第4讲简单最值问题

学科：奥数教学内容：第4讲简单最值问题知识网络我们把研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，称为最大与最小问题。此类问题涉及很广，本讲以向同学们讲解解决此类问题的思维方法为主。重点·难点虽然求最大和最小问题无固定的解法，但结合问题出现的不同的知识点，求解还是有章可循的。关键是要注意分析一些隐含着的限制条件。学法指导解题是一种实践性较强的技能，就像游泳、滑雪或弹钢琴一样，要通过模仿、练习和钻研来掌握。学习中还要注意去发现并总结规律，将其应用到其他题目的求解中去，往往会起到事半功倍的作用。经典例题[例1]把14分解为两个自然数的和，使它们的乘积最大，求这个最大的乘积。思路剖析先列出14可能分解成的两个自然数的和的所有情况：14=1+13，1×13=13；14=2+12，2×12=24；14=3+11，3×11=33，14=4+10，4×10=40；14=5+9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49。由上述算式可观察到，随着拆成的两个数越来越接近，积越来越大。因此将14拆成两个相等的数时，乘积最大。解答把14分解为两个相等的数的和：14＝7+7，它们的积最大，为7×7=49。点津由此题的求解，我们可以得到这样一个规律性的结论：当两个数和一定时，在它们相等时，乘积最大；在它们不相等时，两数差距越大，乘积越小。应用此规模很容易判断：49×51与48×52的大小是：49×51＞48×52。[例2]已知：A、B、C、D、E、F、G、H是0~9中的8个不同的整数。构成算式1994EFGHABCD，其中，ABCD、EFGH均为四位数，且A≠0，E≠0。求：ABCD与EFGH之和的最大值及最小值。思路剖析将题中已知的算式转化成加法为：ABCDEFGH1994。注意到A、B、C、D、E、F、G、H为8个不同的数，那么为使千位上F与B不重复，则百位上求和不能有进位，相应的个位求和值也不能超过10。由此可确定G=0，C=9，D=H+4。设EFGHABCDM，为使M值最大，则首位数字应尽可能大，由于C=9，则A≠9，那么取A=8，由于G=0，则F≠0，那么F+9＞10，则E+l+l=A，可知E=6。其次应使百位数字B尽可能大，由于F+9=10+B，那么F与B是相邻自然数，剩下的数中只有4、5相邻，则F=5，B=4。最后使个位数字D尽可能大，则取D=7，那么H=3。这样可得M的最大值：8497+6503=15000。为使M的值最小，那么取A=3，因为E+l+l=A，所以E=l，B值取尽可能小的，且F与B是相邻的自然数，则F=5，B=4。最后使个位数字D尽可能小，则取D=6，那么H=6-4=2。这样可得M的最小值：3496+150=4998解答ABCD与EFGH和的最大值：15000最小值：4998。点津适当地改变已知条件的形式，将减法变成加法，有利于问题的思考。［例3］如图1，在6×6的方格纸上。P点在直线AB上滑动，那么（PC+PD）长度的最小值是多少？思路剖析欲使（PC+PD）值最小，在PD、PC中含有三个字母，恰好构成△PCD，而（PC+PD）是其中的两边之和，DC为第三边。由三角形的性质，易想到两边之和大于第三边，即PC+PD＞DC。则DC应为PC与PD和的最小值。解答当P点滑动到使C、P、D三点在一条直线上时，（PC+PD）的值最小。此时PC+PD=DC，DC长度为6。答：（PC+PD）长度的最小值是6。点津恰当地应用几何图形的性质，有助于问题的解决。［例4］商店进玩具熊若干，每三个一数则余下一只，若每五个一数则还差4个。问商店至少进了多少只玩具熊？思路剖析由题中条件“若每五个一数还差4个”，亦可理解为每五个一数余下一个。再加上第一个条件，“每三个一数余下一只”，说明玩具的总数若减去1之后，应既是3的倍数，又是5的倍数。因为3、5互质，则这样的数最小为3×5=15。解答3×5+l=15+1=16（只）答：商店至少进了16只玩具熊。［例5］老师要给班里的37名同学每人发一支红笔和一支蓝笔，商店中每种笔都是5支一包或3支一包，不能打开包零售。5支一包的红笔60元，蓝笔70元；3支一包的红笔38元，蓝笔47元。请你帮助老师设计一下购买方案，怎样买才能花钱最少？花多少钱？思路剖析先来比较一下两种红笔的单价5支一包单价60÷5=12（元）。3支一包的单价38÷3=12…2，即5支一包的红笔较便宜。再来比较两种蓝笔的单价：5支一包单价70÷5=14（元），3支一包的单价47÷3=15…2，还是5支一包的比较便宜。因此在方案中应多买5支一包的，以3支一包的作补充。37=5×7+2，一种方案是买7包5支一包的，再买1包三支一包的，将多花一支笔钱。第二种方案，少买几包5支一包的，调整为若干包3支一包的，使买的笔数正好。37=5×5+3×4，即买5包5支一包的，4包3支一包的。将两种方案都计算出结果，通过比较决定如何购买。解答37=5×7+2=5×5+3×4先来计算红笔：方案一：买7包5支一包的，l包3支一包的，要用60×7+38=458（元）；方案二：买5包5支一包的、4包3支一包的，要用：60×5+38×4=452（元）。可见红笔买5包5支一包的，4包3支一包的，花钱最少。再来计算蓝笔：方案一：买7包5支一包的，1包3支一包的，要用70×7+47=537（元）；方案二：买5包5支一包的，4包3支一包的，要用：70×5+47×4=538（元）。可见，蓝笔买7包5支一包的，1包3支一包的，花钱最少。总共花费：452+537=989（元）答：老师的购买方案为：买5支一包的红笔5包，蓝笔7包；买3支一包的红笔4包，蓝笔1包。总共花费989元。点津要学会将复杂的问题分解，当我们将两种笔的购买分开来考虑时，问题就容易解决了。［例6］四年级某班有若干个学生，在操场上站队时，若每7个人站一行则最后余3人；若每11人站一行，最后余5人，问这个班至少有多少人？思路剖析题中有两个条件：A．每7个人站一行余3人，B．每11个人站一行余5人。所求人数需同时满足A、B两个条件。我们可以通过尝试找到这样的数，先来看满足B条件的数最小的是：11×l+5=16，但不满足A条件。依次试验下去可得最后结果。解答通过试算找出答案。①11×l+5=16，但16除以7不余3；则16不合题意。②11×2+5=27，但27除以7不余3，则27不合题意。③11×3+5=38，38除以7余3。38是第一个符合条件的数，因此是最小的。答：四年级某班至少有学生38人。点津本题中也可尝试先满足A条件，再检验是否满足B条件，但因为B条件中每行人数11大于A条件中每行人数7，因此在以B条件试算时可以减少试算的次数。［例7］袋子里若有25个大小相同的彩色木球，其中白色球3个，黄色球5个，红色球8个，绿色球9个，现一次从中任意取出n个，使这几个彩球中，至少有6个同色。问n的最小值是多少？思路剖析要想得到6个同色球，由题中条件可知只能为红色球或绿色球。要知道n的最小值是多少只能从最“坏”的情况考虑起。得到（n-1）次取出球的情况，则可知n值。解答从最糟的情况考虑起，取了（n-1）次，得到白色球3个，黄色球5个，红色球5个，绿色球5个，共有18个球，则剩下的球只有红色和绿色的，再取出任意一个都可与原已取出的球构成6个同色球。则n的最小值为18+1=19（次）。点津虽然题目中要求的是最小值，但却要从最差的情况考虑起，否则少一次都有可能出现得不到结果的情况。发散思维训练l．填空（1）a和b都是自然数，并且a+6=100，a和b相乘的积最大是（），最小是（）。（2）103除以一个一位数，余数最大是（）。（3）五个连续自然数的和是140，其中最大的数是（），最小的数是（），中间的数是（）。（4）在一本科普书的封面插图中，有120个平行四边形，86个长方形，49个菱形。这本书的插图中正方形最多有（）个。（5）一块生日蛋糕，切15刀，最多可以分成（）块。2．把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数，如果这些小正方体的体积不要求相等，那么最少可分割成多少个正方体？3．从最大的三位数到最大的五位数，这些数中由相同数字组成的有多少个？4．三个质数之积等于这三个数之和的3倍，那么这三个质数中最大的质数是几？5．在式子A=374×375×376×（）中，若使A的末位有连续的四个零，在括号中能添上的尽可能小的自然数是多少？6．有十个人各拿一只水桶，同时到水龙头前打水，假设水龙头注满第一个人的水桶需1分钟，注满第二个人的水桶需要2分钟，…，依次下去。当只有一个水龙头时，应如何安排这十个人的次序，使他们等候的总时间最少？这时间等于多少分钟？7．在兴趣小组的同学中，有4人特别喜欢学数学，有6人特别喜欢学外语，但有1人两门都不喜欢。那么这个小组的同学最多有几人？最少有几人？8．用0、5、6、7、8、9这6个数字组成两个三位数，使它们的乘积最大。参考答案发散思维训练1．填空题（1）解：因为当两个数和一定时，那么当它们相等时，乘积最大。所以，当a=b=100÷2＝50时，乘积最大，是：50×50=2500。又因为1是自然数中最小的数，当a、b其中一个为1时，可得到a、b乘积的最小值：l×（100-l）=99。（2）解：因为被除数÷除数=商…余数所以可知除数一定大于余数。若使余数最大，则除数也应较大，因为从9试起，103÷9=11…4，103÷8=12…7，那么最大的余数是7，因为下一个除数是7，余数一定不会大于7。（3）解：由于是5个连续的自然数构成了一个等差数列，5又是奇数，那么中间数是这5个数的平均数为：140÷5=28，依次可得到最大数为：28+2=30，最小的数为：28-2=26。（4）解：正方形既属于平行四边形，又属于长方形，还可以归于菱形。而题中所给的条件中只有菱形个数最小，因此本书中正方形的个数不会超过菱形个数，因而最多有49个。（5）解：先从切1刀起找规律。切1刀，得2块；切2刀，得2+2块；切3刀，得2+2+3块……切15刀，得2+2+3+…+15块。2+2+3+…+15=l+（l+2+3+…+15）=l+（1+15）×15÷2=1+120=121则最多可以分121块。2．解：此正方体的体积为2733立方厘米，题中要求小正方体的棱长必须是整厘米数，则分割成的小正方体的棱长只能为1厘米或2厘米。若棱长为2厘米，只能分割出一个棱长2厘米的立方体，体积为823立方厘米。剩下的都为棱长1厘米的立方体。有27-8＝19个。因此最少可分割成19+1=20个正方体。3．解：最大的三位数是999，最大的五位数是99999。满足条件的三位数有1个999；四位数有：1111，2222，…，9999九个；五位数有11111，22222，…，99999九个，共9×2+l=19个。4解：设三个质数分别为a、b、c。根据题意则有：a×b×c=3×（a+b+c），因为3为质数，则a、b、c中必有一数3，不妨设c=3，那么有：a×b＝a+b+3。经尝试知a、b的值分别为2、5。则其中最大的质数是5。5．解：若使积的末4位有连续的四个零，则乘积中至少有四个10相乘。将已知的三个乘数分解：374=2×11×17，375=3×5×5×5，376=2×2×2×47，式子中有四个2，三个5，只需1个5就可以得到四个10。所以括号中需填入的最小的自然数是5。6．解：用1a，2a，…10a。分别表示第一个人，第二个人，…第十个人。先考虑只有两个人的情况，找到规律。有1a、2a两人：如果1a在前，2a在后，他们总共等候的时间为：1×2+2×1=4（分钟）如果2a在前，1a在后，他们总共等候的时间为：2×2+1×1＝5（分钟）由此可知，提小桶的人在前，提大桶的人在后，总共等候的时间为最小。因此，我们把提桶的十个人，按提水的先后须序排列为：1a，2a…，10a。则总共花去的提水等候时间为：l×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×l＝2×（