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第十五章运动学基础运动学基础前面各章研究的都是处于平衡状态的物体。本章介绍物体运动时其位置的变化规律以及运动状态与作用力之间关系。包括：点和刚体运动的描述；点的速度、加速度以及刚体的角速度和角加速度的计算；点的运动微分方程和刚体定轴转动微分方程；动能定理；动静法。2运动学基础§１５-1１５一、点的运动１、矢径法运动方程点和刚体的运动rrr=r(t)rv=rdrdtr&=r速度单位m/s加速度ra=rdvdt=rdr2dt2r&r&=&=vr单位m/s23运动学基础矢端曲线速度矢径矢端曲线切线加速度速度矢端曲线切线4运动学基础２、直角坐标法运动方程x=x(t)y=y(t)z=z(t)直角坐标与矢径坐标之间的关系rrrrr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k5运动学基础速度rrrrrdrdxrdyrdzrv==i+j+k=vxi+vyj+vzkdtdtdtdtdxvx=dtdyvy=dtdzvz=dt6运动学基础加速度rrrrdvdvxrdvyrdvzrra==i+j+k=axi+ayj+azkdtdtdtdtdvxdxax==2dtdtay=dvydt=dydt2222dvzdz=2az=dtdt7例1椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接，而规尺A，B两端分别在相互垂直的滑槽中运动。已知：OC=AC=BC=l,MC=a,ϕ=ωt。求：①M点的运动方程；②轨迹；③速度；④加速度。8例解1点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。运动方程x=(OC+CM)cosϕ=(l+a)cosωty=AMsinϕ=(l−a)sinωt消去t,得轨迹xy+=122(l+a）(l−a)922例速度1&vx=x=−(l+a)ωsinωt&vy=y=(l−a)ωcosωtv=vx+vy=(l+a)ωsinωt+(l−a)ωcosωt22222222=ωl+a−2alcos2ωtvx(l+a)sinωtrrcos(v,i)==−22vl+a−2alcos2ωtvy(l−a)cosωtrrcos(v,j)==22vl+a−2alcos2ωt2210例加速度1&x&ax=vx=&=−(l+a)ωcosωt2&y&ay=vy=&=−(l−a)ωsinωt2a=a+a=2x2y(l+a)ω24cosωt+(l−a）sinωtω2242rrax(l+a)cosωtcos(a,i)==−22al+a+2alcos2ωtayrr(l−a)sinωtcos(a,j)==−22al+a+2alcos2ωt=ω2l+a+2alcos2ωt2211运动学基础３、自然法３、自然法：利用点的运动轨迹建立弧坐标和自然轴系，利用它们描述和分析点的运动的方法。弧坐标自然轴系切向单位矢量s=f(t)rτ主法线单位矢量副法线单位矢量rnrrrb=τ×n12运动学基础因为dτdτdϕdϕ1===dsdϕdsdsρdτrn=ρdsrrrr方向同n所以13运动学基础速度rrdrdrdsdsrrrv===τ=vτdtdsdtdtrrdτrdvdvra==τ+v加速度dtdtdtrrdτdτdsvr代入==ndtdsdtρ则rdvrvrrra=τ+n=atτ+anndtρ142运动学基础dvds=2—切向加速度at=dtdt1⎛ds⎞an==⎜⎟ρρ⎝dt⎠v222—法向加速度a=2at2+an曲线匀速运动at=0,v=v0=常数,s=s0+v0t曲线匀变速运动12at=常数,v=v0+att,s=s0+v0t+att215思考：ρ当点作曲线运动时，点的加速度a为恒矢量。问点是否作匀变速运动？答：点的加速度为恒矢量，但切向加速度不一定不变，所以不一定是匀变速运动。16例２已知点的运动方程为x=2sin4tm，y=2cos4tm，z=4tm。ρ。求：点运动轨迹的曲率半径解由点M的运动方程，得&&vx=x=8cos4t,ax=&=−32sin4tx&&vy=y=−8sin4t,ay=&=−32cos4ty&&vz=z=4,az=&=0z从而v=v+v+v=80ms,a=a+a+a=32ms2x2y2z2x2y2z2vdv2=2.5m而at==0,an=a=32ms故ρ=andt172运动学基础二、刚体的平移和转动１、刚体的平移刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始位置，这种运动称为平行移动，简称平移。18运动学基础运动方程uuurrrrB=rA+AB速度和加速度分布uuurdABdt因为()=0rrrdvBdvAraB===aAdtdt19所以rrrdrBdrArvB===vAdtdt刚体平移→点的运动运动学基础２、刚体绕定轴的转动刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。转轴：两点连线转角：ϕ运动方程单位:弧度(rad)ϕ=f(t)20运动学基础⎧dϕdϕ⎪大小：ω=dt⎨dt⎪⎩方向：逆时针为正角速度角加速度dωdϕ&&&α==2=ω=ϕdtdt2匀速转动dω=0α=dtϕ=ϕ0+ωtω=ω0+αt21匀变速转动dωα==contdt12ϕ=ϕ0+ω0t+αt2运动学基础转动刚体内各点的速度和加速度点的运动方程s=Rϕ速度&&v=s=Rϕ=Rω加速度dvat==&=Rαs&dt2v122an==(Rω)=RωρR22运动学基础速度与加速度分布图v=Rωa=a+a=Rα+ω2t2n24atαtanθ==2anω23运动学基础思考：各点都作圆周运动的刚体一定是定轴转动吗？答：不一定。刚体绕定轴转动时，角加速度为正，表示加速转动，对吗？答：不对，应考虑角速度的转向。24运动学基础三、点的合成运动１、点的合成运动的概念相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动的组合而成－合成运动。车刀刀尖的运动相对地面：直线运动相对工件：曲线运动（螺旋运动）工件相对地面：定轴转动25运动学基础两个坐标系定坐标系（定系）动坐标系（动系）三种运动绝对运动：动点相对于定系的运动。相对运动：动点相对于动系的运动。牵连运动：动系相对于定系的运动。26运动学基础相对轨迹绝对轨迹r相对速度vrr相对加速度arrr牵连速度ve和牵连加速度aerva绝对速度r绝对加速度aa在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。27运动学基础思考：ω,α，小球的相对速度u，OM=l。已知：求：牵连速度和牵连加速度yy'Mx'Oφx28运动学基础２、点的速度合成定理O定系：Ｏxyz，动系：'x'y'z'，动点：ＭrrrrM=rO′+r'rrrrr'=x′i'+y′j'+z′k'rrrM=rM′M'为牵连点29运动学基础r%'rrrrdr&&&=x′i'+y′j'+z′k'vr=dt导数上加“～”表示相对导数。rdrM′rve=dtrrrr&&+y′&+z′k'&+x′i'=rO′j'rrrrrrrdrMrr&&+y′&+z′k'+x′i'+y′j'+z′k'&+x′i'&&&va=j'=rO′dtrrrva=ve+vr点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。30例３刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。求：曲柄在水平位置时摇杆的角速度ω1。31例解３动系：摇杆1、动点：滑块AO1B2、运动分析：绝对运动－绕O点的圆周运动；相对运动－沿O1B的直线运动；牵连运动－绕O1轴定轴转动。3、rrrva=ve+vr大小rω??方向√√√ve=vasinϕ=ωrsinϕverω=22ω1=O1Al+r232例４如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求：在图示位置时，杆AB的速度。33例解４动系：凸轮1、动点：AB杆上A2、绝对运动：直线运动（AB）相对运动：圆周运动（半径R）牵连运动：定轴运动（轴O）rrr3、v=v+vaer大小?ω⋅OA方向√√√?e=ωeva=vecotθ=ω⋅OA⋅OA34例５矿砂从传送带A落入到另一传送带B上，如图所示。站在地面上观察矿砂下落的速度为v1=4ms，方向与铅直线0角。已知传送带B水平传动速度v=3ms。求：矿砂成302相对于传送带B的速度。35例５动系：传送带B解1、动点：矿砂Mrv1）2、绝对运动：直线运动（r牵连运动：平移（v2）相对运动：未知3、rrva=vev1v2√√2a2e+rvr??ο大小方向vr=v+v−2vavecos60=3.6ms36例６圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转动，支承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如图所示。圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。求：当连线OM在水平位置时，圆盘边缘上的点M的绝对速度。37例６动系：框架BACD解1、动点：M点2、绝对运动：未知相对运动：圆周运动（圆心O点）牵连运动：定轴转动（AB轴)3、rrva=ve??2e+√rvr大小方向Rω2√2rRω12122va=v+v=Rω+ω⎛ve⎞⎛ω2⎞β=arctan⎜⎟=arctan⎜⎟ω1⎠vr⎠⎝⎝38运动学基础四、刚体的平面运动１、平面运动的概念在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。39运动学基础运动方程平面运动简化为平面图形在其自身平面内的运动。⎧xO′=f1(t)⎪⎨yO′=f2(t)⎪ϕ=f3(t)⎩40运动学基础２、平面运动的分解O′x′y′−平移坐标系平面运动=随O′x′y′的平移+绕O′点的转动=+平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。41运动学基础３、平面图形上各点的速度基点法动点：M动系：O′x′y′绝对运动：待求相对运动：绕(平移坐标系)O′点的圆周运动牵连运动：平移rrrrrvM=ve+vr=vO′+ω×O′M42运动学基础任意A，B两点rvBr=vAr+vBA其中⎧大小vBA=AB⋅ωr⎪vBA=⎨uuur⎪方向垂直于AB，指向同ω⎩平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。43例７椭圆规尺的A端以速度vA沿x轴的负向运动，如图所示，AB=l。求：B端的速度以及尺AB的角速度。44例解７基点：A1、AB作平面运动2、rrrvB=vA+vBAvA√vA=sinϕ大小？方向√?√vB=vAcotϕvBAωABvBAvA==llsinϕ45例８如图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角速度为ω=5rad/s。求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。46例解８基点：B1、BD作平面运动2、rrrvD=vB+vDB大小？方向√ωl√?√rrr3、vC=vB+vCBvD=vDB=vB=ωlωDEωBDvDvB大小？ωlωBDl2===ω=5radsDEl方向?√√22vDBvB===ω=5radsvC=vB−vCB≈1.299msBDl47方向沿BD杆向右例９曲柄连杆机构如图所示，OA=r,AB=以匀角速度ω转动。求：当3r。如曲柄OAＢ点的速度。48例９基点：A解：1、AB作平面运动rrr2、vB=vA+vBA大小？ωr?方向√ϕ=60ϕ=0οο√√οvB=vAcos30=23ωr3vB=0οϕ=90vB=vA=ωr,vBA=049例１０为ωO。如图所示的行星轮系中，大齿轮Ⅰ固定，半径为r1，行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度求：轮Ⅱ的角速度ωⅡ及其上B，C两点的速度。50例解１０基点：AvDA=vA=ωO(r1+r2)rrr2、vD=vA+vDA=01、轮Ⅱ作平面运动⎛r1⎞vDAvA==ωO⎜1+⎟ωⅡ=DAr2⎝r2⎠rrr３、vB=vA+vBA大小？ωO(r1+r2)ωⅡr2方向√2A2BAvB=v