理论力学第十三章动能定理教学

动能定理主要内容力的功动能动能定理功率、功率方程势力场、势能、机械能守恒定理动力学普遍定理的综合应用力的功力的功力的功是力在一段路程中对物体作用所累积的效果，其结果引起能量的转变和转化。常力在直线路程中的功设物体沿直线轨迹运动,物体上一点由A1运动到A2,路程是。求作用在该点上的一个力F在此路程中的功W。W=Fcos其中Fcos为力F在运动方向上的投影,可正可负。可见力的功是代数量。功的基本单位在国际单位制中采用J:1J=1Nm假定力F是常力,大小方向都不变。于是αFAA1A2σ元功、变力在曲线路程中的功设在质点A上作用着大小和方向均可变化的变力F,现在把其轨迹曲线A1A2分成许多微小弧段,使得每个元弧段d(即元路程)可视为直线段,而力F则视为常力,应用上式来计算力F在每个元路程d中的功,称它为元功。dW=Fcos•d式中是力F与速度v间的可变夹角.由于元路程对应于位移的大小|dr|=|v|dt,故式(17-2)可以改写成dW=F•dr=F•vdt力F在有限路程A1A2中的总功W,是该力在这段路程中全部元功的代数和,可表示成曲线积分如在质点上同时作用着几个力,则由合力投影定理可以推知,合力在某一路程上的功,等于各分力分别在该路程中的功的代数和。这个结论称为合力功定理.dW=Fxdx+Fydy+Fzdz这就是元功的解析表达式。因为F=Fxi+Fyj+Fzk,dr=dxi+dyj+dzk,上式改为2121)52()ddd(dcosAAzyxAAzFyFxFFWdW=F•dr=F•vdt合力之功定理几种常见力的功1.重力的功设物体的重心A沿某一曲现由A1运动到A2。物体的重力G在坐标轴系上的投影为Fx=Fy=0,Fz=G得重力的元功dW=Gdz故重力在曲线路程A1A2上的功为21)(d21zzGhzzGzGW由式dW=Fxdx+Fydy+FzdzOA1(x1,y1,z1)AGxyzA2(x2,y2,z2)可见，重力的功等于重力与重心高度降的乘积。如果重力升高，h是负值，则重力做负功。21)(d21zzGhzzGzGW式中z1和z2分别是重心的路程起点和终点的纵坐标；h=z1-z2是物体重心降落的高度，称为高度降。OA1(x1,y1,z1)AGxyzA2(x2,y2,z2)几种常见力的功2.弹性力的功设弹簧未变形时长度是l0,刚度系数是c。弹簧的一端O固定，而另一端A作任意曲线运动，且弹簧始终处于直线状态。现求在点A由位置A1沿某一路线运动到位置A2的路程中弹性力的功。在任意位置，弹簧作用于末端质点A的弹性力F可表示成F=c(rl0)r/r式中r/r是矢径方向的单位矢量。OA1drA2r1rr2FA几种常见力的功得弹性力F的元功考虑到r•dr=rdr=rd(rl0),即得从而得弹性力F在曲线路程A1A2中的功dW=F•dr=c(rl0)(r•dr/r)dW=c(rl0)d(rl0)由式dW=F•dr=F•vdtOA1drA2r1rr2FA212122001020()d()[()()]2rAArcWdWcrlrlrlrl几种常见力的功可见，弹性力的功，等于弹簧初变形的平方和末变形的平方之差与弹簧刚度系数乘积的一半。以1=r1l0和2=r2l0分别表示路程始末端A1和A2处弹簧的变形量，则上式写成)(22221cW212122001020()d()[()()]2rAArcWdWcrlrlrlrl几种常见力的功3.定轴转动刚体上外力的功设刚体绕定轴z转动,角速度=k,刚体上点A的矢径是r,速度是v=r，作用着力F,当刚体有一微小转角d时,力F的元功d'W=Fdr=Fvdt=F(r)dt由静力学知,力F对点O的矩矢mO(F)=rF，而力F对轴z的矩mz(F)等于mO(F)在轴z上的投影,即mz(F)=mO(F)k所以,混合积F(r)=(rF)=kmo(F)=mz(F)。OωkdrxrFAvdφyz几种常见力的功因此有d'W=mz(F)dt=mz(F)d则刚体由角1转到角2的过程中,力F的总功为即，作用于定轴转动刚体上的力的功等于该力对转轴的矩与刚体微小转角的乘积的积分。特别是，若力矩是常量，则力在上述过程中的总功为W=mz(F)(21)如果刚体上作用着一个力系，则其元功为∑d'W=∑mz(F)ωdt=Mzdd)(21FmWz几种常见力的功思考半径为2r的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上有绕有软绳，轮轴半径为r，绳上作用常值水平拉力F，求轮心C运动x距离时，力F所作的功。2rOrCxF解：将力F向轮心简化，产生力偶MC=Fr，轮的转动角度为，rx2FxrxMFxWC212根据式tMvFWCtCd)(0力F所作的功为2rOrCxF思考4.质点系和刚体内力的功设质点系内有两质点A1和A2,相互间作用着内力F1和F2=F1。两质点的元位移分别是dr1和dr2,故得内力F1和F2的元功之和通过分析得∑d'W=F1d(A1A2)(2-13))(d)(dddddd12121121112211AAFrrFrFrFrFrFW几种常见力的功这里d(A1A2)代表两质点间距离A2A1的变化量,它和参考系的选择无关,在一般质点系中,两质点间距离是可变的,因而,可变质点系内力所做功的总和不一定等于零。但是,刚体内任意两点间的距离始终保持不变,所以刚体内力所做功的总和恒等于零.∑d'W=F1d(A1A2)(2-13)几种常见力的功工程上几种内力作功的情形●作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力。例如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力都要作功。●有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。●弹性构件横截面上的所有内力分量作负功。5.约束力的功之和等于零的情形●光滑的固定支撑面(图a),轴承,销钉(图b)和活动支座(图c)的约束力总是和它作用点的元位移dr垂直,所以这些约束力的功恒等于零。NAdrNAdrNAdr(a)(b)(c)几种常见力的功●不可伸长柔绳的拉力。由于柔绳仅在拉紧时才受力,而任何一段拉直的绳子就承受拉力来说,都和刚杆一样,其内力的元功之和等于零。绳子绕着光滑物体,情形相同。●光滑活动铰链内的压力。当由铰链相联的两个物体一起运动而不发生相对转动时,铰链间相互作用的压力与刚体的内力性质相同。当发生相对转动时,由于接触点的约束力总是和它作用点的元位移相垂直,这些力也不做功。几种常见力的功凡约束力做功之和等于零的约束称为理想约束。最后指出,静摩擦力的功也等于零。但与此不同的是,每对动摩擦力的总功恒为负值。●纯滚动时，滑动摩擦力(约束力)不作功OvOCvFFNCv为瞬时速度中心，在这一瞬时Cv点的位移为零。作用在Cv点的摩擦力F所作元功为ddFCvWFrd0CvFvt几种常见力的功动能动能质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能。它是机械运动的一种度量,恒为正值。质点系的动能等于系统内所有质点动能的总和,用符号T表示,则有国际单位制中,动能的常用单位是kgm2/s2,和J相等。221122Tmvmv动能平动刚体的动能平动刚体各点的速度和质心速度vc相同.M表刚体质量即,平动刚体的动能,等于刚体的质量与速度平方乘积的一半.222ccc11222vTmvmMv动能定轴转动刚体的动能设刚体以角速度绕定轴z转动,以m表示刚体内任一点A的质量,以r表示A的转动半径,则刚体的动能是22222)(2121mrrmmvT其中Σmr2=Jz是刚体对转轴z的转动惯量,故上式可写成212zTJ17-9(b)ωAvzrO动能可见,定轴转动刚体的动能,等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方的乘积的一半.转动惯量Jz就是刚体绕z轴转动时的惯性度量。将刚体体内各质点的质量与该质点到某一确定轴的距离平方的乘积之和定义为刚体对该轴的转动惯量。21iniim式中分别为第个质点的质量和到该轴的距离J=iim,i动能平面运动刚体的动能刚体做平面运动时,其内各点速度分布与刚体绕瞬轴(通过速度瞬心并与运动平面相垂直的轴)转动一样.设平面运动刚体的角速度是,速度瞬心在点P,刚体对瞬轴的转动惯量是Jp,则平面运动刚体的动能可用下式计算,212PTJ转动惯量设刚体的质心C到速度瞬心P的距离是rc,则质心C的速度大小vc=rc。根据转动惯量的平行轴定理的刚体对于瞬轴的转动惯量式中Jc式刚体对于平行于瞬轴的质心轴的转动惯量,M是刚体的质量。2CCPMrJJ即,平面运动刚体的动能,等于它以质心速度作平动时的动能与相对于质心轴转动时的动能之和。于是，式可以改写成212PTJ2CCPMrJJ2222111()222CCCCTJMrMvJ动能已知滑块A的质量为m1，质点B的质量为m2,AB杆的长度为l、不计质量，可以绕A点转动，滑块的速度为vA。求系统的动能，并用广义坐标表示。Am1Oxx´y´m2BlvAy例题Am1Oxx´y´m2BlvAy解：1、广义坐标滑块作水平直线运动；质点B作平面运动。系统具有2个自由度。广义坐标选择为x和。x例题Am1Oxx´y´m2BlvAyxvevr2、运动分析与速度分析滑块作直线运动，速度为vA；质点B作平面运动。以A为基点，其牵连速度与相对速度分别为eAvvxrABvllrcosxvlrcsinyvl动能3、计算系统动能滑块的动能质点B的动能Am1Oxx´y´m2BlvAyxvevr系统的总动能22212221()cos2Tmmxmlxml＝22212BTmv2221(cos)(sin)2mxll21112ATmv2112mx动能动能定理动能定理动能定理表达了质点或质点系的动能变化量和作用力的功之间的数量关系。设质量为m的质点A在力作用下F沿曲线由A1运动到A2，它的速度由v1变为v2。两边点乘元位移dr=vdt,得mvdv=FdrFtvmdd质点动能定理质点动能定理即,质点动能的微分等于作用于质点上的力的元功.这就是质点动能定理的微分形式。上式右端就是作用力的元功,左端可改写成mvdv=md(vv)/2=d(mv2/2)从而得21d()d2mvWmvdv=Fdr将上式沿路程A1A2积分,得式中W表示力F在路程A1A2中的功.可见,质点动能在某一路程中的改变量,等于作用于质点的各力在该路程中所做的功。这就是质点动能定理的积分形式。22211122mvmvW质点动能定理即,质点系动能的微分等于作用于质点系各力的元功的代数和。这就是质点系动能定理的微分形式。∑dT=∑d'W对于质点系中的每个质点，上式都成立，相加得因故上式可写成Wmvd)2(d2Tmvmvd)2(d)2(d2221d()d2mvW质点系动能定理式中T1、T2分别代表某一运动过程中开始和终了时质点系的动能。表明质点系的动能在某一路程中的改变量,等于作用于质点系的各力在该路程中的功的代数和。这就是质点系动能定理的积分形式.T1T2=∑W主T1T2=∑W理想情况,作用于质点系的约束力所做功总和恒为零式中∑W主表示全部主动力的功的代数和。将上式积分,得∑dT=∑d'W质点系动能定理平台的质量m=30kg,固连在刚度系数c=18kN/m的弹性支承上。现在从平衡位置给平台以向下的初速度v0=5m/s,求平台由这位置下沉的最大距离,以及弹性支承中承受的最大力，假设平台作平动。例题取平台为研究对象。研究从平衡位置A1(图a)运动到最大下沉位置A2(图b)。平台的初动能T1=mv02/2，而末动能T2=0。弹簧的初变形1=s=mg/c，末变形