0)8849.01(8849.0555445CC（3）设这50名女子的身高分别记为随机变量501,WW，501501iiWW。则)50025.0,63.1(~5012501NWWii，所以这50名女子的平均身高达于1.60的概率为1)49.8()50/025.063.160.1(1}60.1{WP12，（1）设随机变量),(~2NX，已知20.0}16{XP，90.0}20{XP，求和；（2）ZYX,,相互独立且都服从标准正态分布，求}7623{ZYXP。解：（1）由)84.0(20.0)16(}16{XP，得到84.016；)282.1(90.0)20(}20{XP，得到282.120；联立84.016和282.120，计算得到8850.1,5834.17。（2）由ZYX,,相互独立且都服从标准正态分布，得到)49,0(~623NZYX。故所以1587.0)1(1)707(}7623{}7623{ZYXPZYXP13，一食品厂用纸质容器灌装饮料，容器的重量为30g，灌装时将容器放在台秤上，将饮料注入直到秤上刻度指到)(gm时结束。以)(gZ记容器中饮料的重量。设台秤的误差为)5.7,0(~2NX，X以g计。（此处约定台秤显示值大于真值时误差为正）（1）写出mXZ,,的关系式；第4章正态分布习题解答53（2）求Z的分布；（3）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95。解：（1）根据题意mXZ,,有关系式XZm30或者XmZ30；（2）因为)5.7,0(~2NX，所以)5.7,30(~2mNZ；（3）要使得95.0}450{ZP，即要95.05.7)30(4501}450{mZP，所以要求)645.1(95.05.7480m，即645.15.7480m，3375.492m。所以，要使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95，m至少为492.4g。14,在上题中若容器的重量)(gY也是一个随机变量，)9,30(~NY，设YX,相互独立。（1）求Z的分布；（2）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.90。解：（1）此时XYmZ，根据)9,30(~NY，)5.7,0(~2NX，可得)25.65,30(~mNZ。（2）)282.1(90.025.6548025.65)30(4501}450{mmZP，可得282.125.65480m，即36.490m。15，某种电子元件的寿命X（以年计）服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立。随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率。解：设这100只元件的寿命分别记为随机变量1001,XX，10011001iiXX。则2)(XE，04.0)(XD。根据独立同分布的中心极限定理可得8413.0)1()2.028.1(1}2.028.12.02{}8.1{}180{1001XPXPXPii16，以1001,XX记100袋额定重量为25（kg）的袋装肥料的真实的净重，第4章正态分布习题解答54.100,2,