理工科《高等数学》教学大纲(修订)

《高等数学》教学大纲(A)课程名称:中文名称:高等数学；英文名称：AdvancedMathematicsA课程编码：071012学分：12总学时：200学时适用专业：物理、食科、油工、勘工、地质、机械、电信、计科、土木、信管、化工、水文、生物、管理、教育、地化、经济先修课程：中学数学执笔人：胡春华审订人：王文珍一、课程的性质、目的与任务“高等数学”是理工科本科学生的一门必修的重要基础理论课。通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、微分方程；4、向量代数与空间解析几何；5、多元函数微积分学；6、无穷级数(包括傅立叶级数)等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。二、教学基本要求教学要求中，教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”、“知道”等词表述。未给出学时分配的章节是书中带﹡号的内容。三、教学内容与学时分配第一章函数与极限（20学时）§1.1映射与函数3学时§1.2数列的极限3学时§1.3函数的极限2学时§1.4无穷大与无穷小1学时§1.5极限运算法则1学时§1.6极限存在准则两个重要极限2学时§1.7无穷小的比较1学时§1.8函数的连续性与间断点2学时§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性1学时§1.10闭区间上连续函数的性质2学时第一章习题课2学时本章要求:1.理解函数的概念及函数的几种特性。2.理解复合函数和反函数的概念。3.熟悉基本初等函数的性质及其图形。4.会建立实际问题中变量之间的函数关系。5.理解极限的概念（极限的N、定义，对于给出求N或不作过高要求），掌握极限四则运算法则及换元法则，6.了解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。7.理解极限存在的夹逼准则，单调有界原理；掌握两个重要极限的求法。8.理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。掌握等价无穷小求极限的方法。9.理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理),并会应用。本章难点:建立函数关系式，极限概念，连续概念。第二章导数与微分(16学时)§2.1导数概念3学时§2.2函数的求导法则4学时§2.3高阶导数2学时§2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率3学时§2.5函数的微分2学时第二章习题课2学时本章要求:1．理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性，可微性及连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。2.熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。3.了解高阶导数的概念。4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法,及常见函数的高阶求导。5.会求由隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。本章难点:导数概念，复合函数求导法。第三章微分中值定理与导数的应用(22学时)§3.1微分中值定理3学时§3.2洛必达法则3学时§3.3泰勒公式2学时第三章习题课（一）2学时§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性4学时§3.5函数的极值与最大值最小值2学时§3.6函数图形的描绘2学时§3.7曲率1学时§3.8方程的近似解1学时第三章习题课（二）2学时本章要求:1．理解Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理和Taylor定理，并掌握其应用。2．掌握L’Hospital法则求不定式的极限。3．理解函数的极值概念，熟练掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。4．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。5.了解有向弧、弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。6.知道求方程近似解的二分法和切线法。本章难点:极值的运用，曲率概念。第四章不定积分（12学时）§4.1不定积分的概念与性质2学时§4.2换元积分法4学时§4.3分部积分法2学时§4.4有理函数的积分2学时§4.5积分表的使用第四章习题课（二）2学时本章要求:1.理解原函数与不定积分的概念及性质，2.熟练掌握不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。3.会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。本章难点:积分法。第五章定积分（14学时）§5.1定积分的概念与性质3学时§5.2微积分基本公式3学时§5.3定积分的换元法和分部积分法4学时§5.4反常积分2学时§5.5反常积分的审敛法函数第五章习题课2学时本章要求:1.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分条件。2.理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导，熟练掌握Newton—Leibniz公式。3.熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。4.了解反常积分的概念及反常积分的计算。5.知道函数及其主要性质。本章难点:定积分的概念，变上限的积分函数，定积分的换元法。第六章定积分的应用（6学时）§6.1定积分的元素法1学时§6.2定积分在几何学上的应用3学时§6.3定积分在物理学上的应用2学时本章要求:掌握元素法并能用定积分表达一些几何量与物理量的方法。本章难点:定积分的应用。第七章微分方程（14学时）§7.1微分方程的基本概念1学时§7.2可分离变量的微分方程1学时§7.3齐次方程1学时§7.4一阶线性微分方程1学时§7.5可降阶的高阶微分方程2学时§7.6高阶线性微分方程1学时§7.7常系数齐次线性微分方程1学时§7.8常系数非齐次线性微分方程3学时§7.9Euler方程§7.10常系数线性微分方程组解法举例1学时第七章习题课2学时本章要求:1.了解微分方程及其阶、解、通解、特解和初始条件概念。2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和Bernoulli方程，了解用变量代换求解方程的思想。3.会解全微分方程，能观察出最简单的积分因子。4.会用降阶法解下列方程：()()nyfx，(,)yfxy和(,)yfyy.5.理解线性微分方程解的结构，了解常数变易法。6.熟练掌握常系数齐次线性方程的解法，会求自由项形如()xnPxe和[()cos()sin]axnlePxxPxx的常系数非齐次线性方程的特解。7.了解常系数线性方程组及Euler方程的解法。8.了解幂级数解法。9.会用微分方程解一些简单的几何问题和物理问题。本章难点:微分方程应用。第八章空间解析几何与向量代数（16学时）§8.1向量及其线性运算3学时§8.2数量积向量积混合积3学时§8.3曲面及其方程2学时§8.4空间曲线及其方程2学时§8.5平面及其方程2学时§8.6空间直线及其方程2学时第八章习题课2学时本章要求:1.会计算二阶、三阶行列式。2.理解空间直角坐标系。3.理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件。4.掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式及用坐标表达式进行向量运算的方法。5.掌握平面的方程和直线的方程及求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。6.理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。7.了解空间曲线的参数方程和一般方程。8.了解曲面的交线在坐标平面上的投影。本章难点：曲面的方程及其图形。第九章多元函数微分学及其应用（18学时）§9.1多元函数的基本概念2学时§9.2偏导数2学时§9.3全微分2学时§9.4多元复合函数的求导法则2学时§9.5隐函数的求导公式2学时§9.6多元函数微分学的几何应用2学时§9.7方向导数与梯度2学时§9.8多元函数的极值及其求法2学时§9.9二元函数的泰勒公式§9.10最小二乘法第九章习题课2学时本章要求:1.理解多元函数的概念。2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3.理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。4.了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。5.熟练掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。6.会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。7.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。8.理解多元函数极值与条件极值的概念，会求多元函数的极值。了解求条件极值的Lagrange乘数法，会求一些较简单的最大值和最小值的应用问题。知道最小二乘法。本章难点：多元复合函数求导法。第十章重积分（18学时）§10.1二重积分的概念与性质2学时§10.2二重积分的计算法6学时§10.3三重积分6学时§10.4重积分的应用2学时第十章习题课2学时本章要求:1.理解二重积分、三重积分的概念及性质。2.熟练掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。知道重积分的换元法。3.会用重积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。本章难点：三重积分计算。第十一章曲线积分与曲面积分（24学时）§11.1对弧长的曲线积分2学时§11.2对坐标的曲线积分3学时§11.3Green公式及其应用4学时第十一章习题课（一）2学时§11.4对面积的曲面积分2学时§11.5对坐标的曲面积分3学时§11.6Gauss公式通量与散度3学时§11.7Stokes公式环流量与旋度3学时第十一章习题课（二）2学时本章要求:1.理解两类曲线积分的概念、性质及相互间关系，掌握两类曲线积分的计算方法。2.掌握Green公式及平面曲线积分与路径无关的条件。3.理解两类曲面积分的概念、性质及相互间的关系，会计算两类曲面积分。4.掌握Gauss公式。5.了解Stokes公式。6.了解数量场、向量场的概念，了解散度、旋度的概念及其计算公式，了解无源场、无旋场及调和场的概念。本章难点：第二类曲线、曲面积分概念，第二类曲面积分的计算。第十二章无穷级数（20学时）§12.1常数项级数的概念和性质2学时§12.2常数项级数的审敛法4学时§12.3幂级数3学时§12.4函数展开成幂级数3学时§12.5函数的幂级数展开式的应用1学时§12.6函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质§12.7Fourier级数4学时§12.8一般周期函数的Fourier级数1学时第十二章习题课2学时本章要求:1.理解无穷级数收敛、发散以及和函数的概念，熟悉无穷级数基本性质及收敛的必要条件。2.熟练掌握几何级数和p级数的收敛性。3.了解正项级数的比较审敛法和极限审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。4.了解交错级数的Leibniz定理，知道交错级数的余项估计。5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。了解绝对收敛级数的一些基本性质。6.理解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7.掌握较简单的幂级数收敛域的求法。8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质。9.知道函数展开为Taylor级数的充分必要条件。10.掌握,sin,cos,ln(1)xexxx和(1)x的Maclaurin展开式，并能将一些简单的函数间接展开成幂级数。11.知道幂级数在近似计算上的简单应用。12.了解函数展开为Fourier级数的Dirichlet条件，会将定义在(,)和(,)ll上的函数展开为Fourier级数，并会将定义在(0,)l上的函数展开为正弦或余弦级数。本章难点：求级数的和函数及求函数的展开式。四、教材及教学参考书教材：同济大学应用数学系主编．《高等数学》(第五版)上、下册．高等教育出版社参考书：1.同济大学应用数学系编．《微积分》上、