高斯求积型公式及其程序开发

2011年1月19日摘要在实际中，求非代数函数的积分往往要求精度很高，因为高斯型求积公式据有最高代数精度且高斯型求积公式是收敛和稳定的，同时它可以使更多的函数准确成立，所以研究高斯型求积公式及其程序开发是很必要的.目的是总结分析高斯型求积公式，在掌握其基本思想的基础上，深入学习几种常见的高斯型求积公式.本文共包含两章，第一章主要介绍高斯型求积公式的概述，包括理论知识以及分类性质，还有算法分析及流程图.第二章主要介绍几种常用的高斯型求积公式，内容包括其定义及余项，还有部分C程序和流程图以及应用举例等.关键词高斯型求积公式;正交多项式;流程图;C程序目录引言...................................................................1第一章高斯型求积公式..................................................2§1.1高斯型求积公式的概述......................................2§1.1.1高斯型求积公式的定义及理论.........................2§1.1.2高斯型求积公式的分类及性质.........................3§1.2高斯型求积公式的方法及其流程图............................4§1.2.1高斯型求积公式的方法...............................4§1.2.2高斯型求积公式的方法流程图.........................5第二章常用的高斯型求积公式............................................5§2.1高斯-勒让德求积公式.......................................5§2.1.1高斯-勒让德求积公式的概述..........................6§2.1.2高斯-勒让德求积公式的算法及引例....................7§2.1.3C程序：用递归法求5阶勒让德值.....................9§2.2高斯-切比雪夫求积公式....................................10§2.2.1高斯-切比雪夫求积公式的概述.......................10§2.2.2高斯-切比雪夫求积公式应用举例及算法流程图........11§2.3高斯-埃尔米特求积公式....................................11§2.3.1高斯-埃尔米特求积公式的概述.......................12§2.3.2高斯-埃尔米特求积公式应用举例.....................13参考文献..............................................................15附录A.................................................................16附录B.................................................................181引言介绍高斯型求积公式，重点理解三种常用的高斯型求积公式即Gauss-Legendre求积公式,Gauss-Chebyshev求积公式,Gauss-Hermite求积公式.同时，对部分高斯型求积公式进行程序设计及流程图设计.我们知道，插值型求积公式分为等距节点下的Newton-Ctoes求积公式和非等距节点下的Gauss求积公式两种,且对于1n个节点时，其代数精度至少为n次.在Newton-Ctoes求积公式中，节点是等距的，从而限制了求积公式的代数精度，下面讨论的高斯型求积公式将取消这个限制条件，使代数精度达到最高，1n个节点的高斯型求积公式的代数精度为21n次，并且总是稳定和收敛的.高斯型求积公式的系数kA恒为正，故高斯型求积公式是稳定的；且对（有限闭区间上的）连续函数，高斯求积的数值随节点数目的增加而收敛到准确积公值.高斯型求积公式有很多优点，但对一般的权函数)(x，高斯节点不容易求.高斯型求积系数多为无理数，因此不如牛顿柯特斯求积公式的等距节点和柯特斯系数.当函数)(xf赋值计算量大或者求非代数函数的积分时，高斯型求积公式常被优先选取.另外，高斯型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前面的计算的函数值不能被后面利用.计算过程比较麻烦，但精度高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法所不能比的.2第一章高斯型求积公式§1.1高斯型求积公式的概述我们知道，1n个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度，那么，最高的代数精度能达到多少呢？为此，我们得到高斯型求积公式.§1.1.1高斯型求积公式的定义及理论定义1.1放弃等距节点下的限制，在区间,ab上，适当选择1n个节点0,1,kxkn使插值求积公式的稳定性好，总是收敛且代数精度高达21n，这中高精度的求积公式，称高斯型求积公式.高斯公式的的求积节点kx称为高斯点.公式表示为0nbkkakfxdxAfx（1-1）其中bkkaAlxdx.高斯求积应用的定理：定理1.1插值型求积公式（1-1）的节点01...naxxxb是高斯点的充分必要条件是这些节点为零点的多项式101...nnxxxxxxx与任何次数不超过n次的多项式px带权x正交，即10bnapxxxdx.定理1.2高斯型求积公式（1-1）的求积系数kA0,1,...,kn全是正的，且2bkkaAlxxdx.定理1.3对于高斯型求积公式（1-1），若22,nfCab，其余项为212121!nbnafxRfxdxn.定理1.41n个求积节点的插值型求积公式的代数精度m满足21nmn3定理1.5求积公式0bkkakfxxdxAfx中，0,1,2,ixin是高斯点的充分必要条件是：在区间,ab上，0njjxxx是关于权函数x的1n次正交多项式.§1.1.2高斯型求积公式的分类及性质高斯型求积公式分为带权和不带权两种：带权积分公式：0bkkakfxxdxAfx不带权积分公式：0bkkakfxdxAfx.即带权积分是不带权积分的推广，不带权积分是带全积分的特例.通过定理7.9可知，正交多项式随权函数不同而异，所以有各种各样的高斯型求积公式.例如：当1,1ab，且取权函数211xx，则所建立的带权的高斯型求积公式121011nkkkfxdxAfxx当,ab，且取权函数xxe，则所建立的带权的高斯型求积公式0nxiiiefxAfx.高斯型求积公式（节点个数为1n）的特点是：1具有最高代数精度21mn.2高斯点kx正好为1n次正交多项式的零点.43高斯系数2bbkkkaaAlxdxlxdx0.4具有稳定性和收敛性.5余项为212121!nbnafxRfxdxn.6非等距节点下的插值型求积公式，即也为机械求积公式.7主要缺点是节点无规律，且当积分精度不满足要求而需增加节点时，所用数据都要重新计算.§1.2高斯型求积公式的方法及流程图§1.2.1高斯型求积公式的方法高斯型求积公式代数精度比牛顿柯特斯代数精度高，当8n时牛顿-柯特斯求积公式出现不稳定现象而高斯型求积公式总是稳定的.要求解高斯型求积公式的关键就是高斯点的构造，高斯点构造的方法有：1用待定系数法构造高斯求积公式.2利用正交多项式构造高斯求积公式.利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：Step1以1n次正交多项式的零点01,,nxxx作为高斯点.Step2用高斯点01,,nxxx对fx作Lagrange插值多项式0niiifxlxfx积分公式00nbbiiaainbiiaixfxdxxlxfxdxxlxfx求积系数50,1bilaAxlxdxinStep3整理求解.注找区间,ab上的1n次多项式的1n个零点，由于正交多项式具有性质：在,ab上的1n次正交多项式一定有1n个不同的零点，且全部位于,ab内，所以只要将此1n个零点作为1n次插值多项式的节点，构造出的插值求积公式即为高斯求积公式.但因为求一般,ab区间上的1n次正交多项式比较困难，故求解过程中一般转化为1,1区间.具体构造：常用Gauss-Legendre求积公式，第一类Gauss-Chebyshev求积公式，Gauss-Hermite求积公式.例用二点、三点Gauss型求积公式计算dxxxIsin10令dtttItx2121)221sin(21,212111用二节点、三节点计算结果列在表1-1中.表1-1积分近似值946083133.03946041136.02积分近似值节点数与Newton-Cotes公式相比较，近似值要精确得多.§1.2.2高斯型求积公式方法流程图下一章将介绍权函数等于1的高斯-勒让德求积公式，权函数不等于1的高斯-切比雪夫求积公式和高斯-埃尔米特求积公式.（详见附录A）6第二章常用的高斯型求积公式§2.1高斯-勒让德求积公式通过第一章我们知道，高斯型求积公式的求解主要是高斯点的构造，由于勒让徳多项式的特点是在区间1,1内有n个不同的实零点，从而可以通过计算多项式的零点确定高斯点.§2.1.1高斯-勒让德求积公式的概述定义2.1在高斯求积公式（1-1）中，若取权函数1x，积分区间1,1得110nkkkfxdxAfx（2-1）称之为高斯-勒让德求积公式.对任意求积区间,ab，通过变换22abbaxt可化为区间1,1，这时11222babaabbafxdxftdt取1a，1b，则得公式110nkkkfxdxAfx.公式(2-1)中求积系数'121knknkAnxx求积公式的高斯点就是勒让德多项式的零点.定理设2,nfCab，求积公式（2-1）的误差为2142312!,1,1212!nnnRfnfnn(2-2)高斯-勒让德求积公式的误差由定理给出，但是在很多应用中，用被积函数求导的方法来估计误差是不方便的.此外有的被积函数没有高阶导数或不可导，因而不能7采用这样的方法来估计误差.下面两种方法在估计求积公式的误差是经常采用的.（1）用更高阶的高斯-勒让德求积公式来检验其结果.（2）把积分区间分成几个子区间，在这些子区间上采用同样的高斯-勒让德求积公式.§2.1.2高斯-勒让德求积公式的算法及引例利用勒让德多项式的一个性质2'1111nnnxLxnLxxLx可得高斯-勒让德求积系数iA为22211iinixAnLx，0,1,2in（2-3）按（2-2）式，可推得余项为423223212322!nnnRffnn若取1Lxx的零点00x为节点，则02021020AL从而一点高斯-勒让德求积公式（中矩形求积公式）为1120fxdxf其余项为