第4章理论力学习题解

-20-4.1一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，质点的质量为m，比例系数为k，如此质点从距原点O为a的地方由静止开始运动，求其到达O点所需的时间。解：质点受引力为：xkF，其运动微分方程为：xktmddv（1）即：xkxmddvv分离变量积分：xaxxkmdd0vvvxakmln212v)ln(2ddxamktxv（2）（v与x反向，取负值）)ln00ln),0((xaxxaax令：yayexaexxayyyd2d)ln(22，代入（2）式得；mktyaey2dd22分离变量积分：)0:0:(yaxtytmkyea00d2d22tmka22π2故到达O点所需的时间为：kmat2π4.2一质点受力3KxaxF作用，求势能)(xV与运动微分方程的解。解：CxaxxxaxxFxV2232K21d)K(d)(适当选取势能零点，使0C，则222K21)(xaxxV机械能2222K2121xaxxmE常量（1）将（1）改写成2222K242xaxExm（2）质点运动微分方程：-21-32Kxaxxm22K22xaxxmx（3）（3）+（2）得22K44)(2xExxxm即0)K(K4dd2222Exmtx（4）（4）式通解：02K2cosKtmAEx当0x时，222K21xaxE解得KKK)(2max2aEEx，KK2aEA所以022K2cosKKKtmaEEx4.3若质点受有心力作用而在圆cos2ar上运动时，则5228rhmaF，式中m为质量，h为速度矩。试证明之。解：由cos2arcos211aru2cos2sinddau，3222cos2cos2ddau323228cos1ddraauu代入比耐公式：52222228)dd(rhmauuumhF4.4质点在有心力作用下运动，此力的量值为质点到力心距离r的函数，而质点的速率则于此距离成反比，即rav，如果)(222rhha，求质点的轨道方程。设当00时，rr.解：取平面极坐标系，其速度为：22)dd()dd(trtrravrharhatr22222dddddddddddd2rrhrtrtr，代入上式得：-22-rharrh222dd分离变量积分：022dd0hharrrr所以质点的轨道方程为：hharr220ln4.6质点所受的有心力如果为)(322rrmF，其中及都是常数，并且2h，则其轨道方程可写成：kearcos1试证明之。式中222222222,,hAkehkahhk（A为积分常数）。证：由比耐公式：)()dd(3222222rrmuuumhF)(1dd2222uhuu222222ddhuhhu2222hhkh令：，上式变为：22222ddhuku令：222khu，上式变为：0dd222k其解为：)cos(0kA-23-极轴转动0角度，使得00，则有：kAcos于是：222coskhkAu令：222hka，则：akAaakAu1cos1cos令：222hAkAae，则有：keaurcos11其中：222222222,,hAkehkahhk（A为积分常数）4.7若行星突然在其轨道上某处停止运动（假定轨道为圆形），则它将被吸引至太阳，所需时间为原有周期的82倍，试证明之。证：设行星在半径为0r的圆形轨道上运动，由0220SrmrmmGv则原有周期：S300π2π2GmrrTv（1）行星运动微分方程为：2SddrmmGtmv即：2SddrmGrvv（2）分离变量积分：rrrrGm02S0ddvvv)11(210S2rrGmv0S112ddrrGmtrv（3）令：dsincos2dcossec1102020rrrrrr，代入（3）式得；-24-trGmd2dcos30S2积分：))2π,0()0,((0rrttrGm030S22π0d2dcos即trGm30S24π行星被吸引至太阳所需的时间为：S3024πGmrt（4）（4）和（1）相比得：82Tt4.8试导出下面有心力量值的公式：rpmhFdd222。式中m为质点的质量，r为质点到力心的距离，常数，2rhp为力心到轨道切线的垂直距离。证：phrhprrrhsinsinsin2vv由动能定理：rFrFmdd)21(d2v])(21[dd2phmrFrpmhFdd2224.9质量为m的质点，受rFK的有心力作用，r为质点对力心的位矢，K为常数。试证明下列三定律：（1）m绕力心O运行轨道是椭圆；（2）位矢r在单位时间内扫过的面积相等；（3）周期与椭圆形状无关，只取决于K和m。解：（1）采用直角坐标系，如图。质点的运动微分方程为：xxmK（1）yymK（2）（1）（2）式的通解为：-25-0Kcostmax1Kcostmby极轴转动0角度，使得00，2π1则：tmaxKcos（3）tmbyKsin（4）消去时间参数t，得：12222byax——椭圆方程（2）质点受有心力作用，故质点对力心O的角动量守恒，即02Jmr（常数）在td时间内，位矢r扫过的面积：d21d21d2rrrS221ddrtSmJtS2dd0（常数）（5）即位矢r在单位时间内扫过的面积相等（3）质点初始角动量：mmabymaJtK00由(5)式得：mabmJtSK212dd0周期K2ddπmtSabT4.10如Av及Bv为质点在近日点及远日点处的速率，试证明：)1(:)1(:eeBAvv证：质点在有心力作用下，角动量守恒：11rhhrAAvv22rhhrBBvv圆锥曲线轨道方程：cos1epryrxOAvOBv1r2r-26-在近日点：epr10在远日点：epr1π于是hpehpeBA)1()1(vv所以：)1(:)1(:eeBAvv