第5讲若干特殊矩阵

1§1.6若干特殊矩阵一、对称矩阵与反对称矩阵定义设A是n阶方阵。若AAT，则称A是对称矩阵；若AAT，则称A是反对称矩阵。例设A是任一n阶方阵，则TAA是对称矩阵，TAA是反对称矩阵。例设A是任一方阵，则A可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。例设A与B是两个n阶对称矩阵，I是n阶单位矩阵。证明：若A与ABI均可逆，则AABI1)(也是对称矩阵。证明只需证AABIAABIT11)(])[(。111111111])[()()()(])[(])[(])[(ABAIBAIAABIAABIAABIAAABITTTTTTT2111111111111)()()]([)()()(AABIABIAABAAIBABAAABI1)(▌二、对角矩阵定义下列主对角线以外的元素全为零的n阶方阵naaa0000021称为对角矩阵。对角矩阵通常简记为naaa21或),,,(21naaadiag3当kaaan21时kIkkk，我们称之为数量矩阵。若k=1，则数量矩阵即是单位矩阵。例对角矩阵的秩等于其非零主对角元的个数。例对角矩阵的和、差、积也是对角矩阵。例对角矩阵A=),,,(21naaadiag可逆的充分必要条件是naaa,,,21全不为零。当A可逆是，),,,(112111naaadiagA。定义设A是分块矩阵A=lAAA00000021,4若子块lAAA,,,21全是方阵，则称A是准对角矩阵，简记为tAAAA21。例设A是准对角矩阵tAAAA21则A可逆的充分必要条件是子块tAAA,,,21均可逆。当A可逆时，112111tAAAA5三、三角矩阵定义设A与B是两个n阶方阵nnnnnnnnnbbbbbbbbbbBaaaaaaaaaaA3213332312221113332232214131211000000,000000则称A是上三角矩阵，B是下三角矩阵。例三角矩阵可逆的充分必要条件是其主对角元全不为零。小结：1.熟练掌握矩阵的基本运算与性质加法、数乘、乘法、幂、转置2.熟练掌握初等行变换化阶梯形3.熟练掌握方阵可逆的有关结论可逆性的判别、逆矩阵的计算、解矩阵方程4.熟练掌握Gauss消元法解的判别、求解6例解矩阵方程的初等变换法：（1）已知已知矩阵方程AX=B，其中A可逆。（A，B）行变换初等（I，A1B）=（I，X）（2）已知已知矩阵方程XA=B，其中A可逆。XIBAIBA1等列变换初例已知矩阵A与矩阵B113003,1087654321BA。满足AX=B，求X。解（法一）由前例已得121231132134321A，7故BAX112123113213432113003549431。（法二）（A，B）=113003108765432154100271203015902154100312630033211201160312630033213132231312)3(6)2()7()4(RRRRRRRRRR8541002712030310012132RR5410094010310012)31(R，由此得X549431。▌例已知结论“若方阵A满足AA2且IA，则A不可逆”的下述两种证明，请指出哪个方法正确。对不正确的方法，请举例说明其问题所在：（法一）因为AA2，故OIAA)(……………….①因为IA，故OIA。于是由①得，A=O。因此A不可逆。（法二）反证：若A可逆，则由AA2得IAAAA121，9即IA。与已知条件矛盾。因此A不可逆。例可逆的上（下）三角矩阵的逆矩阵也是上（下）三角矩阵。证明对上三角矩阵的阶数作归纳法2n：设221211aaaA可逆，则容易得到1112222211101aaaaaA，故结论对2阶上三角矩阵成立。1n：设结论对1n阶上三角矩阵成立。n：证明结论对n阶上三角矩阵成立。设nnnnnnnnnnnnaAaaaaaaaaaaA00000001,11,121,22211,1121110若A可逆，则nnaaa,,,2211均不为零，而1A也是上三角阵，故1A可逆。设B是A的逆矩阵，根据A，对B的分块nnbBB'1，其中1B是1n阶方阵。因nnnnnnnnnnbaAaBABaAbBBA'1'1111'101001nII由此得1,0,0,'11111nnnnnnnbaAaBIAB因1A是1n阶可逆上三角矩阵，故由归纳法假设可得：1A的逆矩阵1B也是上三角矩阵。又1A可逆，11故0'，又可得1nnnnba。于是110nnaBB也是上三角矩阵。▌例设A=nnija][是n阶方阵。若下列方阵kkijkaA][，nk,,2,1（称为A的顺序主子阵）均满秩，则A可表示成A=LU其中L是主对角元全为1的n阶下三角矩阵，U是n阶可逆上三角矩阵。上式称为A的三角分解。对线性方程组bAX若系数矩阵A存在三角分解A=LU，则上述方程组的求解可转化为解下述两个阶梯形方程组YUXbLY,对bLY只需前代、对YUX只需回代即可分别求解。12例某林场计划种植供圣诞节用的小松树。这些松树按照高度在市场上以不同的价格出售。为此，可把它们根据不同的高度段分成若干类，如下表：林场管理者需面对两个问题：(1)经营活动（企业生产）的可持续性；(2)在可持续性的前提下，每年获得最大收益。讨论：(1)为满足此条件，要求：①每次只能采伐部分树木；②每次采伐后，应及时补种数目相同的树苗；③补种后，树林的结构与生长期之前相同类售价高度段1（树苗）无),0[1h22p),[21hh33p),[32hh1n1np),[12nnhhnnp),[1nh13令),,2,1(nixi表示生长期开始时，第i类中树的棵数，称Tnxxxx21为非采伐向量。显然，sxxxn21是树林中树木的总量，它由树木的品种及林场面积所确定。而x即为保持可持续生产所应维持不变的树林结构。令)1,,2,1(nigi表示第i类树中在一个生长期内上升到第1i类中的比值，称10000100000100001000011132211nngggggggG为生长矩阵。这里121,,,nggg由树木的品种、当地气候与土壤条件、以及林木维护等因素所确定。14因nnnnnnnxxgxgxgxgxgxgxgxgGx1111223322221111)1()1()1()1(故Gx表示了经过一个生长期后，在采伐前树林的结构。令),,2,1(niyi表示在一次采伐中，从第i类中砍取的树木棵数，称Tnyyyy21为采伐向量。显然，nyyy21表示在一次采伐中砍取的树木总量。令nnR000000111，15则0021nyyyRy表示在一次采伐后应补种的树木的结构。于是，可持续生产的要求可表示为xRyyGx，即)4()()(xIGyRI又)5(01y故由)5(),4(得111122133223221121132)6(nnnnnnnnnxgyxgxgyxgxgyxgxgyxgyyy16又)1,,3,2(0niyi，故由)6(又可得)7(0112211nnxgxgxg。反之，若一个非负元素的列向量x满足)7(，则由)5(和)6(可确定一个非负元素的列向量y，并且x与y满足要求)4(。据此，可确定一个持续的林场经营策略。▌例某林场要种植s棵杉树。根据市场调查，这类杉树按高度分为6类，售价分别为（单位：元）250,200,150,100,5065432ppppp。已知这种杉树的生长矩阵为00.137.00000063.023.00000077.025.00000075.031.00000069.028.00000072.0G，17由此可得37.0,23.0,25.0,31.0,28.054321ggggg。试确定一种合理的种植与采伐方案，并计算每次采伐所获收益。解取0),1(/),1/(654321212211xxxxgggsgxggsx，则Txxxx),,,(621为非负列向量。易证05544332211xgxgxgxgxg，即x满足公式)7(且sxxx621。于是，x确定一个合理的种植与采伐方案，即x是非采伐向量。利用)6(),5(，由x得。0,0,0,/1,0,0654211321yyyggsgyyy18易证Tyyyy),,,(621与x满足要求)4(，即y是采伐向量。此时，一次采伐的收益为sypiii7.1462。▌(2)可以证明，上例中确定的方案一定获得最大收益。一般地，一次采伐只砍取某一类中的全部树木，则可获得最大收益。实际上，在安排种植计划时，应使在一个生长周期内，树苗至多上升到该类，然后，再把此类(最高类)中的树木全部采伐完。第二章线性方程组§2.1向量的线性相关性一向量的定义及运算定义由n个数naaa,,,21构成的n元有序数组称为n元向量，记为（naaa,,,21），其中ia称为该向量的第i个分量。19定义设α=(a1,a2,…,as)，β=(b1,b2,…,bt)。若s=t且ai=bi(i=1,2,…,s)，则称向量α与β相等，记为α=β。注：行向量：（naaa,,,21）列向量：naaa21，也可记为Tnaaa),,,(21。定义(1)设α=（a1,a2,…,an），β=（b1,b2,…,bn）是两个n元向量，则称下列向量（a1+b1,a2+b2,…,an+bn）为向量α与β的和，记为α+β；（2）设α=（a1,a2,…,an）是n元向量，k是数，称下列向量（ka1,ka2,…,kan）为数k与向量α的数量乘积，记为kα。20例设α=（a1,a2,…,an）是任一n元向量，则0α=（0,0,…,0）(-1)α=（-a1,-a2,…,-an）我们称分量全为零的向量（0,0,…,0）为零向量，记为θ；称向量（-a1,-a2,…,-an）为向量α的负向量，记为–α。例在平面π上建立直角坐标系Oxy，设a是π上任一条有向线段。把a的起点平移到原点O，则其终点坐标(a1,a2)唯一确定。这样，有向