第5讲指数函数对数函数

-1-第5讲指数函数、对数函数一、分数指数幂1、规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是0,,,1mnmnaaamnNn；（2）正数的负分数指数幂的意义是110,,,1mnmnmnaamnNnaa．2、分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即10,,rsrsaaaarsQ20,,srrsaaarsQ30,0,rrrabababrQ说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数xya（0a且1a）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R．2．指数函数xya在底数1a及01a这两种情况下的图象和性质：1a01a图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过定点（4）在R上是函数（4）在R上是函数三、对数的性质1．对数定义：一般地，如果a（10aa且）的b次幂等于N,就是Nab，那么数b叫做a为底N的对数，记作bNalog，a叫做对数的底数，N叫做真数。即baN，logaNb．aNb指数式Nab对数式bNalog说明：（1）在指数式中幂N0，∴在对数式中，真数N0．（负数与零没有对数）．（2）对任意0a且1a,都有01a∴log10a，同样：log1aa．（3）如果把baN中的b写成logaN，则有logaNaN（对数恒等式）．2、两种特殊的对数：（1）常用对数：以10作底10logN写成；（2）自然对数：以e作底为无理数，e=2.71828……，logeN写成．3、对数的运算性质：如果a0，a1，M0，N0，那么（1）log()loglogaaaMNMN；（2）loglog-logaaaMMNN；（3）loglog()naaMnMnR．-2-4、换底公式：logloglogmamNNa(a0,a1；0,1mm)．说明：两个较为常用的推论：（1）loglog1abba；（2）loglogmnaanbbm（a、0b且均不为1）．四、对数函数1、对数函数的定义：函数xyalog)10(aa且叫做对数函数。2、对数函数性质列表：图象1a01a性质（1）定义域：（2）值域：（3）过定点：（4）在（0，+∞）上是函数（4）在(0,)上是函数1、计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）0.21log35；（2）83184mn；（3）2320aaaa；（4）9lg243lg；（5）9log27；（6）345log625；（5）3451255；（8）lg1421g18lg7lg37；（9）2.1lg10lg38lg27lg；（10）211511336622263ababab；（11）4492log3log2log32．-3-2、求x的值：（1）33log4x；（2）2221log3211xxx；（3）3log35x；（4）7log28x．3、化简：（1）11555xxx；（2）)()(41412121yxyx.4、已知13xx，求下列各式的值：（1）1122xx；（2）3322xx.5、已知log4log4mn，比较m，n的大小。6、（1）已知18log9a，185b，求36log45（用a,b表示）．（2）若8log3p，3log5q，求lg5．7、设1643tzyx，求证：yxz2111．8、求下列函数的定义域、值域：（1）1218xy（2）11()2xy（3）3xy（4）1(0,1)1xxayaaa．-4-9、求下列函数的定义域：（1）2logxya；（2）)4(logxya；（3）)9(log2xya．10、求下列函数的值域：（1）2log(3)yx；（2）22log(3)yx；（3）2log(47)ayxx（0a且1a）．11、判断函数22()log(1)fxxx的奇偶性。12、求函数2132log(32)yxx的单调区间。13、若函数22log()yxaxa在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。14、当1a时，证明函数11xxaya是奇函数。15、设a是实数，2()()21xfxaxR，（1）试证明：对于任意,()afx在R为增函数；（2）试确定a的值，使()fx为奇函数。