理论力学第10章动量定理.

理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系第十章动量定理2019年12月21日TheoreticalMaterials理论力学理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系动力学普遍定理概述§10－2动量定理§10－1动量与冲量本章内容§10－3质心运动定理理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系实际上的问题是：1、联立求解微分方程非常困难。2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动,仅需要研究质点系整体的运动情况。对质点动力学问题：建立质点运动微分方程求解。对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n个微分方程，联立求解它们即可。从本章起,将要讲述解答动力学问题的其它方法,而首先要讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。动力学普遍定理概述理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系几个有意义的实际问题地面拔河与太空拔河，谁胜谁负？理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系？偏心转子电动机工作时为什么会左右运动；这种运动有什么规律；会不会上下跳动；利弊得失。理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系？蹲在磅秤上的人站起来时磅秤指示数会不会发生的变化理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系？台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时，会发生什么现象理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系？水水池隔板光滑台面抽去隔板后将会发生什么现象理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系即cpmv1．动量kgm/s单位1niiipmv质点系的动量ddddciiiirrmmmvttiicmrrmimm质心mv质点的动量§10-1动量与冲量ciimrmr动量是问题机械运动强度的度量理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系vCOvCOCC2lmpcmvp0p思考：各刚体的动量理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系例10-1椭圆规机构中，OC＝AC＝CB＝l；滑块A和B的质量均为m，曲柄OC和连杆AB的质量忽略不计；曲柄以等角速度绕O轴旋转。图示位置时，角度t为任意值。求：图示位置时，系统的总动量。AOBtCvBvAD【解】ABAB=tlDBvtlDAvABBABAsin2cos22sin2cosxByApmvmltpmvmlt222xyp=ppmlvc理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系单位：N·s2．冲量IFt常力的冲量ddIFt变力的元冲量21dttIFt在～内的冲量1t2t冲量是力的作用效应在时间上的累积理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系2121dttmvmvFtI一、质点的动量定理d()dmvFtd()dmvFt或质点动量定理的微分形式：质点动量对时间的导数等于质点受的力或质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。1t2t1v2v在~内,速度由~,有质点动量定理的积分形式：在某一时间间隔内,质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量.ddvmFt§10-2动量定理理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系例10-2锤重m=3000kg，从高度h=1.5m处自由落到锻件上，锻件发生变形，历时△t=0.01s，求锤对锻件的平均压力。h【解】mg锤由高h处自由落下所需时间:2htgy21mvmvI12,v0v0,(1)1656kNt*NtFmgt=0*NImgttF()理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系二、质点系的动量定理()eiF()iiF外力:,内力:内力性质:()0iiF（1）0iOiMF()()（2）()d0iiFt（3）()()d()deiiiiimvFFt质点:()()d()deiiiiimvFFt质点系:理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系()()dddeeiipFtI或()ddeipFt得质点系动量定理的微分形式：质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和；或质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。)(ddexxFtp)(ddeyyFtp)(ddezzFtp动量定理微分形式的投影式理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系称为质点系动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和.动量定理积分形式的投影式)(12exxxIpp)(12eyyyIpp)(12ezzzIpp()ddeipFt由积分，得2211(e)ddptptpFt或(e)12ppI理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系例10-3图示系统，重物A和B的质量分别为m1、m2。若A下降的加速度为a，滑轮质量不计。求支座O的反力。ABOaAvBvABOxyOxFOyFgm1gm2ABvv21121210,()2xyABAppmvmvmmv由质点系的动量定理1212d10,()d2OxAOyFmmvmgmgFt注意到atvAdd得121210,()2OxOyFFmgmgmma【解】理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系例10-4电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为m1,转子质量为m2,定子和机壳质心O1,转子质心O2,O1O2=e，角速度ω为常量。求基础的水平及铅直约束力。理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系temgmmFycos)(2221temFxsin22得emp2tempxcos2tempysin2【解】12ddyypFmgmgtddxxpFt由动约束力附加动约束力理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系21dddVVpqtvqtv21d()dVpqvvt【解】dt内流过截面的质量及动量变化为例10-5流体在变截面弯管中流动,设流体不可压缩,且是定常流动.求管壁的附加动约束力.流体受外力如图,由动量定理,有2112()VNqvvWFFF理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系FF为静约束力;为附加动约束力21()VFqvv即2112()VNqvvWFFF1221()()NVNNFWFFqvvFF得理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系三、质点系动量守恒定律()0eF若,则=恒矢量pxp若,则=恒量0)(exF理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系601vx2v303vxrv例10.6小车质量m1=100kg，v1=1m/s，人质量m2=50kg，v2=2m/s，跳入车内。求人跳入车内后车的速度。如人又以相对车的速度vr=1m/s跳下。求人跳下后车的速度。1m2m以人和小车作为研究系统，水平方向不受力，因此，水平方向动量守恒。设人跳入车后，共同速度为v,则有：【解】理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系601vx2v1m2m112212cos60()mvmvmmv代入数据解出：112212cos601m/s()mvmvvmm303vxrv人跳出后，设车速为v3,有121323()(cos30)rmmvmvmvv代入数据解出：31.29m/sv理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系例10-7物块A可沿光滑水平面自由滑动，其质量为mA；小球B的质量为mB，以细杆与物块铰接，如图所示。设杆长为l，质量不计，初始时系统静止，并有初始摆角j0；释放后，杆近似以规律摆动（k为已知常数），求物块A的最大速度。ktcos0jjABj理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒。ktksin0jj当时，其绝对值最大，此时，即。1sinkt0coskt0jlklv0maxrj【解】由此，当细杆铅垂时小球相对于物块有最大的水平速度，其值为细杆角速度为ABvvrjktcos0jj理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系当此速度vr向左时，物块应有向右的绝对速度，设为v，而小球向左的绝对速度值为va=vr－v。根据动量守恒条件，有解出0)(rvvmvmBABABBABmmlkmmmvmv0rjABvvrjktcos0jj理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系[例2]质量为m1的大三角形柱体,放于光滑水平面上,斜面上另放一质量为m2的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。已知系统初始静止。解：选两物体组成的系统为研究对象。受力分析，,0)e(xFxp水平方向常量。reavvv则小三角块小三角块相对大三角块速度为，rvv设大三角块速度运动分析，理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系0)(a21xvmvm由水平方向动量守恒及初始静止；则0)()(r21vvmvmx)(212r212bammmSmmmSx221r221rmmmSSmmmvvxx理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系1．质心mxmxiiCmymyiiCmzmziiC,,iiCmrrmimm,§10-3质心运动定理理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系已知:为常量,均质杆OA=AB=,两杆质量皆为,滑块B质量.l1m2m求:质心运动方程、轨迹及系统动量.例10-8已知:为常量,均质杆OA=AB=,两杆质量皆为,滑块B质量.l1m2m求:质心运动方程、轨迹及系统动量.理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系解:设，质心运动方程为tj消去t得轨迹方程1])2/([])2/()(2[221122121mmlmymmlmmxcctlmmmmtmmlmlmlmxCcos2)(2cos22232212121211tlmmmtmmlmyCsin2sin222211211理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系tlmmxmmvpCCxxsin)(221tlmymmvpCCyycos1tmtmmlpppyx221222122cossin)(4系统动量沿x,y轴的投影为:系统动量的大小为:理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系内力不影响质心的运动,只有外力才能改变质心的运动。2.质心运动定理()1d()dneCiimvFt由()1ddneCiivmFt得()1neCiimaF或称为质心运动定理,即:质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和。理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系3.质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系，无论它作什么形式的运动，质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动，并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上，所有外力也集中作用在质心这个点上。只有外力才能改变质点系质心的运动,内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系4.质心运动守恒定律若，则常矢量，质心作匀速直线运动；若开始时系统静止，即则常矢量,质心位置守恒。若则常量，质心沿x方向速度不变；若存在则常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。0)(eiFCCvoa,00CvCr,)(0eixFCxCxva,000CxvCx5．质心运动定理可求解两类动力学问题：已知质点系质心的运动,求作用于质点系的外力(包括约束反力)。已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系)(exCxFma)(eyCyFma)(ezCzFma)(2enCFvm)(ddetCFtvm)(0ebF在直角坐标轴上的投影式为:在自然轴上的投影式为:理论力学第十章动量定理河南理工大学力学系例10-9均质曲柄