第5章 优化问题

第5章优化问题5.1线性规划问题线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题，MATLAB6.0解决的线性规划问题的标准形式为：minnRxxfsub.to：bxAbeqxAequbxlb其中f、x、b、beq、lb、ub为向量，A、Aeq为矩阵。其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。在MATLAB6.0版中，线性规划问题（LinearProgramming）已用函数linprog取代了MATLAB5.x版中的lp函数。当然，由于版本的向下兼容性，一般说来，低版本中的函数在6.0版中仍可使用。函数linprog格式x=linprog(f,A,b)%求minf'*xsub.tobxA线性规划的最优解。x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)%等式约束beqxAeq，若没有不等式约束bxA，则A=[]，b=[]。x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)%指定x的范围ubxlb，若没有等式约束beqxAeq，则Aeq=[]，beq=[]x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)%设置初值x0x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)%options为指定的优化参数[x,fval]=linprog(…)%返回目标函数最优值，即fval=f'*x。[x,lambda,exitflag]=linprog(…)%lambda为解x的Lagrange乘子。[x,lambda,fval,exitflag]=linprog(…)%exitflag为终止迭代的错误条件。[x,fval,lambda,exitflag,output]=linprog(…)%output为关于优化的一些信息说明若exitflag0表示函数收敛于解x，exitflag=0表示超过函数估值或迭代的最大数字，exitflag0表示函数不收敛于解x；若lambda=lower表示下界lb，lambda=upper表示上界ub，lambda=ineqlin表示不等式约束，lambda=eqlin表示等式约束，lambda中的非0元素表示对应的约束是有效约束；output=iterations表示迭代次数，output=algorithm表示使用的运算规则，output=cgiterations表示PCG迭代次数。例5-1求下面的优化问题min321x6x4x5sub.to20xxx32142x4x2x332130x2x321321x0,x0,x0解：f=[-5;-4;-6];A=[1-11;324;320];b=[20;42;30];lb=zeros(3,1);[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb)结果为：x=%最优解0.000015.00003.0000fval=%最优值-78.0000exitflag=%收敛1output=iterations:6%迭代次数cgiterations:0algorithm:'lipsol'%所使用规则lambda=ineqlin:[3x1double]eqlin:[0x1double]upper:[3x1double]lower:[3x1double]lambda.ineqlinans=0.00001.50000.5000lambda.lowerans=1.00000.00000.0000表明：不等约束条件2和3以及第1个下界是有效的5.2非线性规划问题5.2.1有约束的一元函数的最小值单变量函数求最小值的标准形式为)x(fminxsub.to21xxx函数fminbnd格式x=fminbnd(fun,x1,x2)%返回自变量x在区间21xxx上函数fun取最小值时x值，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。x=fminbnd(fun,x1,x2,options)%options为指定优化参数选项[x,fval]=fminbnd(…)%fval为目标函数的最小值[x,fval,exitflag]=fminbnd(…)%xitflag为终止迭代的条件[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(…)%output为优化信息说明若参数exitflag0，表示函数收敛于x，若exitflag=0，表示超过函数估计值或迭代的最大数字，exitflag0表示函数不收敛于x；若参数output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。例5-2计算下面函数在区间(0，1)内的最小值。x3exlogxxcosx)x(f解：[x,fval,exitflag,output]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1)x=0.5223fval=0.3974exitflag=1output=iterations:9funcCount:9algorithm:'goldensectionsearch,parabolicinterpolation'例5-3在[0，5]上求下面函数的最小值1)3x()x(f3解：先自定义函数：在MATLAB编辑器中建立M文件为：functionf=myfun(x)f=(x-3).^2-1;保存为myfun.m，然后在命令窗口键入命令：x=fminbnd(@myfun,0,5)则结果显示为：x=35.2.2无约束多元函数最小值多元函数最小值的标准形式为)x(fminx其中：x为向量，如]x,,x,x[xn21命令利用函数fminsearch求无约束多元函数最小值函数fminsearch格式x=fminsearch(fun,x0)%x0为初始点，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。x=fminsearch(fun,x0,options)%options查optimset[x,fval]=fminsearch(…)%最优点的函数值[x,fval,exitflag]=fminsearch(…)%exitflag与单变量情形一致[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(…)%output与单变量情形一致注意：fminsearch采用了Nelder-Mead型简单搜寻法。例5-4求222132131xxx10xx4x2y的最小值点解：X=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2',[0,0])结果为X=1.00160.8335或在MATLAB编辑器中建立函数文件functionf=myfun(x)f=2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2;保存为myfun.m，在命令窗口键入X=fminsearch('myfun',[0,0])或X=fminsearch(@myfun,[0,0])结果为：X=1.00160.8335命令利用函数fminunc求多变量无约束函数最小值函数fminunc格式x=fminunc(fun,x0)%返回给定初始点x0的最小函数值点x=fminunc(fun,x0,options)%options为指定优化参数[x,fval]=fminunc(…)%fval最优点x处的函数值[x,fval,exitflag]=fminunc(…)%exitflag为终止迭代的条件，与上同。[x,fval,exitflag,output]=fminunc(…)%output为输出优化信息[x,fval,exitflag,output,grad]=fminunc(…)%grad为函数在解x处的梯度值[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(…)%目标函数在解x处的海赛（Hessian）值注意：当函数的阶数大于2时，使用fminunc比fminsearch更有效，但当所选函数高度不连续时，使用fminsearch效果较好。例5-5求222121xxx2x3)x(f的最小值。fun='3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2';x0=[11];[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0)结果为：x=1.0e-008*-0.75910.2665fval=1.3953e-016exitflag=1output=iterations:3funcCount:16stepsize:1.2353firstorderopt:1.6772e-007algorithm:'medium-scale:Quasi-Newtonlinesearch'grad=1.0e-006*-0.16770.0114hessian=6.00002.00002.00002.0000或用下面方法：fun=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2')fun=Inlinefunction:fun(x)=3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2x0=[11]；x=fminunc(fun,x0)x=1.0e-008*-0.75910.26655.2.3有约束的多元函数最小值非线性有约束的多元函数的标准形式为：)x(fminxsub.to0)x(C0)x(CeqbxAbeqxAequbxlb其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq为矩阵，C(x)、Ceq(x)是返回向量的函数，f(x)为目标函数，f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数。在MATLAB5.x中，它的求解由函数constr实现。函数fmincon格式x=fmincon(fun,x0,A,b)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)[x,fval]=fmincon(…)[x,fval,exitflag]=fmincon(…)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(…)[x,fval,exitflag,output,lambda]=fmincon(…)[x,fval,exitflag,output,lambda,grad]=fmincon(…)[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(…)参数说明：fun为目标函数，它可用前面的方法定义；x0为初始值；A、b满足线性不等式约束bxA，若没有不等式约束，则取A=[]，b=[]；Aeq、beq满足等式约束beqxAeq，若没有，则取Aeq=[]，beq=[]；lb、ub满足ubxlb，若没有界，可设lb=[]，ub=[]；nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束0)x(C和等式约束0)x(Ceq分别在x处的估计C和Ceq，通过指定函数柄来使用，如：x=fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)，先建立非线性约束函数，并保存为mycon.m：function[C,Ceq]=mycon(x)C=…%计算x处的非线性不等约束0)x(C的函数值。Ceq=…%计算x处的非线性等式约束0)x(Ceq的函数值。lambda是Lagrange乘子，