理论力学6—点的运动学

运动学运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。时间概念要明确：瞬时和时间间隔。运动学所研究的力学模型为：点和刚体。6点的运动学本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。1.运动方程()trr选取参考系上某确定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。当动点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即6.1矢量法MrO2.速度动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。6.1矢量法动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。AMBOr(t)r(t+Δt)M'vv*Δr0limtttddrrv3.加速度220ddlimddttttvvra点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。6.1矢量法有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间的一阶导数，加“..”表示该量对时间的二阶导数。avr如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时的速度矢v0,v1,v2，…等都平行地移到点O，连接各矢量的端点M1，M2，M3，…，就构成了矢量v端点的连续曲线，称为速度矢端曲线，如图所示。动点的加速度矢a的方向与速度矢端曲线在相应点M的切线相平行。6.1矢量法速度矢端曲线OM1M2M3vv1v2a加速度的方向确定这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。123()()()xftyftzftxyzrijk如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r可表示为：6.2直角坐标法MrOkijyyxxzzxyzxyzvvvvrijkijk速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。速度6.2直角坐标法若已知速度的投影，则速度的大小为222zyxv其方向余弦为cos(,),cos(,),cos(,)xyzvvvvivjvk,,xyzxxyyzzaaaavxavyavzaijk加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。加速度6.2直角坐标法若已知加速度的投影，则加速度的大小为222222zyxaaaazyx其方向余弦为cos(,),cos(,),cos(,)xyzaaaaiajak解：取M点的直线轨迹为x轴，曲柄的转动中心O为坐标圆点。M点的坐标为：例1下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄OA长为r，自水平位置开始以匀角速度w转动，即j=wt，滑槽K-K与导杆B-B制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲柄带动导杆B-B作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。sinsinxOMOArjjBABOKMKwxjx将j=wt带入上式，得M点的运动方程：sinxrtw将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：dcosdxvrttww222ddsinddvxartttww例2曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构。当曲柄OA绕O轴转动时，由于连杆AB带动，滑块沿直线作往复运动。设曲柄OA长为r，以角速度w绕O轴转动，即j＝wt，连杆AB长为l。试求滑块B的运动方程、速度和加速度。解：取滑块B的直线轨迹为x轴，曲柄的转动中心O为坐标原点。在经过t秒后，此时B点的坐标为：coscosxOBOCCBrljABOClxwxj整理可得B的运动方程：22cos1sin)xrtltww由此可得滑块B的速度和加速度：d(sinsin2)d2xvrttt2d(coscos2)dvarttwww将右边最后一项展开：2(1)(coscos2)44xlrttww222244111sin1sinsin28tttwww22cos1sin)xrtltww例3一人高h2，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面的高为h1，求人影的顶端M沿地面移动的速度。解:取坐标系x如图所示，由几何关系得:122MMhxhxx1212Mhxxhh上式对t求一阶导数，得M点的速度为:..11211212Mhhvxxvhhhhh1h2xmx2Mx)(tfs这就是自然坐标形式的点的运动方程。6.3自然法1弧坐标设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即MOs(-)(+)2自然轴系即以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴系。且三个单位矢量满足右手法则，即6.3自然法密切面法面切线主法线副法线Mnbttbnt1t'1tM1在点的运动轨迹曲线上取极为接近的两点M和M1，这两点切线的单位矢量分别为t和t1，其指向与弧坐标正向一致。将t1平移到点M，则t和t1’决定一平面。令M无限趋近点M1，则此平面趋近于某一极限位置，此极限平面称为曲线在点M的密切面。过点M并与切线垂直的平面称为法平面，法平面与密切面的交线称主法线。令主法线的单位矢量为n，指向曲线内凹一侧。过点M且垂直于切线及主法线的直线称副法线，其单位矢量为b，指向与t、n构成右手系。曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲线在M点的曲率。曲率的倒数称为M点的曲率半径。曲率01dlimdsSSjjMM'△s△jtt'6.3自然法6.3自然法2sin2jjττ00d1limlimdsssssjττnn两个相关的计算结果(当Δt→0)OMM'tt't△j△s△t3点的速度6.3自然法00dlimlimdttSstttrvddSvtvττ用矢量表示为：在曲线运动中，点的速度是矢量。它的大小等于弧坐标对于时间的一阶导数，它的方向沿轨迹的切线，并指向运动的一方。rr'△rMM'△stv4点的切向加速度和法向加速度6.3自然法dddd()ddddtntnvvvaattttvτaττaaτn由于ddddddddddssvttsstτττn所以2ddvvtaτnddtvat4点的切向加速度和法向加速度6.3自然法上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量an的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。2ddvvtaτn全加速度为at和an的矢量和全加速度的大小和方向由下列二式决定：22tnaaa大小：方向：6.3自然法tnaaatn||tanaa200t12ssvtatttddacvat了解上述关系后，容易得到曲线运动的运动规律。例如所谓曲线匀速运动，即动点速度的代数值保持不变。0ssvt如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动点的运动称为匀变速曲线运动。现在来求它的运动规律。6.3自然法例4下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R＝16cm，料斗沿铅垂提升的运动方程为y＝2t2，y以cm记，t以s计。求卷筒边缘一点M在t＝4s时的速度和加速度。OMRM'A0AM0y解：此时M点的切向加速度为：2td4cm/sdvatv＝4×4＝16cm/s当t=4s时速度为：d4dSvttM点的法向加速度为：2216/nvacmsRM点的全加速度为：222tn16.5cm/saaatntan||0.25arctan0.25142'aa例5列车沿曲线轨道行驶，初速度v1=18km/h，速度均匀增加，行驶s=1km后，速度增加到v2=54km/h，若铁轨曲线形状如图1-17所示。在M1、M2点的曲率半径分别为ρ1=600m,ρ2=800m。求列车从M1到M2所需的时间和经过M1和M2处的加速度。M1M2V1V1an1a1a2an2ar1ar2解：222210.1/2amssvvt求列车经过M1和M2时的法向加速度为：221110.042/namsv222220.281/namsv12100tsavvt列车经过M1时的全加速度为：222110.108/naaacmst111tan||2.38arctan2.3867.4naat222220.293/naaacmst222tan||0.355arctan0.35519.5naat列车经过M2时的加速度为：例6杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知φ＝wt(w为常数)。求小环M的运动方程、速度和加速度。解：建立如图所示的直角坐标系。则即为小环M的运动方程。jj2cos2sinRyRxtRytRxww2cos2sintRxvxww2cos2tRyvyww2sin2ABMOjxyj2故M点的速度大小为wRvvvyx222其方向余弦为cos(,)cos2xvvjvicos(,)sin2yvvjvjxtRvaxx2242sin4ytRvayy2242cos4故M点的加速度大小为2224wRaaayx且有2222444()4xyxyaijijrABMOjxyj2vxvyvaMMjRoj例7半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动，，试分析轮子边缘一点M的运动。twj此处有影片播放取坐标系Axy如图所示，并设M点所在的一个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为)sin(sinjjjROMACx)cos1(cosjjROMOCy这是旋轮线的参数方程。joRCAxyMM点的速度为：jRiRjyixv)sin()cos1(jjjj当M点与地面接触，即时，M点速度等于零。jk2joRCAxyM22sincosaxiyjrtirtj