第6章IIR数字滤波器的设计

第6章IIR数字滤波器的设计滤波器可广义的理解为一个信号选择系统，它让某些信号成分通过又阻止或衰减另一些成分。在更多的情况下，滤波器可理解为选频系统，如低通、高通、带通、带阻。滤波器可分为三种：模拟滤波器、采样滤波器和数字滤波器。模拟滤波器可以是由RLC构成的无源滤波器，也可以是加上运放的有源滤波器，是连续时间系统；采样滤波器由电阻、电容、电荷转移器件、运放等组成，属于离散时间系统，幅度连续；数字滤波器由加法器、乘法器、存储延迟单元、时钟脉冲发生器和逻辑单元等数字电路构成，精度高，稳定性好，不存在阻抗匹配问题，可以时分复用。设计滤波器，就是要确定其传递函数，传递函数H(z)已知后，则可以确定系统的频率响应为)()(|)()(wjjwezjweeHzHeHjw，其中)()(weHjw和分别是幅频特性和相位特性。对于无失真传输系统，有jwjwkeeH)(，即wwkeHjw)()(幅频特性为常数，信号通过系统后各频率分量的相对大小保持不变，没有幅度失真。相位特性为线性，使对应的时域方程的时延量为常数：)()(nkxny，即系统对各频率分量的延迟时间相同，保证了各频率分量的相对位置不变，没有相位失真。数字通信对相位的要求比模拟通信高许多，线性相位很重要。数字系统描述时延的函数有两个：群时延：dwwd/)(：反映相频曲线的线性程度相时延：ww/)(：反映各频率分量在时域的相对延时。所以无相位失真的传输条件是要具有恒群时延和恒相时延，即dwwd/)(＝ww/)(＝常数。数字滤波器的设计是确定其系统函数并实现的过程，一般要经如下步骤：1、根据任务，确定性能指标。2、用因果稳定的线性移不变离散系统函数去逼近。3、用有限精度算法实现这个系统函数。4、利用适当的软、硬件技术实现。我们在这里主要讨论数字滤波器系统函数的逼近过程，包括无限长冲激响应（IIR）数字滤波器和有限长冲激响应（FIR）数字滤波器系统函数的逼近。一、性能指标在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。一般滤波器的性能指标是以频率响应的幅度响应特性的允许误差来表征。以低通数字滤波器为例：图中给出的是要设计的数字滤波器的幅度特性要求，)0(H归一化为1，1是通带允许的误差，2是阻带允许的误差。cf为通带截止频率，stf为阻带截止频率。用最大衰减和最小衰减（dB）的形式来表示，则通带允许的最大衰减定义为：)1lg(20)(lg20)()(lg20101ccjwjwjeHeHeH阻带允许的最小衰减定义为：202lg20)(lg20)()(lg20ststjwjwjeHeHeH例如，若)(cjweH＝0.707，则1＝3dB；若)(stjweH＝0.001，2＝60dB。提问：2大一些好还是小好？（小好，即2大好）以上给出的是数字域指标，因为IIR数字滤波器是根据指标先设计出模拟滤波器，然后根据s-z的映射关系得到数字滤波器，所以应注意数字和模拟指标的转换。如果模拟频率和数字频率w的关系为wT，则在模拟滤波器中对应的数值要转换一下。例如：如图模拟数字滤波器的指标，sTs410，)(jH在频带40000上的增益最大衰减为0.086dB，在频带6000上的最小衰减为60dB。则01.0086.0)1lg(20111001.060lg20222c＝4000π，st＝6000π对应的数字指标为：1＝0.01，4.0sccTw2＝0.001，6.0sststTw二、各种数字滤波器的理想幅度频率响应数字系统的幅度频率响应具有周期性，周期为2π，各种数字滤波器的理想幅度频率响应如图6－2所示。11通带过渡带阻带2cst)(jH11．逆系统对于一个系统函数为的线性时不变系统，其对应的逆系统定义为：系统函数为的逆系统与级联后，总的系统函数为1，即若频率响应存在，则三、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器四、常用模拟低通滤波器特性设计模拟滤波器是根据一组规范来设计模拟系统函数)(sHa，使其逼近某个理想滤波器特性。例如，逼近图中所示理想的低通滤波器的幅度特性，是根据幅度平方函数来逼近的。也可根据其它指标来逼近，如：相位响应特性或群延迟响应特性。c)(jHa01理想模拟低通滤波器幅度特性由幅度平方函数)()()(*2jHjHjHaaa，当)(tha为实数时，有jsaaaaasHsHjHjHjH|)()()()()(2现在由已知的2)(jHa求)(sHa。思路：将2)(jHa中的全换为s，得到的函数中有多组零极点。选取让)(sHa因果稳定的零极点，构成)(sHa。1．巴特沃思逼近巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义为：2)(jHaNc2)(11特点：（1）1)(02jHa（2）707.0)(2cjHa，对于任何N都一样。即通带最大衰减为dB31，所有的曲线都经过该点，称为3dB不变性。（3）巴特沃思低通滤波器在通带内平滑，在阻带里有波动。下面由2)(jHaNc2)(11求)(sHa。)()()(/2sHsHjHaajsaNcjs2)(11上式中，在有限s平面只有极点而没有零点，称为“全极点型”滤波器。)()(sHsHaa的极点为：Ncjs2)(1＝0Ncjs2)(＝－1NkejsNkjcNck2,,2,1,)1()21221(2/1（例如：1,0,2,1,)1(2)12(2)12(2322/1kekeeejkjkjjj或者或）分析上式的极点特点：（1）极点分布在半径为c的圆上，共有N2个极点。（2）极点间的角度间隔为radN，但第一个极点不定是从0开始。（3）)(sHa为稳定系统，则极点不能落在虚轴上，所以上式中的极点不能落在虚轴上。（4）判断在实轴上有无极点，只需看：?)21221(为整数是否相等与mmNk也即判断NkN212是否等于m？)12(k始终为一个范围在1～（4N-1）的奇数，2N为偶数。（1）当N为奇数时，)12(kN中存在2N的整数倍，这时实轴上有极点。（2）当N为偶数时，)12(kN为奇数，这时实轴上没有极点。)()(sHsHaa的左半平面的极点即为)(sHa的极点，有N个。分别是：NkesNkjck,,2,1,)21221(又因为1|)(1)(1)(0002jsaaasHjHjH，0s时，NcNkNkksss1)(，由此，可得出)(sHa＝NkkNcss1)(。注意：在设计时，一般把式中的c选为1rad/s，称为频率归一化，归一化后的巴特沃思滤波器的极点分布、相应的系统函数、分母多项式都有现成的表格可查。例如，如果查表得到归一化系统的系统函数为)(sHan，1'crad/s，而实际系统要求的角频率为c，则所需系统的系统函数为)(sHa＝)/(cansH。例1：求三阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，c＝2rad/s。方法1：按幅度平方函数求解2)(jHa6)2(11，则)()(sHsHaa6)2(11s，所有的极点为6,,2,1,2)61221(keskjk，选出左半平面的三个极点，构成系统函数)(sHa＝8848))()((233213sssssssssc方法2：查表法查表得知三阶巴特沃思低通滤波器的)(sHan＝122123sss，用s/2代替式中的s得到)(sHa＝884823sss。例2：给定模拟滤波器指标求滤波器。（书上例6－7）例3：（书上273例1）解：（1）将指标换为所需的数字域指标因为Tw（脉冲相应不变法中的关系）得出sfffTw/22，代入已知量，得2.010101101233cw3.010101105.1233stw根据衰减的定义有：（设w=0处频率响应归一化为1）1)(lg201)()(lg202.02.00jjjeHeHeH15)(lg2015)()(lg203.03.00jjjeHeHeH上面两式为DF的性能指标。（2）把数字指标换为模拟指标。关系式为：Tw如果没有混叠，并进行过修正，则wjHTwjHeHaajw),()()(，因此有1)102(lg20)2.0(lg203jHTjHaa（1）15)103(lg20)3.0(lg203jHTjHaa（2）（3）求巴特沃思滤波器的阶数N和3dB点c。2)(jHaNc2)(11，两边取对数有])(1lg[10])(11lg[20)(lg2022/12NcNcajH（3）将（3）式分别代入（1）、（2）中可得1])102(1lg[1023Nc15])103(1lg[1023Nc计算得出31004743.7,8858.5cN，因为N为整数，取6，得3100321.7c。（注意：N比实际设计的值大些，会让通带更平，阻带衰减更快，这对用脉冲响应不变法设计时的混叠效应有利。）（4）查表。N=6，则归一化模拟低通滤波器的系统函数为)(sHan＝18637033.34641016.71416202.94641016.78637033.3123456ssssss用3100321.7s代替上式中的s，可得要求的)(sHa（6-121）。也可以先求解出所有的左半平面的极点，从而构造出)(sHa。（5）将)(sHa表达式展开为部分分式形式，利用冲击响应不变变换法修正式得出所需数字滤波器的系统函数)(zH。2112112112570.09927.016304.08558.13699.00691.111454.11428.26949.0297.114466.02871.0)(zzzzzzzzzzH当jwez时，就可得出系统频率响应)(jweH。检验指标是否符合要求。不符则重新设计。（6）数字滤波器的实现根据得出的系统函数)(zH，利用级联或并联的结构，编程或用硬件实现。例4：如果对上题用双线性不变法来设计则如何改动？（书上276例2）