第5讲教案

1空间的角1.空间角的计算步骤新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆一作、二证、三算.2.异面直线所成角：（1）范围：0,90；（2）计算方法:①平移法：②向量法：设,abrr分别为异面直线,ab的方向向量,则两异面直线所成的角arccosababuuruuruuruurgg；③补形法；④证明两条异面直线垂直,即所成角为90.3直线与平面所成的角：①定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，若垂直于平面，所成角是直角.②范围新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆0,90；③最小角定理：斜线和平面所成的角，是斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的角中最小的角.⑤斜线与平面所成角的计算：（1）直接法：关键是作垂线，找射影新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆可利用面面垂直的性质；（2）通过等体积法求出斜线任一点到平面的距离d，计算这点与斜足之间的线段长l，则sindl.（3）12coscoscos.（4）向量法：设l是斜线l的方向向量，n是平面的法向量，则斜线l与平面所成的角arcsinlnlnrrgrrg.4.二面角：①定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为0，当两个半平面合成一个平面时，二面角为，因此，二面角的大小范围为0,.②确定二面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线定理及其逆定理法；（3）垂面法；（4）射影面积法：cosSS射影多边形原多边形，此方法常用于无棱二面角大小的计算；无棱二面角也可以先根据线面性质恢复二面角的棱，然后再用方法（1）、（2）计算大小；（5）向量法：法一、在内al，在内bl，则二面角l的平面角arccosababururururgg；或arccosababururururgg（同等异补）法二、设1n,2n是二面角l的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧（同等异补），则二面角l的平面角1212arccosnnnnuuruuruuruurgg课前练习1.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成角的大小是（BA.45B.60C.75D.902.一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直.如果公共边AC=a，则异面直线AB与CD的距离是（CA.2aB.aC.a22D.a6303.AB⊥平面BCD，DC⊥CB，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC.求AD与平面ABC所成角的大小.（45°）例1如图所示，过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a，求:1）二面角B—PC—D2）2平面PAB和平面PCD所成二面角的大小.解（1）∵PA⊥平面ABCD，BD⊥AC，∴BD⊥PC在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B—PC—D的平面角.在Rt△PAB中，由PA=AB=a，得PB=2a.PA⊥平面ABCD，BC⊥AB∴BC⊥PBPC=aBCPB322在Rt△PBC中，BE=.3632aaaaPCBCPB同理DE=a36.在△BDEcos∠BED=DEBEBDDEBE222221322232322222aaaa.∴∠BED=120°，即二面角B—PC—D的大小为120°.（2）过P作PQ∥AB，则PQ平面PAB.AB∥CD，∴PQ∥CD，PQ平面PCD.∵PA⊥AB，∴PA⊥PQPA⊥平面ABCD，CD⊥AD.∴CD⊥PD即QP⊥PDAPD∵PA=AD=a,PA⊥ADAPD=4545°.例2（2008·重庆理，19）如图所示，在△ABC中，B=90°,AC=215,D、E两点分别在AB、AC上，使ECAEDBAD=2，DE=3.现将△ABC沿DE折成直二面角.1）异面直线AD与BC的距离；（2）二面角A—EC—B的大小。解方法一（1）在图（1）中，因ECAEDBADDE∥BC.B=90°,从而AD⊥DE.在图(2)中,因二面角A—DE—B是直二面角,AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE,从而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.DB的长,在图(1)中,由ECAEDBAD=2,得32ABADEBDE.又已知DE=3,从而BC=23DE=29.AB=222229215BCAC=6.因为31ABDB,所以DB=2.AD与BC的距离为2.(2)图(2)图（1）3在图(2)中,过D作DF⊥CE,交CE的延长线于点F,连接AF,由(1)知,AD⊥底面DBCE.由三垂线定理知AF⊥FC,AFD为二面角A—EC—B的平面角.在底面DBCF中,∠DEF=∠BCE,DB=2,EC=25215·31因此sin∠BCE=54ECDB,从而在Rt△DFE中，DE=3DF=DEsin∠DEF=DEsin∠BCE=3·51254.Rt△AFD中，AD=4，tan∠AFD=35DFAD.因此所求二面角A—EC—B的大小为arctan35.方法二（1）同方法一.（2）由（1）可知，以D点为坐标原点，DA、DE、DB的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图（3），则D（0，0，0），A（0，0，4），C0292，，，E（0，3，0CE=（-2，-23，0），AD=（0，0，-4），过D作DF⊥CE，交CE的延长线于点F，连接AF.设F（x0，y0，0），从而DF=（x0，y0，0）.EF=（x0，y0-3，0）.由DF⊥CECEDF·=0，即2x0+23y0=0.又由CE∥EF，得233200yx.联立①,②,解得x0=-2536,y0=2548,即F0,2548,2536,得4,2548,2536AF.因为2536·CEAF·（-2）+2548·23=0故AF⊥CE.又因为DF⊥CEDFA为所求的二面角A—EC—B的平面角.因为025482536，，DF所以||51225482536||22AD，DF=4tan∠AFD=.35||||DFAD因此所求二面角A—EC—B的大小为arctan35.例3（2008·海南理，18）如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.(1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.解如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.则DA=（1，0，0），CC=(0,0,1).连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,DP交B′D′于H.设DH=(m,m,1)(m＞0),由已知〈DH,DA〉=60°,由DA·DH=|DA||DH|cos〈DH,DA〉,可得2m=122m.图（3）4解得m=22,所以DH=1,22,22.(1)因为cos〈DH,CC〉=,222111022022DH,CC〉=45°,即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是DC=(0,1,0).因为cos〈DH,DC〉=212101122022,所以〈DH,DC〉=60°,DP与平面AA′D′D所成的角为30°.例4如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD.（1）求二面角B-AD-F（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值.解（1）∵AD∴AD⊥AB，AD⊥AF故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.依题意可知，四边形ABFC∴∠BAF=45°.即二面角B—AD—F的大小为45°;（2）以O为原点，CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，-32，0B（32，0，0），D（0，-32，8E（0，0，8），F（0，32，0∴BD=（-32，-32，85EF=（0，32，-8）.cos〈BD,EF〉=.10828210064180||||·EFBDEFBD设异面直线BD与EF所成角为cos=|cos〈EFBD,〉|=1082.即直线BD与EF所成的角的余弦值为1082.