搜索
第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun第三章一维势场中的粒子用Schrödinger方程来处理一类简单的问题—一维定态问题，其好处有：（1）有助于具体理解量子力学的基本原理；（2）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；（3）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。内容概要：3.1一维势场中粒子能量本征态的一般性质3.2方势（势阱、势垒）3.3δ势3.4一维谐振子第1页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun3.1一维势场中粒子能量本征态的一般性质设质量为m的粒子，沿x方向运动，势能为V(x)，则Schrödinger方程为，对于定态(能量E)，波函数表为ψ(x)满足一维粒子的能量本征方程第2页我们想找出它在整个区间有限、连续，可微的解。但这些解要根据具体物理问题的边条件来定出。第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun能量本征方程解的一般性质定理1设ψ(x)是方程（1）的一个解，对应的能量本征值为E，则ψ*(x)也是方程（1）对应能量为E的解。证明：取复共轭ψ*(x)也满足方程(1)，对应能量为E。第3页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun假设对应于某个本征值E，(1)的解无简并（即只有一个独立的解），则可取为实解。证明：ψ(x),ψ*(x)均为(1)对应E的解，由于无简并，则有ψ*(x)=Cψ(x),C为常数。取复共轭，ψ(x)=C*ψ(x)*=C*Cψ(x)，所以|C|=1，则C=eia,a为实数。取新波函数为ψn(x)=eia/2ψ(x)，则(ψn(x))*=e-ia/2ψ*(x)=e-ia/2eiaψ(x)=eia/2ψ(x)=ψn(x)。第4页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun定理2对应于能量E，总可找到方程(1)的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。证明：假设ψ(x)是方程(1)的对应于E的一个解，若是实解，则归到实解集合中去。若是复解，按定理1，ψ*(x)也必是方程属于E的一个解，则它们的叠加也是方程属于E的解，均为实解，且第5页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun定理3设V(x)具有空间反射不变性，V(-x)=V(x)，如设ψ(x)是方程（1）对应E的一个解，则ψ(-x)也是方程对应于E的解。证明：对方程,有则ψ(-x)也是（1）对应于E的解第6页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun空间反射算符P定义为Pψ(x)=ψ(-x)，按定理3，若V(-x)=V(x)，则ψ(-x)和ψ(x)都是对应E的量子态。若对应E，方程(1)的解无简并，则解必具有确定的宇称，即偶宇称Pψ(x)=ψ(-x)=ψ(x)，或者奇宇称Pψ(x)=ψ(-x)=-ψ(x)。证明：由于无简并，Pψ(x)=ψ(-x)=Cψ(x)P2ψ(x)=PCψ(x)=C2ψ(x),P2ψ(x)=ψ(x),则有C2=1，C=±1。若能级有简并，能量本征态不一定具有确定宇称。第7页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun定理4若V(-x)=V(x)，则对应于任何一个能量本征值，总可以找到(1)的一组解，每一个解都具有确定宇称，而属于E的任何解，都可以用这组解展开。证明：设ψ(x)是(1)的一个解，根据定理3，ψ(-x)也是方程的一个解，取f(x)=ψ(x)+ψ(-x),g(x)=ψ(x)-ψ(-x)f(x),g(x)具有确定宇称。ψ(x)=[f(x)+g(x)]/2,ψ(-x)=[f(x)–g(x)]/2。第8页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun波函数ψ(x)及其各阶导数连续性波函数ψ(x)及其各阶导数连续性与V(x)有关。若V(x)是连续函数，按方程(1)，ψ”(x)存在，因此ψ(x)和ψ’(x)为x的连续函数。但若V(x)不连续（存在奇异性），则ψ(x)和各阶导数的连续性问题需要具体分析。第9页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun定理5对于阶梯性方位势V2-V1有限，则能量本征函数ψ(x)及其导数ψ’(x)必定是连续的。证明：根据方程在V(x)连续的区域，ψ(x)及ψ’(x)必然连续。在V(x)发生阶梯跃变处，V(x)ψ(x)发生跃变，但变化是有限的。上式对x~a积分，有第10页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun[E-V(x)]ψ(x)是有限的，当时，右边积分为0。因此，ψ’(x)在x=a点连续，ψ(x)也是连续的。第11页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun定理6对于一维粒子，设ψ1(x),ψ2(x)均为方程（1）的属于同一能级E的解，则证明：按假设，ψ1×(4)–ψ2×(3)第12页对于束缚态粒子，第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun定理7设粒子在规则势场V(x)中运动，若存在束缚态，则必定是不简并的。证明：设ψ1(x),ψ2(x)是方程(1)属于能级E的两个束缚态解，则有在不包含ψ1(x),ψ2(x)节点的区域中，用ψ1ψ2除上式，的积分得V(x)无奇点，ψ(x)和ψ’(x)连续。ψ1(x),ψ2(x)代表同一量子态。第13页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun3.2方势精确求解一些简单的方形势的本征值问题。经典运动和量子运动的主要不同点特别是束缚态能量量子，以及非束缚“粒子”的运动中，波的反射、共振和势垒贯穿现象。第14页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun当普朗克常数可以忽略时，对一个粒子的量子描述可以转化为经典描述。在经典近似中，波动性显示不出来，是因为与粒子相联系的波长甚小于粒子运动的特征长度这种情况和我们在光学中遇到的类似，当光波的波长相对于问题中涉及的长度而言可以忽略，则不考虑光的波动性的几何光学便是一种很好的近似。所以，经典力学相对于量子力学的地位就相当于几何光学相对于波动光学的地位。第15页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun当一个粒子处在与时间无关的势场中运动时，如果在比其波长短的路径上，势能的变化是显著的，那么，就应出现典型的量子效应（起因于波动性的量子效应），这时波长已是不可忽略的了。因此，为了使典型的量子效应得以出现，势V(x)在一个波长数量级的距离内必须具有明显的相对变化。满足这些条件的最简单的势是方形势，其特点是在某些点上出现不连续性，而其它地方保持为常数的势。这样x轴被分为几个间隔，在每个间隔中保持为常数。于是，不论波长多么短，它在与波长同数量级的区间上一定有显著的变化，因此量子效应总是会表现出来的。第16页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun3.2.1一维无限深方势阱在阱内（0xa），能量本征方程为m为粒子质量，E为能量。在阱外，势场为无限大，因此粒子出现的几率为0，ψ=0.第17页V=0EV→∞V→∞V(x)x0a第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun令阱内薛定谔方程及边界条件0xa内通解为由边界条件，得到B=0，第18页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun可见，并非任何E值都满足边界条件，只有当能量取某些特定值时，对应的波函数才满足边界条件。系统的能量是量子化的，所构成能谱是离散的。对应于能级En的波函数为利用归一化条件，第19页可得第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun则归一化后的波函数表示为讨论：粒子最低能级，与经典粒子不同，是微观粒子波动性的表现，“静止的波”是没有意义的。从不确定性关系也可得出此定性结论。Δx~a,Δp~ħ/Δx~ħ/a,E=p2/2m~Δp2/2m~ħ2/2ma2.不难验证，波函数在全空间连续，但微商在x=0,a不连续。第20页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJunψn相互正交，Ψn（n=1,2,……）是完全集，系统处于Ψn的概率为|Cn|2,第21页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun例：设粒子处于无限深方势阱中，粒子波函数为ψ(x)=Ax(a-x)，A为归一化常数。a)求A；b)求测得粒子处于能量本征态的概率Pn.第22页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun另一个例子势阱内薛定谔方程及边界条件在|x|a的区域内，通解为第23页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun利用边界条件，可得Asin(ka)=0,Bcos(ka)=0。A,B不能同时为0，否则ψ处处为0，无意义。由此，得到两组解，(1)A=0,cos(ka)=0;(2)B=0,sin(ka)=0.第24页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun归一化条件，可取讨论：粒子被束缚在阱内。通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态(即粒子被约束于空间的有限区域)。一般地，束缚态所属能级是分立的。粒子最低能级（基态），也具有能量，粒子波粒二象性的反应。第25页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun能级分布是不均匀的。能级愈高，密度愈小。即n很大时，能级可视为连续的，这样就回到了经典情形。这正如对应原理所揭示的，大量子数极限情况下，量子理论必须逐渐逼近经典理论。不同定态能量间隔差，表明当势阱宽度越窄，δE越大，能量量子化越显著。当势阱宽度越宽，δE越小，能量可视为连续改变。可见，量子性显著表现在空间范围很小的微观尺度中。第26页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun节点数:按定义，所谓节点，即本征函数的零点(端点除外)Ψn具有n-1个节点。第27页第3章一维势场中的粒子@QuantumMechanicsFangJun思考：设粒子处在二维无限深势阱中，求粒子的能量本征值和本征函数。如a=b，能级的简并度如何？第28页