理力哈工大第七版-点的运动

第五章点的运动学§运动学基本概念§自然坐标法§直角坐标法§矢径表示法§运动学的基本概念一.参考体:要确定某物体在空间的位置,必须选取另一不变形的物体作为参考体.如:书和黑板擦放在讲台上,书在运动,选黑板擦为“参考体”.二.参考坐标系:如将坐标系固连于参考体上,就构成参考坐标系.若某一物体相对参考坐标系是静体,则对于此坐标系来说,物体静止;反之运动。三.静坐标系:一般固连于地球上的坐标系为参考坐标系,通常称为静坐标系。说明：古典力学认为时间和空间的度量对于所有参考系都是一样的，且将时间视为连续的自变量。四.瞬时：对应于某一事件发生或终止的时间。如上课开始时。五.时间间隔:两个瞬时之间的时间数。如上课开始与结束之间的时间数45分钟。六.轨迹:点在空间运动所经过的路线。直线运动,曲线运动。§5-1矢量法ov'Mr(t)rr(t+t)vM'rrt运动方程单位速度ddrvrtm/s加速度单位2m/s22ddddvravrtt提问：如何确定速度和加速度的方向？矢端曲线速度矢径矢端曲线切线加速度速度矢端曲线切线§5-2直角坐标法zxyMyxzijkrav任一定点t1,t2,t3.2v1va4v3v直角坐标与矢径坐标之间的关系运动方程()()()xxtyytzzt()()()rtxtiytjztkddxxvtddyyvtddzzvtddddddddxyzrxyzvijkvivjvktttt速度22ddddyyvyatt22ddddzzvzatt22ddddxxvxatt加速度ddddddddyxzxyzvvvvaijkaiajaktttt求：①M点的运动方程；②轨迹；③速度；④加速度。已知：椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接，而规尺A，B两端分别在相互垂直的滑槽中运动，ωtaMClBCACOC,,例5-1ByoCMA点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。运动方程()cos()cosxOCCMlattalAMysin)(sin消去t,得轨迹1)((2222alyalx）解：速度talxvxsintalyvycos)(22()sincos(,)2cos2xvlatvivlaalt22()coscos(,)2cos2yvlatvjvlaalt2222222222()sin()cos2cos2xyvvvlatlatlaalt加速度talxvaxxcos2talyvayysin2taltalaaayx24224222sin(cos）2222cos2laalt22()coscos(,)2cos2xalataialaalt22()sincos(,)2cos2yalatajalaalt已知：正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，它与水平线间的夹角为其中为t=0时的夹角，为一常数。动杆上A，B两点间距离为b。,t例5-2求：点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。运动方程)sin(sintrbrbxA)sin(sintrrxBB点的速度和加速度trxvBBcos22sinBBBaxrtx周期运动()xtTxt频率Tf1解：oMSAΦ(+)(-)如图所示,飞轮半径R=50cm.绕O转动,轮上直线OM与Φ水平线间的夹角Φ的变化规律为Φ=2t2,求M点的运动方程。例5-3解：取直角坐标.建立如图的直角坐标系x=RcosΦ,y=RsinΦ将Φ=2t2代入,则有x=50cos2t2,y=50sin2t2yxyxoΦRM分析齿轮上一点的运动外啮合齿轮§5-3自然法()sft1.弧坐标副法线单位矢量bn切向单位矢量n主法线单位矢量2.自然轴系自然法：利用点的运动轨迹建立弧坐标和自然轴系，利用它们描述和分析点的运动的方法。dddd1ddddsss因为方向同nddns所以?ddddddddrrssvvtstt3.速度ddddddvvavttt4.加速度ddddddsvntst代入2ddtnvvanaant则——切向加速度——法向加速度曲线匀变速运动22tddddtstva22n)dd(1tsvan2t2aaa曲线匀速运动常数tvssvva000t,,0常数2t00t0t21,,tatvsstavva已知：列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。例5-4求：列车起点和末点的加速度。列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。②120smin2t2n2t2m/s308.0aaa222nm/s281.0800mm/s)15(Rva①0,0nat2tm/s125.0aa2tm/s125.0120sm/s15tvatavt有0,0tva由常数解：由点M的运动方程，得txatxvxx4sin32,4cos8tyatyvyy4cos32,4sin84,0zzvzaz222222280ms,32msxyzxyzvvvvaaaa从而2n2.5mva故已知点的运动方程为x=2sin4tm，y=2cos4tm，z=4tm。求：点运动轨迹的曲率半径。2ntm/s32,0ddaatva例5-5解：【解】:已知点的运动方程,可通过求导得到速度和加速度,利用an=v2/,求出曲率半径.思路先求速度方程232tdtdyvtdtdxvyx已知M点的运动方程为x=t2,y=t3(长度以cm计,时间以秒计),试求轨迹在点(1,1)处的曲率半径.例5-6422294ttvvvyx再求加速度方程tdtdvadtdvayyxx62222364taaayx423942368ttttdtdva当x=1,y=1时,即t2=1,t3=1,t=1(秒)故)/(13/22)/(102364)/(139429423681211scmascmascmv则)(81.713613/)/(13613224012112221211cmavscmaaannoRA+-avMana【解】当t=1s时,s=100·12=100mm即动点的位置M如以角表示,则此时3.571100100radRStSv200t=1时,v=200mm/s正值AM=100mm动点M作圆周运动,圆半径R=100mm(如图),弧坐标原点定在A点,S的正负向规定如图.已知S=100t2,t单位为秒,S单位为mm.求在t=1s时动点的位置,速度和全加速度。例5-7故速度矢量应沿圆周在M点的切线指向S增加的一边.v222.0200smsmmSa常量作匀变速运动2224.01.02.0smvan故22222447.04.02.0smaaan方向角为:5.04.02.0naatg6.26