理论力学第4章1

第二篇运动学运动学（Kinematics）研究物体运动的几何规律，即物体的空间位置随时间变化的规律，不涉及引起物体运动变化的物理因素。研究对象是点和刚体。二运动的相对性同一物体对于不同参考系的运动是不同的，运动物体的这种特性，称为运动的相对性。瞬时：指物体运动过程中的某一时刻；运动学基本概念一点和刚体点：指没有大小的几何点；刚体：在任何情况下保持其形状和大小不变的物体；三瞬时和时间间隔时间间隔：指两个瞬时之间的一段时间；参考坐标系：固连在参考体上的一组任选的坐标系，称为参考坐标系（Referencecoordinatesystem）或参考系。第四章运动学基础主要内容:以点和刚体运动为核心，叙述对物体进行运动分析的基本概念，基本理论和基本方法。掌握用矢量法，直角坐标法，自然轴法确定点的位置，点的运动轨迹，点的速度和加速度；并在点的运动学基础上研究刚体的基本运动——平动和定轴转动。§4.1点的运动点的运动方程、运动轨迹、速度和加速度点在空间运动时所经过的路线，称为点的轨迹。根据轨迹的特点，点的运动主要有直线运动和曲线运动两种。点的运动方程就是为确定点的运动建立起来的点在参考系中的位置随时间变化的数学表达式。点的速度是描述动点运动的快慢和方向的物理量。动点速度的变化由点的加速度来描述。§4.1.1矢量法运动方程ABtrr速度:rt时间内的位移矢量rdtrdtrvt0lim方向：沿着轨迹在该点的切线方向orrrMMvvttttrvMMvvvv加速度ttttvarvrvvaaotot22tttddddlimlimaa矢端曲线速度矢径矢端曲线切线加速度速度矢端曲线切线§4.1.2直角坐标法运动方程动点M的轨迹方程：0,0,21zyFyxFkzjyixr)()()(321tfztfytfx速度kvjvivzyxvvkvvvjvvvivvvvvzyxzyx),cos(,),cos(,),cos(222kzjyixkzjyixdtddtrdvzvyvxvzyx加速度kdtdvjdtdvidtdvdtvdazyxzvayvaxvazzyyxxkdtzdjdtydidtxd222222kzjyixkvjvivzyxkajaiaazyxaakaaajaaaiaaaaazyxzyx),cos(,),cos(,),cos(222§4.1.3自然轴法以点的轨迹作为一根曲线坐标轴来确定动点的位置的方法称为自然法运动方程OMS（-）（+）()sftOMs弧坐标：已知轨迹的运动方程自然轴系自然轴系是沿曲线而变动的游动坐标系。自然轴系的单位矢是随点在曲线上的位置而变化的变化矢。nb法面ssρsddlim10自然坐标轴的几何性质OS（-）O（-）（+）速度MSMOrrrv速度的方向沿轨迹的切线并指向点前进的方向。00dlimlimdttsstttrvddsstv0tsrddsvtv加速度MS（-）OMS（+）（-）vvMAB,dtdvdtdvvdtddtvdadddd22vattsa220ddddlimddddtsvvvvtstssMAB2sin222dd1limlimdd0kssssρxt总是朝向轨迹内凹的一侧，即指向曲率中心，与主法线单位矢量同向dds2ddvvtnnnaρva2nn220ddddlimddddtsvvvvtstssnaanvdtdvan2222vdtdva全加速度：naatga与主法线的夹角：Mnaaa0ba2vandtsddtdva2,dtdvdtdva例：2vandtdva几种特殊情况：,00,),(vstaa如果已知tdtavv00则1、匀速率曲线运动：0,0avv常数tvss00运动方程：nvaan2全加速度：tttdtdtatvsdtvss0000002、匀变速率曲线运动：20021tatvss运动方程：2vadtdvan常数，tavv0速度方程：02022ssavv3、直线运动：aaadtdvan,0,加速度。点的运动方程，速度和为常量）。试求（，的半径为，已知固定圆环定圆环上的小环点转动时，拨动套在固绕例：杆MtRMAAB解：直角坐标法：建立坐标系如图：在任意瞬时t,M点的坐标为：oRABMt)2cos();2sin(tRytRxM点的运动方程为：点的速度：Mxy2)2cos()2cos(ROMy)2sin()290cos(ROMx)2sin(2tRyvy);2cos(2tRxvx)2sin(2);2cos(2tRyvtRxvMyx点的速度：Rvvvyx222大小：290),(;2),(jviv即：oRABMxy2v);2cos(),cos(vvivx方向：垂直与矢径r)290cos()2sin(),cos(vvjvy2224Raaayx即指向曲率中心相反，加速度的方向与矢径roRABMxy2a)2sin(2);2cos(2tRyvtRxvMyx点的速度：;4)2sin(422xtRvaMxx点的加速度：ytRvayy224)2cos(4jyixa2244rjyix224)(4加速度。点的运动方程，速度和为常量）。试求（，已知固定圆环的半径为，定圆环上的小环点转动时，拨动套在固绕例：杆MtRMAAB解：自然法：以C点为起点量取弧坐标s，规定顺时针为正.oRABMtRRs2)2(动点的轨迹方程为：动点的速度：2Rsv20va动点的加速度：2224)2(RRRvanCsoRAM2av度。运动方程、速度和加速为常量），试求滑块的（和、知在水平导槽中运动。已滑块轴旋转、通过连杆带动。曲柄绕长为，连杆长为柄例：曲柄滑块机构，曲tlrBOlABrOAOABxy解：建立坐标系如图：在任意时刻t，B点的坐标为：Ccoscoslrx0y：消去sinsinsinlrlAC222sin1sin1coslr其中：滑块的运动方程为：tltrx22sin1cos）（t其中：tltrx22sin1cos）（61~41工程实际中：)2cos(14cos2tlltr）（)2cos(4cos)41(2ttrllx）（即：)sin81sin211(cos4422ttltrx）（tlltr22sin2cos）（)2sin(2sin(ttrxv）求导：)2cos(cos2ttrva）（51例正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，它与水平线间的夹角为其中θ为t=0的夹角，ω为一常数。已知动杆上A，B两点间距离为b，求点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。,t求：①A、B点运动方程②B点速度、加速度bABtrOM,,,常数已知：求：①A、B点运动方程②B点速度、加速度bABtrOM,,,常数已知：解：A，B点都作直线运动，取ox轴如图所示。运动方程)sin(sintrbrbxA)sin(sintrrxBAB点的速度和加速度trxvBBcosBBBxtrxa22sin周期运动txTtxx)(频率Tf1例如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度（v为活塞的速度，k为比例常数)，初速度为v0,求活塞的运动规律。vka,,00vvvkat：已知tx：求txvvvkat求：已知：,,00解：1活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图kvtvadd2由vvttkvv00dd得ktevvktvv00,lnktevtxv03dd由tevxktxxtdd000得ktekvxx100例：半径为R的轮子沿水平直线轨道作无滑动滚动，轮心匀速前进，速度值为u。求轮缘上一点M的运动方程、速度和加速度，以及轨迹的曲率半径。COAut解：以M点与水平轨道接触的瞬间作为时间的计算起点t=0RuttRu轮子转过的角度为：旋轮或摆线sinRRxM的坐标为：点)sin(tRuRutxM的运动方程为：点cosRRy)cos(tRuRRyMxy22yxvvv大小：)cos(),sin(tRuRRytRuRutxM的运动方程为：点2sin2u2sin2sin2cos1),cos(iv方向；)cos1()cos(utRuuuxvMx的速度为：点sin)sin(utRuuyvy22sin)cos1(u)cos1(2u2cos2sin2sin),cos(jv290),cos(iv即；2),cos(jvCxyOMAutE2),cos(290),cos(jvivv22yxaaa大小：sin)sin(),cos1()cos(utRuuyvutRuuuxvMyx的速度为：点Ru2sin)sin(22RutRuRuvaMxx的加速度为：点cos)cos(22RutRuRuvayy222sincosRusin),cos(aaiax方向；cos),cos(aajay90),cos(ia即；),cos(janav2CxyOMAutEa),cos(90),cos(jaiaB求曲率半径：2sin4Rnava)2sin(2tRuudtdva)2cos(2tRuRu2cos2Ru22aaan2cos122Ru2sin2Ru2sin)2sin2(22Ruu例列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求列车起点和未点的加速度。0,00vvatt常数已知：R=800m=常数，hkmmin542vmin20,ttaa：求解：1列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图0,0vat常数由2tavt2125.015sm120ssmtvat②120smin2t222308.0smntaaa①0,0nat2125.0smtaa222281.0800)15(