理论力学运动学

理论力学中南大学土木工程学院1理论力学中南大学土木工程学院2以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位置的方法叫自然法。一、弧坐标,自然轴系1、弧坐标§5-3自然法设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即s=f(t)MsAB(+)(-)O理论力学中南大学土木工程学院3二、点的速度0000limlim()ddlimlimddddttttststsststssvtrrvrr三、点的加速度22dddddd()ddddddvsvvvttttttvττaτττ式中v称为速度矢量在切线上的投影。AMBOr(t)r(t+t)M'vrO's(+)(-)理论力学中南大学土木工程学院42t2ddddvsttaττ①切向加速度______表示速度大小的变化ta2nddddddsvvvtstττan②法向加速度______表示速度方向的变化na2tnddvvtaaaτn22ttnn||arctanaaaaa，atvManaatvMana理论力学中南大学土木工程学院5理论力学中南大学土木工程学院6[例]是指刚体的平行移动和定轴转动刚体的运动平行移动、定轴转动平面运动、定点运动、一般运动简单运动理论力学中南大学土木工程学院7OB作定轴转动CD作平移AB、凸轮均作平移理论力学中南大学土木工程学院8一、刚体平移的定义平行移动（平移）：刚体在运动中，其上任意两点连线方向始终保持不变。§6-1刚体的平行移动BA在运动中方向和大小始终不变它的轨迹可以是直线可以是曲线直线平移、曲线平移yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O()()AABBtt，rrrrABBArrr理论力学中南大学土木工程学院9得出结论:即二、刚体平移的特点平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状，速度和加速度都一样。即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。dddd()(0)ddddABBAABBABttttrrrvrrv222222ddd:()dddABABBABtttrrarra同理A2B2A1B1OBrArAvBvAaBaBA理论力学中南大学土木工程学院10一、刚体定轴转动定轴转动:刚体运动时，有上或其扩展部分有两点保持不动。通过两点的直线称为转轴,不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内做圆周运动。二、转角和转动方程____转角,单位弧度(rad)=f(t)______为转动方程方向规定:从z轴正向看去,§6-2刚体的定轴转动逆时针为正顺时针为负理论力学中南大学土木工程学院11三、定轴转动的角速度和角加速度Δ0ΔdlimΔdttt定义代数量1、角速度()ft单位rad/s若已知转动方程()ft2、角加速度设当t时刻为,t+△t时刻为+△220ddlim()ddtftttt单位：rad/s2(代数量)角加速度tOt理论力学中南大学土木工程学院12如果与同号，则转动是加速的；如果与异号，则转动是减速的。与同号,转动加速与异号,转动减速OOOO机器中的转动部件或零件，一般都在匀速转动情况下工作。转动的快慢用转速n表示，其单位为转/分(r/min=rpm)。则n与的关系为:2(rad/s)6030nn理论力学中南大学土木工程学院13§6-3转动刚体内各点的速度和加速度刚体定轴转动时，不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在轴线O上，半径R等于点到转轴的距离。设刚体以从定平面A绕定轴转动到B处；转角为。定轴转动刚体上任一点做圆周运动刚体上一点从M0转到M，取M0为弧坐标原点。方向:沿圆周的切线,指向与转动方向一致速度:dd()ddddsRvRRtttBAO(+)Rv点的弧坐标:Rs一、角速度与v的关系MM0理论力学中南大学土木工程学院14二、角加速度与an，at的关系BAO(+)RvMM0设角加速度如图所示tddd()dddvaRRRttt切向加速度ta即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定，当是正值时，它沿圆周的切线，指向角的正向；否则相反。即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。Ov理论力学中南大学土木工程学院15即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。BAO(+)RvMM0tana点的全加速度为：（一般情况下不合成）2224ttn2ntanaaaaRa，法向加速度222n()vRaRR在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹角都有相同的值。Oa理论力学中南大学土木工程学院16如果与同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度at与速度v的指向相同；如果与异号，刚体作减速转动，at与v的指向相反。这两种情况如图所示。OvatanMOvatanM理论力学中南大学土木工程学院17[例]试画出图中刚体上D，E两点在图示位置时的速度和加速度。(O1A=O2B，O1O2=AB)AO1O2BDEEODvDvEaDaEvDvEaDnaDtaEtaEn理论力学中南大学土木工程学院18理论力学中南大学土木工程学院19定系：地面为参考系动系：相对于地面运动物体上的参考系工程实际中两类问题不同参考系上观察物体的运动会有不同的结果同一点对两个不同参考系的运动以及动系对定系的运动之间的关系，由点的合成运动解决！机构运动点的运动螺旋桨叶片端点的运动重物在起吊过程中的运动机构运动通过选择合适的动点、动系转变为点的合成运动，来解决机构传递问题！理论力学中南大学土木工程学院20理论力学中南大学土木工程学院21对心尖顶直动推杆凸轮机构对心平底直动推杆凸轮机构偏心平底直动推杆凸轮机构摆动推杆凸轮机构曲柄摇杆机构推杆摇杆机构正弦机构牛头刨床移动凸轮机构理论力学中南大学土木工程学院22§7-1点的合成运动概念动点定系动系绝对运动相对运动绝对速度绝对加速度avaa相对速度相对加速度rvra点的运动固结于地面上的坐标系固结于相对于地面运动物体上的坐标系绝对轨迹相对轨迹牵连运动动系相对于定系的运动刚体运动理论力学中南大学土木工程学院23动点动系不同瞬时，动点在动系中的位置不同。牵连点设想该瞬时将该动点固定在动系上，而随着动系一起运动所具有的速度和加速度。即受动参考系这个刚体的牵连或拖带而产生的速度和加速。相对运动牵连点是动系上的点，不同瞬时牵连点不同！在某瞬时，动系中与动点相重合的点。牵连点对定系的速度和加速度分别称为的牵连速度与牵连加速度evea动点理论力学中南大学土木工程学院24理论力学中南大学土木工程学院25理论力学中南大学土木工程学院26理论力学中南大学土木工程学院27动点：AB杆上A点动系：固结于凸轮上定系：固结在地面上凸轮顶杆机构理论力学中南大学土木工程学院28绝对运动：铅直运动相对运动：圆周运动牵连运动：凸轮直线平移理论力学中南大学土木工程学院29绝对速度：va，相对速度：vr，牵连速度：ve理论力学中南大学土木工程学院30绝对加速度：aa相对加速度：ar牵连加速度：ae理论力学中南大学土木工程学院31动点：AB杆上的A点动系：偏心轮绝对运动：直线运动相对运动：圆周运动牵连运动：定轴转动理论力学中南大学土木工程学院32绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动圆轮摇杆机构动点：圆盘上的A点动系：O'A摆杆理论力学中南大学土木工程学院33摇杆滑道机构绝对运动：水平直线运动；相对运动：沿OB轴线的直线运动；牵连运动：OB杆的定轴转动。动点：CD杆上的A点；动系：固结于OB上。理论力学中南大学土木工程学院34曲柄滑块机构动点：O1A上A点;动系：固结于BCD上。绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动;牵连运动：BCD平移动点：BCD上的套筒F点;动系：固结于O2E上。绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。再选理论力学中南大学土木工程学院35相对轨迹清楚，可以确定相对速度和相对加速度的方位。理论力学中南大学土木工程学院36理论力学中南大学土木工程学院37理论力学中南大学土木工程学院38建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。11MMMMMM将上式除以t后，取t→0时的极限，得11000limlimlimtttMMMMMM'ttt§7-2点的速度合成定理一、证明ABABM1MM2M由各速度的定义：0limtMMtav10limtMMtev1200limlimttMMMMttrvavevrv理论力学中南大学土木工程学院39说明：va—动点的绝对速度；vr—动点的相对速度；ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)对地的速度。动系作平移时，牵连速度等于动系上各点的速度；动系作定轴转动时，牵连速度垂直于动点与转轴的连线，大小为该连线与动系转动的角速度的乘积。即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。aervvv理论力学中南大学土木工程学院40由速度合成定理va=ve+vr，作出速度平行四边形如图示。解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘。绝对速度va=?待求，方向//AB相对速度vr=?未知，方向CA牵连速度ve=OA=2e，方向OA0ae23tan303vve[例]圆盘凸轮机构，已知OC=e，，凸轮角速度。图示瞬时OCCA，且O、A、B三点共线。求从动杆AB的速度。eR3ReCOABvevrvaa23()3ABvve理论力学中南大学土木工程学院41[例]刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为，通过套筒A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角速度1。AO1OB2ea2222e111sinsin()()rvvrlrvOAlr2122rlrvave1解：取套筒铰接点即OA杆上的A点为动点，穿过套筒的摆杆O1B为动系。绝对速度va=r，方向OA相对速度vr=?，方向//O1B牵连速度ve=?，方向O1Bvr理论力学中南大学土木工程学院42解：取套筒与AB杆的铰接点A为动点，动系与OC固连，分析A点速度，有easinsinvvvesinOCvvOAasinCOCabvOCvaaervvv[例]P355、例14-4求图示机构中OC杆端点C的速度。其中v与已知，且设OA=a,AC=b。vABCOvCOCvavevr理论力学中南大学土木工程学院43解：以小环M为动点，动系取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。由图可得：easinsinvuveasinvv[例]水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落。求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。uABOMrvrvave理论力学中南大学土木工程学院44分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。可以