第5章习题解答1

1习题1试利用托勒密定理证明以下问题：1.sincoscossin)sin(.证明：如图，BD是直径，记CBDABD,，根据托勒密定理有ABCDBCADBDAC，由正弦定理可得,cos,sincos,sin),sin(BDABBDCDBDBCBDADBDAC所以sincoscossin)sin(。2.正三角形的外接圆上一点到三角形三顶点的连线段中，长者等于其余两者之和。证明：由托勒密定理知AB•PC+AC•PB＝PA•BC因为AB＝AC＝BC，所以PA＝PB+PC，即正三角形的外接圆上一点到三角形三顶点的连线段中，长者等于其余两者之和。3.设P是AB=AC的等腰ABC的外接圆的BC弧上的一点，则BCABPCPBPA。证明：由托勒密定理知AB•PC+AC•PB＝PA•BC因为AB＝AC，所以BCABPCPBPA。4.设P是正方形ABCD的外接圆的AB弧上的一点，则21PBPAPDPCPCPDPDPBPCPA;。证明：如图，连AC，BD，由托勒密定理可得（2分）PA•CD+PC•AD＝PD•AC，PB•AD+PD•BC＝PC•BD，因为AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD，故两式相除，得PCPDPDPBPCPA。又由托勒密定理可得AC•PB+BC•PA＝PC•ABBD•PA+AD•PB＝PD•AB（4分）因为AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD＝AB2，所以将以上二式相加，得PDPCPBPA))(21(（2分）ABCPABDCPODBAC2所以21PBPAPDPC。（2分）5.设P是正六边形ABCDEF的外接圆的AB弧上的一点，则PD+PE=PA+PB+PC+PF。证明：易知ΔACE，ΔACE都是正三角形，那么应用第2题的结论可得PE＝PA+PC，PD＝PB+PF两式相加即得PD+PE=PA+PB+PC+PF。6.设P是正五边形ABCDE的外接圆的弧AB上的一点，则PC+PE=PA+PB+PD。证明：分别对圆内接四边形APBE、APBC和APBD应用托勒密定理可得PE•AB＝PA•BE+PB•AE，PC•AB＝PA•BC+PB•AC，PD•AB＝PA•BD+PB•AD，从而(PC+PE)AB=(PA+PB)BC+PA•BE+PB•AC=(PA+PB)BC+PA•BD+PB•AD=(PA+PB)BC+PD•AB所以PC+PE=PA+PB+PD。习题21.设⊙O1、⊙O2内切，切点为A，过A任作直线l，分别交⊙O1、⊙O2于另一点B、C，证明⊙O1、⊙O2在B、C处的切线平行。证明：如图，A、M分别作切线AT，MS，那么由切线的性质知∠BDA＝∠TAM＝∠SMA，所以BC//SM，即⊙O1、⊙O2在B、C处的切线平行。2.设⊙O1、⊙O2内切，切点为A，证明：A是两圆的位似中心。证明：连O1D、O2M，则O1D⊥BC、O2M⊥SM，故O1D//O2M。因为A、O1、O2共线所以21rrAMAD，故AA是两圆的位似中心。3.设⊙O1、⊙O2内切，切点为A，⊙O2内的弦BC切⊙O1于点D，证明：直线AD过弧BC的中点。证明：如第1题图，A、M分别作切线AT，MS，那么由切线的性质知∠BDA＝∠TAM＝∠SMA，所以BC//SM。所以∠CAM＝∠CBM＝∠BMS＝∠BAM，所以直线AD过弧BC的中点。4.设⊙O1、⊙O2外切，又同时与⊙O3分别内切于A、B，⊙O1、⊙O2的一条外公切线与⊙O1、⊙O2切于点C、D，证明：（1）AC、BD交于⊙O3上的一点；（2）A、B、C、D共圆；（3）AC、BD、⊙O1和⊙O2的内公切线三线共点；（4）AB、CD、O1O2三线共点。AO2O1BCMDSTABFCDEPABCDEP3（5）设⊙O1与⊙O2的切点为T，CD交⊙O3于K、L，⊙O1与⊙O2的内公切线在CD的一侧交⊙O3于M，则MF＝MG＝ME。（6）设⊙O1与⊙O2的切点为E，外位似中心为O，则OE2＝OA·OB。证明：（1）如图，记CD与⊙O3的交点为E、F，根据第3题结论知AC过弧EF的中点，BD也过弧EF的中点，所以AC、BD交于⊙O3上的一点。（10分）（2）连AB，那么由M是EF弧的中点知，∠BDF是BF弧和EN弧度数的半和，从而是BM弧的度数的半和，所以∠BDF＝∠BAM，所以A、B、C、D共圆。（3）如图，记⊙O2外的半径为r，那么MD•MB＝(MO2)2–r2=(MO2)2–O2T2，所以MT是⊙O2的切线。同理，MT也是⊙O1的切线。从而有AC、BD、⊙O1和⊙O2的内公切线三线共点。（4）考察ΔAO1和ΔBO2D，易知AO1,BO2交于O3，而M是弧EMF的中点，所以O3M⊥CD,O1C//O2D//O3M，那么根据笛沙格逆定理知AB、CD、O1O2三线共点。（5）如图，连BL，记⊙O2外的半径为r，那么MD•MB＝(MO2)2–r2=(MO2)2–O2T2，所以MT是⊙O2的切线。同理，MT也是⊙O1的切线。根据第1题结论知M是弧KL的中点，所以MK＝ML，故∠KLM＝∠LKM。由∠DLM＝∠LKM＝∠LBM，知ΔMLB∽ΔMDL，所以MLMBMDML，即ML2＝MB•MD。但MT2＝＝MB•MD，所以MK＝ML＝MT。（6）如图，设ME交CD于N，连EC、ED，易知∠CED＝＝900,由∠CEN+∠NED＝∠NED+∠DEO＝900,得ΔCEO∽ΔEDO。所以DOEOEOCO，即OE2＝OC•OD。又C、D、A、B共圆，故OC•OD＝OA•OB，所以OE2＝OA·OB。5.给定三个圆⊙A，⊙B、⊙C，证明：（1）设⊙B与⊙C的外位似中心为X，⊙A与⊙C外位似中心为Y，⊙A与⊙B外位似中心为Z，则X、Y、Z共线；（2）设⊙B与⊙C的内位似中心为D，⊙A与⊙C外位似中心为E，⊙A与⊙B外位似中心为F，则AD、BE、CF共点。证明：O3O1O2KLAMTBDCO3O1O2ABDCEFMOO3AO1O2OEDMBCLKN4习题31．在已知三直线上各取两点，若能使每两对点共圆，则三直线共点或此六点共圆。证明：若此六点不共圆，则三直线即为此三圆确定的三条根轴，从而它们共点或平行。故结论成立。2．一个固定圆与一个共轴圆系中每一圆的根轴共点。证明：对共轴圆系中的任意二圆，与固定圆一起，共三圆，由第1题的结论知，三圆确定的三条根轴共点。由此即得固定圆与一个共轴圆系中每一圆的根轴共点。3．若一个四边形有等角共轭点，则这对点在四边上的射影共圆。证明：如图，设P、Q是一对等角共轭点，那么∠A1BP=∠B2BQ,∠A2BQ=∠B1BP,所以BA2＝BB1，BA1＝BB2，即BA2•BA1＝BB1•BB2，所以A1,A2,B1,B2四点共圆。同理，B1,B2,C1,C2四点共圆；C1,C2,D1,D2四点共圆；D1,D2,A1,A2四点共圆。易知A1A2、B1B2、C1C2、D1D2的中垂线共点于PQ的中点O。从而由O点到A1、A2、B1、B2、D1、D2的距离相等，所以A1、A2、B1、B2、D1、D2共圆，即四边形的等角共轭点对在四边上的射影共圆。4．若一个圆的内接四边形的对角线互相垂直，则对角线的交点在四边上的射影及各边中点，共八点在一个圆上。证明：过P作PA1⊥AB于A1,过O作OB2⊥BC于B2,连OB，那么∠A1PB=∠BAP=∠BDC=∠B2OB,所以∠ABP=∠OBC。同理，∠BCP=∠DCO，∠CDO=∠ADP，∠BAP=∠DAO，即O与P是四边形ABCD的一对等角共轭点。利用第3题的结论知O、P在四边上的射影共八点，它们是共圆的。但圆心O在各边上的射影正好是各边的中点，所以对角线的交点在四边上的射影及各边中点，共八点在一个圆上。5.在凸五边形ABCDE中，AB＝BC，∠BCD＝∠EAB＝900,P为形内一点，使得AP⊥BE，CP⊥BD。证明：BP⊥DE。证明一：过B作BQ⊥DE于Q，那么BR2–RE2+EQ2–QD2+DS2–SB2＝AB2–AE2+BE2–BD2+CD2–CB2＝2AB2–2BC2＝0所以AR、BQ、CS共点，故BP⊥DE。证明二：因为AP⊥BE，CP⊥BD，故PE2–PB2＝AE2–AB2＝BE2–2AB2,PD2–PB2＝CD2–BC2＝BD2–2BC2,两式相减，得PE2–PD2＝BE2–BD2,所以BP⊥DE。QBDPACOC1C2B1B2A1A2D1D2OBDPACC1C2B1B2A1A2D1D2BCADEPRSQ5证明三：设AP交⊙ABE于A′，CP交⊙BCD于C′，那么AR＝A′R，CS＝C′S。故PA•PA′＝AR2–PR2＝AB2–BR2–(BP2–BR2)=AB2–BP2PC•PC′＝CS2–PS2＝BC2–BS2–(BP2–BS2)=BC2–BP2所以PA•PA′＝PC•PC′，即P是关于二圆的一个等幂点，所以BP垂直于二圆的连心线。但二圆的圆心分别为BE、BD的中点，故连心线平行于DE，于是BP⊥DE。6.在∠AOB内部一点C，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，再过D作DN⊥OB于点N，过点E作EM⊥OA于点M。证明：OC⊥MN。证明：设ME与DN交于R，连CR、OR，由DN⊥OB，EM⊥OA，可知O、N、R、M共圆，圆心为OR的中点P。又∠MEO=∠NDO，故N、E、D、M共圆，圆心为CR的中点Q。二圆的根轴为MN，所以PQ⊥MN。而PQ//OC，所以OC⊥MN。7.设锐角ΔABC的外心为O，ΔBOC的外心为T，点M为边BC的中点，在边AB、AC上分别取点D、E，使得∠ADM＝∠AEM＝∠BAC。证明：AT⊥DE。证明：如图，设DM、EM的延长线分别交AC、AB于P、Q，则ΔADP和ΔAEQ都是等腰三角形。设K、L分别为AD、AE的中点，那么QL⊥AE，PK⊥AD。设KP与LQ交于R，则A、K、R、L共圆，圆心为AR的中点S。又K、L、P、Q共圆，且圆心为PQ的中点N。而KL是两圆的根轴，故SN⊥KL。另一方面，∠MTC=∠BOC＝2∠BAC＝∠MPC，所以T、M、C、P共圆。故∠TPC=∠TMC＝900。于是TP⊥AC。所以TP//QR。同理，TQ//RP。所以RQTP是平行四边形，故RT与PQ互相平分。从而SN//AT。但KL//DE，所以AT⊥DE。习题41．正交的二圆中，在交点处一个圆的切线必过另一圆的圆心。证明：根据定理“两圆正交的充分必要条件是两圆半径的平方和等于两连心线段的平方”知AC⊥CB，即正交的二圆中，在交点处一个圆的切线必过另一圆的圆心。2．以圆外一点为圆心可作一个圆与已知圆正交。证明：如上图，过B作⊙A的切线，切点为C，以B为心，BC为半径作圆，易知⊙B与⊙A正交。3．过已知圆上两点可作一圆与已知圆正交。证明：如图，C、D是⊙A上的二点，过C、D作⊙A的切线交于B，以B为心，BC为半径作圆，易知⊙B与⊙A正交。4．与两个已知圆都正交的圆，其圆心的轨迹是这两圆的根轴在圆外的部分。证明：因为正交圆的交点处的切线经过另一圆的圆心，故与两个圆都正交的圆的圆心到两圆的切线长相等，即与两都正交的圆的圆心是到两圆的幂相等的点，所以在两圆的根轴上。由所作的是切线，故要求圆心在两圆的外部，即与两个已知圆都正交的圆，其圆心的轨迹是这两圆的根轴在圆外的部分。CBAODEMNRQPACBACBDOAMCBEDTQPNRLKS65．三个圆有且仅有一个公共的正交圆，其圆心是三个已知圆的根心，只要这个点在三个圆外。证明：设⊙O与⊙O1、⊙O2、⊙O3都正交，由第四题的结论可知，O在⊙O1、⊙O2的根轴上，也在⊙O1、⊙O3的根轴上，所以O就是⊙O1、⊙O2、⊙O3的根心，但要求三圆的根心在三圆的外部。6．与两定圆正交的圆构成一个共轴圆系。证明：如图，设⊙O1(r1)、⊙O2(r2)是两个定圆，此二圆的根轴与连心线的交点为A，那么与二圆正交的任意⊙O(R)的圆心在二圆的根轴上。设⊙O交⊙O1于D，交连心线于B，则AB2=R2–OA2=O1