理论力学第八章点的合成运动

理论力学2019年12月21日第二部分运动学第八章点的合成运动运动学/点的合成运动运动学/点的合成运动第八章点的合成运动在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关。同一物体的运动，在不同的参考系中看来，可以具有极为不同的运动学特征（具有不同的轨迹、速度、加速度等）。运动学/点的合成运动在实际问题中，不仅要在固联在地面上的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。下面先看几个例子。沿直线轨道纯滚动的圆轮，研究轮缘上A点的运动，对于地面上的观察者，是旋轮线轨迹，对站在轮心上的观察者是圆。A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。运动学/点的合成运动飞机螺旋桨上点P的运动分析飞机上观察P点为圆周运动当飞机直线平移时地面上观察P点的运动为曲线运动。P点的运动可看成随飞机的平移与绕螺旋桨轴心转动的合成。运动学/点的合成运动本章利用运动的分解、合成的方法对点的速度、加速度进行分析，研究点在不同参考系中的运动，以及它们之间的联系。运动学/点的合成运动第八章点的合成运动§8-1点的合成运动的概念§8-2点的速度合成定理§8-3牵连运动为平移时点的加速度合成定理§8-4牵连运动为转动时点的加速度合成定理本章中点的速度合成是重点，点的加速度合成是难点。运动学/点的合成运动§8-1点的合成运动的概念一、坐标系●定坐标系：建立在固定参考物上的坐标系，简称定系。一般将定系固结在地面上。●动坐标系：建立在相对于定系运动着的物体上的坐标系，简称动系。图示原点在轮心与车厢固连的坐标系o`x`y`如图所示固结在地面上的坐标系。汽车车厢相对于运动，如果将坐标系固结于车厢上,则形成了相对于定系运动的坐标系。运动学/点的合成运动二、动点●动点是指相对于定系和动系均有运动的点，本章就是研究动点相对于定系和动系的运动。如图中任选车轮上的点P作为动点。三、三种运动、三种速度与三种加速度●绝对运动：动点相对于定系的运动。如P相对于地面的运动。●相对运动：动点相对于动系的运动。如P相对于车厢的运动。点的运动点的运动运动学/点的合成运动●牵连运动：动系相对于定系的运动。如行驶的汽车相对于地面的运动。刚体的运动运动学/点的合成运动●绝对（加）速度：动点相对于定系的（加）速度，用表示。▼牵连点：在某瞬时，动坐标系上与动点相重合的点，为该瞬时动点的牵连点。不同的瞬时动点的位置不同，牵连点也不同。●相对（加）速度：动点相对于动系的（加）速度，用表示。●牵连（加）速度：牵连点相对于定系的（加）速度，用表示。运动学/点的合成运动▼牵连点的概念在某瞬时，动坐标系上与动点相重合的点，为该瞬时动点的牵连点。不同的瞬时动点的位置不同，牵连点也不同。牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起着“牵连”作用。但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬时与动点相重合的那一点，该点称为瞬时重合点或牵连点。（2）进一步说明:（1）定义:由于相对运动，动点在动系上的位置随时间改变，所以牵连点具有瞬时性。（3）注意:运动学/点的合成运动运动学/点的合成运动运动学/点的合成运动运动学/点的合成运动1.动点对动系要有相对运动。1.选择持续接触点为动点。2.对没有持续接触点的问题，一般不选择接触点为动点。根据选择原则具体问题具体分析。基本原则：具体选择方法：▼动点和动系的选择2.动点的相对运动轨迹要明确、容易确定。运动学/点的合成运动▼动点与牵连点动点和牵连点是一对相伴点，在运动的同一瞬时，它们是重合在一起的。动点是与动系有相对运动的点。牵连点是动系上的几何点。在运动的不同瞬时，动点与动坐标系上不同的点重合，而这些点在不同瞬时的运动状态往往不同。下面举例说明一点两系三运动的分析运动学/点的合成运动AB杆上的A点动系：凸轮定系：地面绝对运动：直线相对运动：曲线（圆弧）牵连运动：直线平移动点：▼凸轮机构运动分析动系：凸轮定系：地面绝对运动：直线相对运动：曲线（圆弧）牵连运动：直线平移动点：运动学/点的合成运动AB杆上的A点▼凸轮机构运动分析运动学/点的合成运动A(在AB杆上)偏心轮C地面直线圆周（C）定轴转动动系：定系：绝对运动：相对运动：牵连运动：动点：▼偏心凸轮机构运动分析运动学/点的合成运动套筒A摇杆O1B地面圆周（O）直线（沿O1B）定轴转动（绕O1）动系：定系：绝对运动：相对运动：牵连运动：动点：▼曲柄摇杆机构运动分析运动学/点的合成运动套筒A摇杆OC地面圆周（O1）直线（沿OC）定轴转动（绕O）动系：定系：绝对运动：相对运动：牵连运动：动点：▼曲柄摇杆机构运动分析运动学/点的合成运动▼平底凸轮机构运动分析动点：凸轮圆心点C动系:平底挺杆静系：地面圆周（C）直线直线平移绝对运动：相对运动：牵连运动：运动学/点的合成运动▼凸轮机构运动分析动点：凸轮圆心点O动系:摇杆静系：地面直线直线定轴转动绝对运动：相对运动：牵连运动：●注意的问题：▼三种运动的分析必须明确什么物体相对什么参考体的运动。▼相对、绝对运动指点的运动，可以是直线或曲线运动；牵连运动是指参考体的运动，是刚体的运动，可以是平移或定轴转动以及刚体的其他运动形式。▼牵连点指某瞬时动系上与动点相重合的点，不同瞬时牵连点的位置不同。▼以上可归结为一点、两系、三运动。▼动点相对动系、定系必须有运动，不能和动系在同一物体上。运动学/点的合成运动四、运动方程及坐标变换可以利用坐标变换来建立绝对、相对和牵连运动之间的关系。（1）绝对运动方程：)(),(tyytxx（2）相对运动方程：)(''),(''tyytxx（3）牵连运动方程：)(),(),(''''ttyytxxoooo坐标变换关系：cossinsincos00yxyyyxxx以二维问题为例。设定系，动系。动点M，如图所示。运动学/点的合成运动例1用车刀切削工件的端面，车刀刀尖P沿水平轴x作往复运动，如图所示。设为定坐标系，刀尖的运动方程为。工件以等角速度逆时针方向转动。求车刀在工件圆端面上切出的痕迹。taxsin根据题意，需求车刀刀尖P相对于工件的轨迹方程。设刀尖P为动点，动系固定在工件上。则动点在动系Ox1y1和定系Oxy中的坐标关系为：tcosxx1tsinxy1解：x1y1运动学/点的合成运动从上式中消去时间t，得刀尖的相对轨迹方程4a2ayx22121即：车刀在工件上切出的痕迹是一个半径为的圆，该圆的圆心C在动坐标轴Oy1上，圆周通过工件的中心O。2a将点P的绝对运动方程代入上式中，得：t2sin2atcostsinax1)t2cos1(2atsinay21———车刀相对于工件的运动方程。tcosxx1tsinxy1运动学/点的合成运动运动学/点的合成运动点的合成运动基本概念的回顾一、一点、两系、三运动一点：动点（研究对象）；两系（定系、动系）三运动：绝对运动、相对运动、牵连运动二、三种速度绝对速度、相对速度、牵连速度三、牵连点在某瞬时，动坐标系上与动点相重合的点，为该瞬时动点的牵连点。不同的瞬时动点的位置不同，牵连点也不同。运动学/点的合成运动§8-2点的速度合成定理速度合成定理建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系:reavvv绝对速度相对速度牵连速度运动学/点的合成运动设动点M在动系中沿某一曲线AB作相对运动，而动系本身相对定系作某种运动.下面证明速度合成定理.运动学/点的合成运动牵连点运动轨迹zxyOz'x'y'M(m)M'(m')绝对运动轨迹相对运动轨迹M1(m1)三种运动轨迹M2(m2)ABAB当t→t+△tAB→A'B'M→M'也可看成M→M１→M´MMMM1为绝对运动轨迹为绝对位移为相对运动轨迹为相对位移MM1)(11mmMM牵连点运动轨迹MM1MM为牵连点位移tttz'x'y'M(m)M'(m')M1(m1)M2(m2)ABAB运动学/点的合成运动动点M在时间△t内的绝对位移则有其中：代入（1）式可得vevavr速度合成定理运动学/点的合成运动绝对速度牵连速度相对速度某瞬时动点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量和。速度合成定理点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。z'x'y'M(m)M'(m')M1(m1)M2(m2)ABABvevavr●注意的问题▼由速度合成定理的矢量形式知，绝对速度是以相对速度和牵连速度为邻边组成的平行四边形的对角线。▼点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。▼该定理在推导的过程中，牵连运动未加限制，可以是平移、定轴转动以及其他形式的刚体运动。▼牵连速度为该瞬时动系上与动点相重合的点的速度。运动学/点的合成运动运动学/点的合成运动例2:已知正弦机构中，曲柄OA＝l，匀角速度ω，当θ＝30o时。求T型杆BCD的速度。OADCBθ运动学/点的合成运动解：1.选择动点与动系动点－曲柄上的A点；动系－固连于杆BCD上。2.运动分析绝对运动－以O为圆心、l为半径的等速圆周运动。相对运动－沿BC的直线运动。牵连运动－铅垂方向的平移。定系－固连于机座。OADCBθoxyoxy运动学/点的合成运动3.速度分析方向铅垂向上。大小：方向：？？OA水平向右垂直向上OADCBθvrveva运动学/点的合成运动例3仿形机床中半径为R的半圆形靠模凸轮以等速度v0沿水平轨道向右运动，带动顶杆AB沿铅垂方向运动，如图所示。试求φ=60º时，顶杆AB的速度。ABv0nφR运动学/点的合成运动解：1.选择动点、动系与定系动系：固连于凸轮2.运动分析绝对运动：直线运动牵连运动：水平平移动点：AB杆的端点A相对运动：沿凸轮轮廓曲线运动定系：固连于水平轨道ABv0nφRoxyoxy运动学/点的合成运动ABv0nφR3.速度分析vaveφvr大小：方向：？垂直向上方向沿凸轮圆周的切线？方向水平向右因为杆AB作平移，所以此瞬时它的速度大小：方向垂直向上例4：图示机构，曲柄OA的一端与滑块A用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度绕定轴O转动时，滑块在摇杆上滑动，并带动摇杆绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相对摇杆O1B的相对速度。lOO1运动学/点的合成运动运动学/点的合成运动1、选取动点：OA上的A点动系：O1B定系：基座解：绝对运动：圆周运动牵连运动：定轴转动相对运动：直线运动2、运动分析：滑块A运动学/点的合成运动reavvv由：大小方向??O1B沿O1B作出速度平行四边形如图示rOA222221111222222221,sin,sinlrrlrrlrAOvAOvlrrvvlrreeae又（）22cosrll22cosrlrlvvar3、速度分析运动学/点的合成运动例5如图所示，半径为R，偏心距为e的凸轮，以匀角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在图示位置时，杆AB的速度。运动学/点的合成运动eOCθωB解：1.选择动点，动系与定系动系:固连于凸轮2.运动分析绝对运动:直线运动相对运动:以C为圆心的圆周运动牵连运动:绕O轴的定轴转动动点:AB的端点A定系:固连于机座Axy运动学/点的合成运动eOCAθωBreavvv3.速度分析方向垂直向上大小方向OA?OACA?沿ABveθvrva运动学/点的合成运动例6曲杆OBC以匀角速度ω绕固定轴O转动，使圆环M沿固定直杆OA上滑动。设曲柄长OB=10cm，OB垂直BC,。ω=0.5rad/s，求φ=60°时，小环的绝对速度。OABMCφω运动学/点的合成运动解