简单多面体教案

第1页共18页第九章直线、平面、简单几何体（四）简单多面体与球教学知识点1．棱柱的概念及性质；2．棱锥的概念及正棱锥的性质．3．平行六面体，长方体的概念及性质．4．直棱柱、正棱锥直观图的画法．5．多面体、凸多面体、正多面体的概念及多面体的欧拉公式6．球的概念、球的性质、球的表面积和体积§9.9棱柱与棱锥（1）——多面体、棱柱与性质[课题]多面体、棱柱与性质[课型]新授课[目的要求]1、了解多面体和凸多面体的概念；2、了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质.[⒈（识记）棱柱的有关概念及棱柱各部分的名称及其表示法⒉（理解）棱柱的概念的两重含义和它的两种分类⒊（掌握）棱柱的性质：底面、侧面、侧棱、高、平行于底面的截面等⒋（运用）运用棱柱的概念和性质解决一些简单的棱柱问题⒌（综合）综合运用棱柱的有关知识解决棱柱中的点、线、面的位置关系和量的问题。]3、在学习棱柱概念和性质的过程中，努力提高学生的观察、抽象和概括能力．[重点与难点]棱柱的概念和性质的应用[教学方法][教学过程]一、复习引入1、什么是长方体、正方体？它们有什么特性（从长方体、正方体的棱和面两方面说明）？2、什么是平行六面体？平行六面体有什么特性（从平行六面体的棱和面两方面说明）？3、比较：长方体与平行六面体4、（投影展示，让学生观察特点，思考共同点、不同点）第2页共18页二、新课（一）多面体(提出问题学生看书后总结)问题：1、什么叫多面体？什么叫多面体的面、棱、顶点和多面体的对角线？2、什么叫凸多面体？3、什么叫四面体、五面体、六面体……？(结合下图回答上述问题).练习：P541、2（二）棱柱(Ⅰ)棱柱的概念以上三个图形所表示的模型均为棱柱，下面我们一起来研究它们的共同特点．通过观察，让学生们总结出它们的共同特征:①有两个面互相平行；②其余各面的交线也互相平行，因此各面为平行四边形.第3页共18页1、定义：如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.2、各部分名称：底面、侧面、侧棱、棱、顶点、对角线、高（①.两个平行的面叫做棱柱的底面②..其余各面叫做棱柱的侧面.③.侧面的交线叫做棱柱的侧棱.④.侧面与底面的公共点叫做棱柱的顶点.⑤.侧棱与底面的边叫做棱柱的棱.⑥.不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线.⑦.两底面间的距离叫做棱柱的高.）请同学们看右图说出部分点、线、面的名称(或说出名称请学生找点、线、面)．3、表示法：如图，棱柱ABCDE－A‘B‘C‘D‘E‘或棱柱AC‘（强调一定要冠以“棱柱”两字）（Ⅱ）棱柱的分类：（1）按侧棱与底面关系分为斜棱柱（侧棱与底面关系）直棱柱→正棱柱（底面形状）；{正棱柱}{直棱柱}（2）按底面的边数分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱、…等（Ⅲ）棱柱的性质（引导学生进行探讨得出此结论）（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.（2）两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形；（平行截面）（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。（对角面）练习：填写下表；底面形状侧面形状侧棱与底关系对角面形状平行截面与底面关系斜三棱柱直四棱柱正五棱柱（三）例题与练习BCE`A`B`C`D`ADE第4页共18页例题1、已知正三棱柱ABC—A`B`C`的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC`上的点，且CN=41CC`，求证AB`⊥MN例题2、已知斜三棱柱ABC—A`B`C`的底面是边长为a的正三角形，侧棱AA`长为b,且侧棱AA`与底面边AB、AC所夹角为45°.求其各侧面面积的和S.例题3、在三棱柱ABC—A`B`C`中，四边形A`ABB`是菱形，四边形BCC`B`是矩形，C`B`⊥AB.（1）求证：平面CA`B⊥平面A`AB；（2）若C`B`=3，AB=4，∠ABB`=60°，求AC`与平面BCC`所成角的大小（用反三角函数表示）.练习：P．561——4B'A'C'BACMNABA`B`HCC`第5页共18页5、四棱柱的底面是边长为a的正方形，侧棱长为b（a2b），上底的一个顶点A`与下底的各个顶点等距离。（1）求证：A`在下底面的射影是下底面的中心；（2）求两个对角面的面积。（2ab）三、小结⒈棱柱的概念（两平行）⒉分类（两种）⒊性质（两截面）⒋应用.四、作业：课本P．63中习题9.91、2、3．（注：例题和习题请您适当筛选）C`D`ABCDA`B`第6页共18页§9.9棱柱与棱锥（2）——平行六面体与长方体[课题]平行六面体与长方体[课型]新授课[目的要求]1.使学生掌握四棱柱、平行六面体，长方体的概念及类属关系；2.使学生掌握平行六面体，长方体的性质3.通过对平行六面体、长方体性质的研究，培养学生的空间想象能力；通过由长方形性质推导长方体性质的类比方法对学生进行辩证唯物主义的思想教育.[重点与难点]平行六面体、长方体性质[教学方法][教学过程]一、复习提问1．棱柱的定义中，强调了棱柱的二个特点，它们分别指什么？2．棱柱分为斜棱柱、直棱柱的依据是什么？3．棱柱有三条性质，它们所涉及的对象各是什么？（有二个面互相平行，其余各面均为四边形；侧棱互相平行．侧棱与底面是否垂直．第一条性质是侧棱、侧面；第二条是上下底面与平行于底面的截面；第三条是过不相邻的棱的截面）二、进行新课(一)概念观察以下几何体的变化，通过比较，说出他们的特征.(底面是平行四边形)（底面是矩形）第7页共18页(板书上面图表，从两个不同的角度带领学生分析各面的形状对四棱柱分类)联系1(通过这组练习，使学生搞清不同的四棱柱间的区间与联系):1.平行六面体的各个面是什么样的四边形?直平行六面体、长方体、正方体呢?2.长方体是直四棱柱，直四棱柱是长方体吗?3.正方体是正四棱柱，正四棱柱是正方体吗?（引导学生回答：1、平行六面体的六个面都是平行四边形.直平行六面体的一组相对的面是平行四边形，其余四个面是矩形.长方体的六个面都是矩形；正方体的六个面都是正方形.2、不一定.因为直四棱柱的底不一定是矩形.3、不一定.因为正四棱柱的底是正方形，而侧面不一定是正方形.）总结：特殊四棱柱及它们之间的关系，用集合表示为:｛四棱柱｝｛平行六面体｝｛直平行六面体｝｛长方体｝｛正四棱柱｝｛正方体｝.特别是长方体、正四棱柱、正方体，它们较接近，要注意它们之间的区别.练习2：P.581——3（二）性质问题1：在平面几何中平行四边形、长方形各有什么性质?（筛选答案：平行四边形对角线互相平分长方形的长为a，宽为b，则对角线长为l2=a2+b2.）问题2：在立体几何中平行六面体、长方体是否也有类似的性质呢?(给学生时间思考，讨论，请学生回答)(板书：平行六面体、长方体的性质定理)定理：平行六面体的对角线相交于一点，并且在交点处互相平分.定理：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱的长的平方和.（画图、分析、学生板演证明）.第8页共18页（三）应用例:有一矩形纸片ABCD，AB=5,BC=2,E,F分别是AB，CD上的点，且BE=CF=1，把纸片沿EF折成直二面角.(1)求B、D两点的距离；(2)求证AC，BD交于一点且被这点平分.分析:将平面BF折起后所补形成长方体AEFD-A1BCD1，则BD、AC恰好是长方体的对角线.(1)解:因为AE，EF，EB两两垂直，所以BD恰好是以AE，EF，EB为长、宽、高的长方体的对角线，所以.(2)证明:因为AD∥=EF，EF∥=BC，所以AD∥=BC.所以ABCD在同一平面内，且四边形ABCD为平行四边形.所以AC、BD交于一点且被这点平分.（或用平行六面体的性质定理证明）（注：通过此例可把求空间两点间距离问题转化为求长方体的对角线长的问题.）练习3：1、长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为α、β、γ，求证:cosα+cosβ+cosγ=1.2、长方体的一条对角线与各个面所成的角分别为α，β，γ，求证:cosα+cosβ+cosγ=2.3、P.584、5三、小结:1.特殊四棱柱及它们之间的关系，用集合表示为:｛四棱柱｝｛平行六面体｝｛直平行六面体｝｛长方体｝｛正四棱柱｝｛正方体｝.特别是长方体、正四棱柱、正方体，它们较接近，要注意它们之间的区别.2.平行六面体和长方体的性质四、作业:P.63第4、5题.思考题:在例题中若沿对角线AC折起成直二面角，是否可构造一长方体，去求BD的距离?若能构造成长方体，是怎样的长方体?第9页共18页§9.9棱柱与棱锥（3）——棱锥与它的性质[课题]棱锥与它的性质[课型]新授课[目的要求]1.理解棱锥及正棱锥的概念.2.掌握正棱锥的性质,并能利用性质进行有关的计算与证明3.掌握一般棱锥的“平行与底面的截面”的性质,并会计算其截面积.[教学重点]棱锥及正棱锥的概念和性质[教学难点]一般棱锥的“平行与底面的截面”的性质[教学手段]几何模型及投影仪[教学方法][教学过程]一、新课（一）引入实例,导入新课用现实生活中的例子说明棱锥的概念:埃及金字塔、帆布帐篷、农村肥堆等都给我们以棱锥的形象.请根据你的观察和理解给棱锥下一个定义,由学生讨论,教师指导得出:棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面叫做棱锥的侧面,各侧面的公共边叫做棱锥的侧棱,各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高,如图中的棱锥,多边形ABCDE是底面,三角形SAB,SAC,等等是棱锥的侧面,SA,SB,SC,SD,SE是棱锥的侧棱,S是棱锥的顶点,SO是棱锥的高.棱锥的表示法:用底面和顶点表示;如图棱锥可以表示为棱锥S-ABCDE也可以用底面一条对角线端点的字母来表示,例如:棱锥S-AC棱锥的分类(1)按底面多边形的边数为来分:三棱锥,四棱锥;五棱锥;六棱锥,如下面的棱锥为五棱锥.（二）研究问题，发现定理1、关于截面问题：（1）在三棱锥S-ABC中,AB=10,BC=8,AC=6,过三棱锥S-ABC中高的中点作一个平面与底面平行,求所得的截面（称为中截面）面积.（2）一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的截面与底面有什么关系?问题解决：(1)由于H为SO的中点，又平面DEF//平面ABC，SDSABCEOBSACDEFOH第10页共18页所以HE//OC，故E为SC中点，同理D，F分别为SB，SA中点，所以三角形DEF相似于三角形ABC，且相似比为1：2，故面积之比为1：4，而三角形ABC为直角三角形，面积为24，因此三角形DEF的面积为6；（2）截面与底面相似，且它们的面积之比为截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。证明过程与（1）类似，两个多边形相似的的条件是对应角都相等，对应边都成比例；请学生完成；定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积之比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.2、正棱锥及其性质棱锥的分类除了按底面多边形的边数来分之外,还有一种十分特殊的棱锥定义：底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面多边形的中心的棱锥称为正棱锥.问题1：下列说法是否正确(1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥(2)底面是正多边形,各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥.(3)底面是正多边形,各侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥√(4)顶点在底面的射影为底面多边形的外心的棱锥是正棱锥.问题2：（1）各侧棱的关系如何？,各侧面三角形关系如何？（2）正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成什么三角形？棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影组成什么三角形？正棱锥的性质(教师指导学生完成)(1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做叫做正棱锥的斜高）.(2)（两个重要的直角三角形）正棱锥的高,斜高和斜高在底面上的射影组成直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成直角三角形.(注：两个三角形的锐角都有十分重要的含义.如图SODRt中SDO为侧面与底面所成的二面角的平面角；SOAR