第56讲离散型随机变量

第56讲离散型随机变量（第1课时）离散型随机变量222)()()()()(10EEDDabaDcbabaEbaEccEPPii性质性）意义（随机变量的稳定方差为常数、、性质意义（平均水平）数学期望二项分布性质分布列（概率分布）重点：1．离散型随机变量的分布列、期望、方差的概念和有关计算；2．期望、方差的实际应用。难点：1．分布列中的取值的确定；2．期望、方差的性质应用。1．了解离散型随机变量的意义，会求其简单的分布列。2．了解离散型随机变量的期望、方差的意义，会由分布列求出期望和方差。在分布列的基础上，求离散型随机变量的期望和方差，进而判断两者水平的高低和稳定性。各种题型都有可能。1．离散型随机变量的分布列离散型随机变量：一些随机变量，如一段时间内机器发生故障的次数，洪水持续的天数等，只可能取数轴上的有限个不连续的孤立的值，则称这样的随机变量为离散型随机变量。离散型随机变量的概率分布（分布列）：设离散型随机变量可能取的值为1x，2x，…ix，…取每一个值ix（,2,1i）的概率pxPi)(，则表1x2x…ix…P1p2p…ip…神经网络准确记忆！重点难点好好把握！考纲要求注意紧扣！命题预测仅供参考！考点热点一定掌握！称为离散型随机变量的概率分布，简称的分布列。离散型随机变量的分布列的两个性质：①0ip，,2,1i；②1p+2p+…+ip+…=1。一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。例．一批零件有9个合格品，3个不合格品，安装机器时，从中任取一个，若取出不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品的数量的分布列。解：设在取得合格品以前已取出的不合格品的数量为，则是一个随机变量，且其值为0、1、2、3。0表示从12个零件中取出0件不合格品，实际上就是取出一件合格品的意思，其概率为43129)0(11219AAP；1表示从12个零件中第一次取出不合格品，第二次取出合格品，其概率为449111293)1(2121913AAAP；同理，2209101112923)2(3121923AAAP；220191011129123)3(4121933AAAP，故所求的分布列为2．二项分布二项分布：如果在一次试验中，某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为knkknqPCkP)(（nk2,1,0；pq1）的概率分布列为我们称这样的随机变量服从二项分布，记为～),(pnB，其中n、p为参数，并记),(pnkbqpCknkkn；。注意事项：二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布，其概率就是前面学过的n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率。例．现有一大批种子，其中优质种占30%，从中任取8粒，记为8粒中的优质种子粒数，求的分布列。解：由于种子的批量很大，从中任取8粒可视为8次独立重复试验，其概率服从二项分布，其分布列为3．离散型随机变量的期望0123P434492209220101…k…nPnnqpC00111nnqpC…knkknqpC…0qpCnnn012P0808)103()107(C1718)103()107(C2628)103()107(C⑴若离散型随机变量的概率分布列为则称nnpxpxpxE2211为的数学期望，简称期望。期望值就是离散型随机变量取值的平均水平。⑵期望值的性质①CEC(C为常数)(即常数的期望值为常数自身)②baEbaE)((a、b为常数)③2121)(EEE④如果1，2相互独立（即这两个随机变量取什么值互不影响），那么)()()(2121EEE注意事项：①上述四条性质中，第二、三两条合称期望值的线性性质。②二项分布离散型随机变量的期望值等于np。例（2004年高考理科河南题）．一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C×0.52×0.62+12C×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)=22C×0.52×0.62+12C12C×0.52×0.4×0.6+22C×0.52×0.42=0.37.P(ξ=3)=22C12C×0.52×0.4×0.6+12C22C×0.52×0.42=0.2P(ξ=4)=0.52×0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为：ξ01234P0.090.30.370.20.04所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.4．离散型随机变量的方差⑴若离散型随机变量的概率分布列为则称nnpExpExpExD2222121)()()(为的方差。方差反映了离散型随机变量取值的稳定性，方差越小，说明随机变量取值的波动越小。⑵方差的性质：①DabaD2)((a、b为常数)②22)(EED注意事项：①二项分布离散型随机变量的方差等于)1(pnp。②实际中也常用D来衡量离散型随机变量取值的稳定性，D叫做标准差，用字母来表示。例．甲乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量与，且与的分布列为1x2x…ix…P1p2p…ip…1x2x…ix…P1p2p…ip…计算、的期望与方差，并以此分析甲乙两人的技术优劣。解：依题意有环5.80005.0505.061.071.082.095.010E环6.52.002.052.061.071.081.091.010E1.0)85.87(1.0)85.88(2.0)85.89(5.0)85.810(2222D2275.20)85.80(05.0)85.85(05.0)85.86(2221.0)6.57(1.0)6.58(1.0)6.59(1.0)6.510(2222D24.102.0)6.50(2.0)6.55(2.0)6.56(222由EE可知，甲的平均水平比乙高，由DD可知，甲的技术波动较小，所以甲的技术优势较大。5．实践问题例．某保险公司新开设了一项意外伤害保险业务，若在一年内意外伤害发生，则公司需要赔偿a元，设一年内意外伤害发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于0.1a，问公司需要客户交多少保险金？解：设需要客户交保险金x元，公司每年的收益为，则得分布列为公司每年收益的期望值为apxpaxpxE)()1(，由题意有aapx1.0，解之得apx)1.0(，所以公司需要客户交保险金ap)1.0(元。6.自阅题例（2001年天津高考题）．A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1对B13231A2对B25253A3对B35253现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η。⑴求ξ、η的概率分布；⑵求Eξ、Eη。解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.10987650P0.50.20.10.10.050.05010987650P0.10.10.10.10.20.20.2xaxPp1p758525232)3(P（三场全胜）7528525332525231535232)2(P（胜二场负一场）52525331535231535332)1(P，（胜一场负二场）253535331)0(P（三场全负）根据题意知ξ+η=3，所以P(η=0)=P(ξ=3)=758,P(η=1)=P(ξ=2)=7528P(η=2)=P(ξ=1)=52,P(η=3)=P(ξ=0)=253。（2）15222530521752827583E；因为ξ+η=3，所以15233EE。12345678GD0317离散型随机变量的概念√GD0318离散型随机变量的期望值的概念√离散型随机变量的方差的概念√GD0319分布列的概念√分布列的性质√二项分布√求离散型随机变量的分布列√GD0320根据分布列求出期望值√根据分布列求出方差√1．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为，那么4表示的随机试验结果是（）A.2颗都是4点；B.1颗1点，另1颗3点；C.2颗都是2点；D.1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点。分析：4表示两颗骰子的点数之和为4，故选D。2．设服从二项分布～),(pnB的随机变量的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数pn,的值为（）A.6.0,4pn；B.4.0,6pn；C.3.0,8pn；D.1.0,24pn。分析：根据二项分布型随机变量的期望值计算公式可得24npE，44.1)1(pnpD，解之得4.0p，6n，故应选B。3．设是一个离散性随机变量，则以下不能够成为的概率分布的一组数是A.0，0，0，1，0；B.0.1，0.2，0.3，0.4；C.p，p1（p为实数）；D.nn1,)1-n1321211（，，(n为正整数)。分析：分布列的两条性质之一是各数之和均等于1，四个供选答案都符合；另一条性质是各数均大于零，只有C中的各数未能满足这一条件，故应选C。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！4．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意连续取出2件。⑴求次品数的取值范围；⑵求的分布列；⑶求)1(P。解：⑴的取值范围是{0，1，2}；⑵当0（连续取出2件均为正品）时，9025.0)05.01(05.0)0(202CP，当1（连续取出2件一为正品一为次品）时，095.0)05.01(05.0)1(102CP，当2（连续取出2件全为次品）时，0025.0)05.01(05.0)2(0202CP，故所求分布列为⑶9975.0)0()1()1(PPP（也可写为9975.0)2(1)1(PP）。5．A、B两台测量仪器测量一长度为120mm的工件时，A、B的分布列分别为：试比较两种仪器的优劣。解：99.11905.012215.012160.012014.011906.01181E60.0)99.119120(14.0)99.119119(06.0)99.119118(2221D7299.005.0)99.119122(15.0)99.119121(2299.11908.012216.012152.012015.011909.01181E52.0)99.119120(15.0)99.119119(09.0)99.119118(2221D9899.008.0)99.119122(16.0)99.119121(22由21EE可知两仪器的测量精度相等，由21DD可知A仪器的测量结果的波动小于B仪器。综上述，A仪器较好。012P9025.0095.00025.0A11181191201211221P0.060