第4课时 直线与圆的位置关系

第4课时直线与圆的位置关系【学习目标】1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2、能用直线和圆的方程解决一些简单问题；3、初步了解用代数方法解决几何问题的思想；【重点、难点】1、直线与圆的位置关系的判断；2、利用圆的几何性质解决弦长和切线问题及数形结合的思想方法；【学习内容】一、课前自主学习检查1.运用小组合作、互助的方式，解决课前预习的内容；2.通过各小组代表汇报，了解学生解决问题的相关情况，解决学生预习中存在的问题；3.通过课前预习题的解决，回顾、建立本节课的知识、方法的结构体系。二、知识巩固与强化1、求过点(3，1)且与圆x2－2x＋y2－3＝0相切的直线方程．2、从点A(－3，3)发出的光线l经x轴反射，反射线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求l所在直线方程．3、已知一圆过A(－2，4)、B(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，求该圆的方程．三、典型例题变式训练例1、已知圆22:2430Cxyxy，若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；例2、已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，（m∈R）(1)证明：不论m取什么实数时，直线l与圆恒相交于两点；(2)求直线l被圆C截得线段长度最小时直线l的方程。例3、已知m∈R，直线l：2(1)4mxmym和圆C：2284160xyxy。（1）求直线l斜率的取值范围；（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？四、总结提升1、直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数；2、根据直线和圆的位置关系求弦长，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离，半弦长与半径的勾股定理关系求解；3、圆与直线l相切的情形——圆心到直线l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于直线l；4、圆与直线l相交的情形——圆心到l的距离小于半径，过圆心而垂直于l的直线平分直线被圆截得的弦，连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦，过圆内的一点的所有弦中，最短的是垂直于过此点的直径的那条弦，最长的为直径；5、在解决有关圆的解析几何题时，主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，避免冗长的计算。【当堂训练】1.设m0，则直线2（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为2.求与直线3x－2y＋4＝0垂直且与圆x2－2x＋y2－3＝0相切的切线方程．3.已知直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25截得的弦长为8，求实数k的值．4.求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长等于27的圆的方程．5.已知点A(0，2)和圆C：(x－6)2＋(y－4)2＝536，一条光线从A点出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程长．课后自我检测1、已知点)33,1(),3,1(BA，则直线AB的倾斜角是2、过点)3,2(P，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是3、已知直线0323yx和圆422yx，则此直线与已知圆的位置关系为4、“a=b”是“直线y=x+2与圆（x-a）2+(y-b)2=2相切”的条件5、圆222690xyxy关于直线250xy对称的圆的方程是6、过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线的方程为7、直线063:yxl被圆042:22yxyxC截得的弦AB的长为8、圆x2+y2-2axcos-2bysin-a2sin2=0在x轴上截得的弦长为9、设M是圆22(5)(3)9xy上的点，则M点到直线3420xy的最短距离是。10、圆222430xyxy上到直线10xy的距离为2的点共有个11、已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系?12、求经过A(0,5)，且与直线x-2y=0和3x+y=0都相切的圆的方程．课后自由发展1、直线1yx与圆)0(0222aayyx没有公共点，则a的取值范围是2、设直线l过点)0,2(，且与圆122yx相切，则l的斜率是3、已知直线0125ayx与圆0222yxx相切，则a的值为4、设直线03yax与圆4)2()1(22yx相交于A、B两点，且弦AB的长为32，则a.5、直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为6、若圆x2+y2+mx－41=0与直线y=－1相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为____7、直线yxm与圆221xy在第一象限内有两个不同交点，则m的取值范围是8、若曲线214yx(22)x与直线(2)4ykx有两个交点时，则实数k的范围为_9、若圆（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的范围是10、已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，求a的取值范围.11、已知点),(yxP在圆1)1(22yx上运动.（1）求21xy的最大值与最小值；（2）求yx2的最大值与最小值.参考答案课前自主学习1、相切；2、-1；3、33233xy；4、y=x+1；5、6知识巩固与强化1、解：圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝22，圆心为C(1，0)，半径r＝2．∵(3－1)2＋12＞22，∴点(3，1)在已知圆外．设过点(3，1)的切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0．∴圆心C到切线的距离d＝1|13|2＋＋－kkk＝2，解得k＝－43．∴一条切线的方程为y－1＝－43(x－3)．∵从圆外一点引圆的切线应有两条，此处k仅一解，∴另一切线是平行于y轴的直线，方程为x＝3，∴所求的切线方程为3x＋4y－13＝0和x＝3．2、解：解法一如图23－5，设入射光线l的斜率为k，则由x轴反射后反射光线l的斜率为－k．∴l的方程为y－3＝k(x＋3)．令y＝0，得入射点P(－k3－3，0)．故l方程为y＝－k(x＋k3＋3)，即kx＋y＋3k＋3＝0．∵圆方程即(x－2)2＋(y－2)2＝1，圆心(2，2)，半径为1，xoyP'PA(－3，3)ol'l'llA'∴由d＝r，得1|3322|2kkk＝1，即12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－34或－43．∴l的方程为y－3＝－34(x＋3)或y－3＝－43(x＋3)，即4x＋3y＋3＝0和3x＋4y－3＝0．解法二如图23－5，点A(－3，3)关于x轴的对称点为A(－3，－3)．设过A与圆相切的直线方程(即反射线方程)为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0．同上，圆心(2，2)到它的距离等于半径长，即1|3322|2kkk＝1，解得k＝34或43，∴直线l的斜率为－34或－43．故所求直线l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0．解法三如图23－6，已知圆关于x轴的对称圆的圆心为(2，－2)，半径为1．设l的方程为y－3＝k(x＋3)，∴1|3322|2kkk＝1，解得k＝－34或－43．故所求直线l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0．3、解：可求得线段AB的中垂线方程为x－y＋1＝0．设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．则圆心C(a，b)必在线段AB的中垂线上，∴a－b＋1＝0．①由已知⊙C截x轴所得的线段长为6，而⊙C到x轴的距离等于|b|．∴r2＝b2＋(2b)2，②又r＝|AC|＝22)4()2(ba．③由②、③得a2＋4a－4－8b＝0．④解①、④组成的方程组，得，＝，＝2111ba或．＝，＝4322ba于是r12＝13，r22＝25．故所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝13或(x－3)2＋(y－4)2＝25．变式训练，自主研究4、解：（1）∵切线在x轴和y轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为xya，又∵圆22:(1)(2)2Cxy∴圆心(1,2)C到切线的距离等于圆半径2，xoA(－3，3)yll即1221,2aa或3a，当截距为零时，设ykx，同理可得26k或26k。∴所求切线的方程为10xy或30xy或(26)yx或(26)yx5、（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.2x+y－7=0，x=3，x+y－4=0，y=1，即l恒过定点A（3，1）.∵圆心C（1，2），｜AC｜＝5＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－21，l的方程为2x－y－5=0.6、解：（I）直线l的方程可化为22411mmyxmm，直线l的斜率21mkm，因为21||(1)2mm，所以2||||1||12||2mmkmm，当且仅当||1m时等号成立。所以，斜率k的取值范围是11[,]22。（II）不能。由（I）知l的方程可化为(4)ykx，其中1||2k。圆C的圆心为C（4，-2），半径2r。圆心C到l的距离221dk。由1||2k，得415d，即2rd。从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于23。所以直线l不能将圆C分割成弧长的比值为12的两段圆弧。当堂训练1、相切或相离；∵m∈R，∴得2、2x+3y-2+132=0or2x+3y-2-132=0；3、k=1or-1；4、(x-1)²+(y-3)²=9或者(x+1)²+(y+3)²=9；5、5518；课后自我检测1、32；2、y=x+1；3、相交；4、充分不必要；5、（x+7)2+(y+1)2=1；6、y=-3xory=x31；7、10；8、22|acosθ|；9、2；10、3；11、解：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=20202yxr.∵P（x0，y0）在圆内，∴2020yxr.则有dr，故直线和圆相离12、(x-1)2+(y-3)2=5or(x-5)2+(y-15)2=125课后自由发展1、0a2-1；2、3or-3；3、8或-18；4、0；5、3；6、3；7、)2,1(；8、43,125；9、(4,6)10、解：将圆的方程配方得（x+2a）2+（y+1）2=4342a，圆心C的坐标为（－2a，－1），半径r=4342a，条件是4－3a2＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即22)12()21(a＞4342a.化简得a2+a+9＞0.4－3a2＞0，a2+a+9＞0，－332＜a＜332，a∈R.由解之得∴－332＜a＜332.故a的取值范围是（－332，332）.11、(1)[－33,33]，(2)1+5;1-5扩展资料（切点弦方程）问题：过圆外一点，作这个圆的两条切线、，切点分别是、，求直线的方程（直线称作切点弦）．解：如图所示，设切点的坐标为，切点的坐标为．因为圆的方程是①所以过圆上一点所作的切线的方程为②由于在直线上，所以③同理，根据点M在切线BM上，得④③④表明，点和点都在下面的直线上⑤因为过两点只有一条直线，所以⑤就是直线的方程．即点的切点弦方程为：．此题的基本思想是设而不求．设了点和点的坐标，但是不求出这些坐标，只是借用它们的形式，把最终的问题解决．