第4章流体动力学基础

4-1第四章流体动力学基础本章在流体运动学的基础上，加进动力学因素，对运动流体的应力状态作进一步分析，定义应力张量，并给出应力张量和变形率张量之间的联系。建立不可压缩流体运动微分方程—N-S方程。对理想流体运动微分方程——欧拉方程在恒定条件下沿流线积分得到恒定元流的能量方程——伯努利方程，进而推广到总流，得到恒定总流的能量方程。将动量守恒定律用于恒定总流得到恒定总流的动量方程。§4—1运动流体的应力状态在静止流体里，无论是理想还是粘性流体，流体质点只能承受压应力，即静水压强。任一点上的静水压强与作用方向无关，只是位置的函数。这说明静止流体的应力状态可由一个静压强（数量场）来描述。在运动的流体中，既可能有压应力又可能有切应力。把流体在运动状态下的压应力叫做动水压强，以示与静水压强的区别。在运动的理想流体里，由于没有粘滞性的作用，虽有质点的相对运动，也不会有切应力，因此理想流体中只有动水压强，而且可用分析静水压强特性的同样方法推证：任一点的动水压强在各方向上的大小都相等，和静水压强有同样的特性。在运动的实际流体中，由于粘滞性作用，既有压应力又有切应力。任意一点处的应力是矢量，而且还与作用面方向有关。所以把法向为n的作用面上的应力矢量表示为),,,(tzyxpn，这里我们定义法线的正方向为受力面的外法向，即法向应力为正表示流体受拉。应力矢量的分量形式为),,(nznynxppp，其中每一个分量的两个脚标的含义是：前一个表示作用面方向；后一个表示应力分量之投影方向。由此，也可知xyp等的含义。由如下九个量组成的二阶张量，称为应力张量，记为zzzyzxyzyyyxxzxyxxppppppppp][P主对角线上的三个元素是法应力分量，其它是切应力分量。可以证明这个张量是对称的，所以它只有六个独立的分量。有了应力张量[P]，任意方位作用面上的应力都可知道，为：][Pnpn，如法向为n的作用面上应力的y方向的分量为zzyyyyxxynynpnpnpp运动流体中的每一点都对应一个应力张量，有了这个应力张量，即可知道该点处任意方位作用面上的应力，可见运动流体的应力状态可由应力张量来描述。应力张量主对角线上三个元素之和zzyyxxppp是坐标变换中的不变量，即其值不随坐标轴的转动而改变，任意三个相互垂直的作用面上的法应力之和都是相同的。于是可定义)(31zzyyxxpppp为流体的动压强。它由场点唯一对应，而与作用面的方位无关。所以运动流体中存在一动压强场，它是数量场。要注意p并非任意方位作用面上真正的压应力nnp.各向同性的不可压缩牛顿流体的应力和变形速率之间存在线性关系：4-22][P][][p其中100010001][它是牛顿内摩擦定律在三维情况下的推广，称为广义牛顿内摩擦定律。§4—2流体运动微分方程一.以应力表示的流体运动微分方程在流场中取出一个空间六面体微元,按照欧拉观点表述动量守恒原理：单位时间微元内动量的增加必等于单位时间净流入微元的动量加上微元内流体所受合力。在单位时间里，净流入微元左右一对表面的y方向的动量为zyxyuuyyddd)(，净流入前后和上下两对表面的y方向的动量分别为tzyxxuuyxdddd)(和tzyxzuuyzdddd)(.作用于六面体微元表面沿y方向的表面力有：左右一对面元法向力zxyyppzxpyyyyyydd)d(dd；前后一对面元切向力zyxxppzypxyxyxydd)d(dd；上下一对面元切向力yxzzppyxpzyzyzydd)d(dd.相加得沿y方向的总表面力zyxzpypxpzyyyxyddd)(作用于六面体微元的沿y方向的质量力为zyxYddd单位时间六面体微元内y方向动量的增加为zyxtuyddd)(根据动量守恒原理，得到)(])()()([)(zpypxpYzuuyuuxuutuzyyyxyyzyyyxy将上式的左侧展开][])()()([)(zuuyuuxuutuzuuyuuxuutuyzyyyxyyzyyyxy])()()([zuyuxutuzyxy易知上式右侧第一项为tuydd，根据连续方程第二项为零。所以)(1ddzpypxpYtuzyyyxyy同理可得x,z两个方向上的方程：)(1ddzpypxpXtuzxyxxxx)(1ddzpypxpZtuzzyzxzz这就是以应力表示的流体的运动方程。X,Y,Z表示质量力f的三个分量。4-3二.不可压缩粘性流体的运动微分方程—N-S方程将广义牛顿内摩擦定律代入运动微分方程,即有)]()()([1ddyuzuzypyuyuyxuyuxYtuzyyyyxy)(1)()(1222222222222zuyuxuypYzuyuxuyzuyuxuypYyyyzyxyyy最后一个等号是由于用了不可压流体的连续方程。同理可得x,z方向上的方程，并可合并成如下的矢量式：upfuututu21)(dd.这就是不可压粘性流体的N-S方程，式中)(2222222zyx是拉普拉斯算子，表示对变量求调和量。不可压粘性流体的N-S方程表明了时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力和粘性力之间的平衡。三．理想流体的运动微分方程——欧拉方程理想流体忽略粘性作用，0，流体中没有切应力，运动微分方程简化为：pfuututu1)(dd称为欧拉方程。它表明了时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力之间的平衡。流体静止时，只受质量力、压差力的作用，运动方程退化为欧拉平衡方程01pf四.流体动力学定解问题和解法概述基本微分方程组前面导出的微分形式流体运动方程连同连续方程，形成对流体运动的基本控制方程组，是求解流速场和压力场的理论基础。四个方程可求四个未知量：p和u，方程组是封闭的。但由于运动方程是二阶偏微分方程，其中的位变惯性力（常称为对流项）是非线性的，解析求解非常困难。解法概述只有在极少数简单流动的情况下，N-S方程才有解析解。而绝大部分流动都不能直接对N-S方程解析求解，我们只能抓住问题的主要方面，作相应的简化，才能进行进一步的解析处理。忽略粘性，作理想流体假设，从流动的维数上作简化，都是常见的手段。如果流动是有势流动，解析处理就有更多的便利条件。后面我们就将分门别类地对各种流动进行求解方法的讨论。应该强调，各种简化都是在基本方程的基础上进行的，所以深入理解方程中各项的物理意义是非常重要的。初始条件和边界条件流体运动基本方程还要加上初始条件和边界条件才能形成流体动力学的定解问题。流体运动所遵循的动力学方程是普遍的，因此流动的个性就体现在初始条件和边界条件上面。初始条件是对不恒定流动指定初始时刻流场的速度和压强分布，边界条件是指运动方程的解在流场的边界上必须满足的运动学和动力学条件。常见的边界条件有：固壁条件和液体的自由表面条件。理想流体的固壁条件称为可滑移条件，即流体不能穿越固壁，但可有切向相对运动，所以nnUu.实际（粘性）流体4-4的固壁条件称为不可滑移条件，即附着在固壁上的流体质点与固壁不能有相对运动，所以Uu.这里u和U分别表示附着在固壁上的流体质点与固壁上相应点的速度。液体的自由表面动力学条件为自由表面上压强为常数（大气压）。五.理想流体的运动微分方程的积分伯努利积分讨论在恒定条件下理想流体运动方程沿流线的积分。将理想流体的运动方程式写成：xpXtux1dd，ypYtuy1dd，zpZtuz1dd在流线上沿流动方向取一段弧长)d,d,(dzyx，因为恒定流动的流线不随时间变化，迹线与流线重合，ztuytuxtuzyxdd,dd,dd将上述两组各三个等式的左右边分别相乘，然后相加得等式：)ddd(1ddddddddddddzzpyypxxpzZyYxXtutututututuzzyyxx上式左边可改写为：2d2d2ddddddddddddd222zyxxxxxxxzzyyxxuuuuuuuuututututututu2d2d2222uuuuzyx如质量力是有势的，有势函数W，即zWZyWYxWX,,，则右边前三项是力势函数W的全微分：WzzWyyWxxWzZyYxXddddddd右边后三项为：pzzpyypxxpd1)ddd(1，对于密度为常数的不可压缩流体ppdd1经上述变换后，得到pWudd2d2或02d2upW.上式的积分lCupW22称为伯努利积分。伯努利积分表明：在理想流体的恒定流动中，同一流线上各点的22upW值是一个常数。其中W是力势函数，是不可压缩流体的密度。从推导过程看，积分是在流线上进行的，所以不同的流线可以有各自的积分常数，将它记作lC，称为流线常数。欧拉积分以上讨论了伯努利积分,其成立的条件是：理想，恒定，不可压，质量力有势。现在再加无旋（有势）条件，导出理想流体运动方程的欧拉积分。因为有理想、恒定的条件,所以x方向运动方程为:xpXzuuyuuxuuxzxyxx14-5再由无旋条件得xpXxuuxuuxuuzzyyxx1，即xpXuuuxzyx12222.同理，ypYuuuyzyx12222，zpZuuuzzyx12222.将三式分别乘上zyxd,d,d，然后相加，得到02d2upW.上式的积分CupW22称为欧拉积分。欧拉积分表明：在理想流体的恒定无旋流动中，流场中各点的22upW值是一个常数。其中W是力势函数，是不可压缩流体的密度。从推导过程看，zyxd,d,d可在流场中任取，所以积分常数C称为通用常数。表面上看，伯努利积分和欧拉积分很相似，但两者的适用条件和使用范围是不同的。§4—3恒定总流的能量方程一.恒定元流的能量方程伯努利积分在流线上成立，也在元流上成立。重力场中，理想、不可压流体恒定元流的1-1、2-2两个断面上，有：zpugzpug1112222222.伯努利积分是欧拉方程的各项单位质量流体受力（加速度）取了势函数而来的。力势函数是能量量纲（力对位移作积分），所以各项都是单位重量流体所具有的能量。z是单位重量流体所具有的位置势能（简称单位位置势能），p是单位重量流体所具有的压强势能（简称单位压强势能）。pz是单位重量流体所具有的总势能（简称单位总势能）。gu22为单位重量流体所具有的动能（简称单位动能）。三项之和zpug22为单位重量流体的总机械能（简称单位总机械能）。所以伯努利积分表示沿程机械能的守恒，可称为元流的能量方程。伯努利积分中的各项也都是长度量纲，可称为水头。z是位置水头，p是压强水头，pz是测压管水头，gu22为速度水头，三项之和zpug22为总水头。毕托管利用测压管和测速管得到总水头和测压管