理论力学14压杆稳定

第十四章压杆稳定压杆稳定§１４－1压杆稳定的概念在前面的分析中构件的承载能力包括强度和刚度。那么是不是构件具有足够的强度、刚度，就能安全可靠地工作呢？横跨圣劳伦斯河的魁北克桥，即将建成前突然倒塌，9000t的钢桥全部落入水中。当场造成了至少75人死亡，多人受伤。桥梁破坏从开始到结束只有15秒钟。事故调查显示，这起悲剧是下弦压杆失稳造成的。2压杆稳定对中心受压杆来说，从强度角度看，只要校核截面上的正应力不超过材料的许用应力即可，根据强度条件，压杆能承受的荷载为F＝[σ]·A。但实际上，受压杆特别是较细长的受压杆远不能承受F＝[σ]·A这么大的荷载．F例如，所示的横截面为50mm×4mm，长度为l＝1m的木杆。如果[σ]=10MPa，按强度条件其可承受的压力为F＝[σ]·A=2000N。但实际上，当F不足30N时，杆发生了侧向弯曲，力再稍增加，杆就折断了。这是由于受压杆丧失稳定所致。l50mm4mm3压杆稳定所谓压杆的稳定，是指受压杆件其平衡状态的稳定性。理想弹性压杆：材料均匀、杆轴为直线、压力沿轴线方向的压杆。作用压力F，给一横向干扰力（1）稳定平衡——若干扰力撤消，直杆能回到原有的直线平衡状态，图b，压力F小于某值Fcr（2）不稳定平衡——若干扰力撤消，直杆不能回到原有直线平衡状态，图c，压力F大于某值FFFcrFFcrFcrFcr称为临界力。(a)(b)(c)4l压杆稳定§1４-2一、压杆的临界力压杆的临界力和临界应力假定压杆处于微弯的平衡状态，求出所需的最小压力即为临界力。挠曲线近似微分方程xxFcrv(x)Fcr2v+v=v+kv=0EI其中xyyFcrFcr5k2Fcr=EIx−FcrMv=v=EIEIFcrl压杆稳定挠曲线近似微分方程微分方程的通解v+kv=02k2v=Asinkx+Bcoskxv(0)=v(l)=0Fcr=EIx确定积分常数的边界条件A×0+B=0Asinkl+Bcoskl=0n=0,1,2Λlsinkl=0kl=nπnπ2Fcr=()EI(n=0,1,2,L)ly6x压杆稳定nπ2Fcr=()EI(n=0,1,2,L)l真实的临界力应为Fcr中非零的最小值，即n=1两端铰支压杆的临界力为lxFcr=kl=ππEI2l2v=Asinkx+Bcoskx}yv=Asinπlxx两端铰支压杆的临界失稳挠曲线为正弦曲线的半波曲线。7压杆稳定对于其他杆端约束情况下的压杆，利用同样方法求得临界力。各种细长压杆的临界力可由欧拉公式的一般形式表示πEIminFcr=2(μl)2μ称为长度因数（系数）μl称为相当长度8压杆稳定不同约束条件下压杆的长度系数和欧拉公式杆端约束情况两端铰支一端固定一端铰支两端固定一端固定一端自由一端固定一端滑动Fcr失稳时挠曲线形状FcrFcrFcrFcrll长度系数欧拉公式μ=1Fcr=lμ=0.7Fcr=lμ=0.52μ=22μ=1Fcr=πEI2πEI2l2(0.7l)Fcr=πEI2(0.5l)Fcr=πEI2πEI2(2l)2ll29例1已知木杆的截面如图所示，E=10GPa。求木杆临界力。y解πEIminFcr=2(μl)2z50mmImin=Iy,μ=14mm13−12π×10×10××50×4×1012=26.3NFcr=2(1×1)2910压杆稳定二、压杆的临界应力临界力是压杆保持直线平衡状态所能承受的最大压力，因而压杆在开始失稳时横截面上的应力仍按轴向拉压杆的应力公式计算FA22222FcrπEIπE(I/A)πEiπE====σcr=2222(μl)A(μl)A(μl)(μl)i=IA截面的惯性半径临界应力σcr=cri2λ=μli柔度综合反映了杆端约束、柔度或长细比杆长、杆件截面形状和尺寸对临界力的影响11压杆稳定πEσcr=2λ2柔度λ柔度越大，临界应力（临界力）越小，杆件越容易失稳。三、欧拉公式的适用范围σ≤σpπEπEσcr=2≤σp=2⇒λλp22λ≥λpσ≤σp或πEλp=σp2欧拉公式的适用范围为λ≥λp12柔度λ≥λp的压杆称为大柔度杆或细长杆。压杆稳定四、经验公式对于λs≤λλp的压杆，临界应力采用经验公式计算σcr=a−bλa−σsλs=b直线公式为材料常数，可查表获得柔度λs≤λλp的压杆，称为中柔度杆或中长杆。对于λλs的压杆，破坏是由于强度问题引起的，这类杆件称为小柔度杆或短粗杆。13压杆稳定压杆按其柔度可分为三类，分别用不同的公式计算临界应力：大柔度杆或细长杆欧拉公式λ≥λpπEσcr=2λ2中柔度杆或中长杆直线公式小柔度杆或短粗杆λs≤λλpσcr=a−bλλλs14应用强度条件计算压杆稳定临界应力总图σcrσsσpσcr=a−bλπEσcr=2λ2λsλpλ临界应力总图表示临界应力随柔度的变化。15压杆稳定思考：两压杆为管状薄壁容器式细长杆，管两端封闭，且为铰支座。ａ杆无内压，ｂ杆有内压，其他条件相同。则两杆临界应力的关系如何？πEσcr=2λ2λ=μli答：相同。若压杆在两个方向上的约束不同，且μyμz。则为保证该截面为合理截面的条件是什么？答：IyIzλy=λz16压杆稳定两根中心受压杆的材料和支撑情况相同，若两杆的所有尺寸均成比例，即彼此几何相似，则两杆的临界应力如何？πEσcr=2λ2λ=μlii=IA答：相等。非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界应力，其结果σ比实际大还是小？cr答：大。σsσpσcr=a−bλσcrπE=2λ2λsλpλ17压杆稳定§１４－３压杆的稳定计算规定的稳定安全系数一、压杆的稳定计算安全系数法Fcrσcrnst==≥[n]stFσ稳定安全系数－－压杆的稳定条件规定的稳定安全系数的选择除考虑确定强度安全系数的因素外，还应考虑实际压杆不可避免地存在杆轴线的初曲率、压力的偏心等因素，因此稳定安全系数一般比强度18安全系数要大。压杆稳定折减系数法[σ]st=ϕ[σ]σ≤ϕ[σ]ϕ=ϕ(λ)称为折减系数强度许用应力19例2一连杆尺寸如图，材料为Ａ３钢，E=200GPa，σp=200MPa，σs=240MPa，F=110kN，[n]st=3试校核连杆的稳定性。yb=25yh=60yxlFxzl=940曲柄销z滑块销xl1=880zl1Fx20例解2yb=25yh=60求柔度xoy平面失稳时，μ=1bhh12=iz=bh236==1.732cm233zl=940曲柄销xz滑块销xl1=880ylFx1×9495λz===54.3iz1.732μlzl1Fx21例2yb=25yh=60xoz平面失稳时，μ=0.52.5iy===0.722cm2323bzl=940曲柄销xz滑块销xl1=8800.5×88λy==610.722λyλzλp=π在ｘｏｚ平面内失稳zl1FxEσp=100λyλp22例2采用直线公式计算临界应力，查表可知：a=304MPab=1.12MPaa−σsλs==57b该杆为中长杆λsλyλpσcr=a−bλy=235.7MPaFcr=A⋅σcr=353.6kNFcrnst==3.2≥[n]stF该杆稳定23例2问题：若要求连杆在xｏy和xｏz两平面内失稳时的临界力相等，则应满足什么条件？λy=λz0.5l1l=IzIyAAylFxzl1FxIzl=42Iyl1l≈l1∴Iz≈4Iy224压杆稳定二、提高压杆稳定性的措施尽量减小压杆长度lFcrFcrll0.5lμ=1Fcr=πEI2l2Fcr=4πEI2l225压杆稳定选择合理截面在不增加压杆横截面面积的前提下，应尽量增大惯性矩。如空心圆环形截面比实心圆截面合理；应使压杆在各方向的稳定性相近。改善约束条件压杆两端固定的越牢，μ值越小，柔度越小，提高压杆的稳定性。26压杆稳定本章小结压杆稳定的概念压杆的临界力Fcr=πEI2l2πEIminFcr=2(μl)2压杆的临界应力大柔度杆或细长杆λ≥λp欧拉公式πEσcr=2λ227压杆稳定λs≤λλp直线公式σcr=a−bλ中柔度杆或中长杆小柔度杆或短粗杆临界应力总图压杆的稳定计算安全系数法折减系数法λλs应用强度条件计算Fcrσcrnst==≥[n]stFσσ≤ϕ[σ]28压杆稳定提高压杆稳定性的措施尽量减小压杆长度l选择合理截面改善约束条件29压杆稳定本章作业y（1）已知钢杆如图所示，E=200GPa。试求临界力。z10mm50mm.5（2）一压杆材料为Q235钢，[nst]=2，，，。试计算钢F=70kNl=250cmr=4cmδ管厚度。30