当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 市场营销 > 第6章几个典型的代数系统
1第六章几个典型的代数系统本章讨论几类重要的代数结构:半群、群、环、域、格与布尔代数等.我们先讨论最简单的半群.6.1半群6.1.1半群的概念定义6.1.1设S,是代数结构,若是可结合的二元运算,即:a,b,c∈S,(ab)c=a(bc)则称S,为半群;定义6.1.2设M,是半群。若关于运算有单位元e,则称M,为含么半群,有单位元半群或独异点,记为M,,e。定义6.1.3若半群S,的运算满足交换律,则称S,是可交换半群。[例6.1.1](1)Z,+,0,I,×,1都是含么半群;I,-不是半群;(2)设A为任一集合,则(A),,,(A),,A都是可交换的含么半群;(2)设∑是个字母表,是∑上的连接运算,则空串就是∑中关于连接运算的单位元且该运算满足结合律,故∑,,是一个独异点。6.1.2子半群定义6.1.4半群的了代数叫子半群,即设S,是半群,T为S的非空子集。若T关于运算封闭,则称T,是S,的子半群。定义6.1.5设S,,e是独异点,T为S的非空子集。若T关于运算封闭,且eT,则称T,是S,的子独异点。[例6.1.2]Z,+和N,+都是R,的子半群;Z,是R,的子独异点,但N+,+不是Z,+的子独异点,因为0不在N+中。定义6.1.6设V1=S1,,V2=S2,是两个半群,V1与V2的积代数V1V2=S,其中S=S1S2,,,,,2211yxyx对于21212211,,,yyxxyxyx2也是半群,叫,V1与V2的积半群。6.1.3半群的同态定义6.1.6设S1,和S2,是半群,函数f:S1S2。若a,b∈S1,有f(ab)=f(a)h(b),则称f是S1,到S2,的半群同态。若f是双射,则称f为半群同构。[例6.1.2]000)00(,,,00abaSVRbabaS证明:是V上的自同态,但不是独异点的自同态。定义6.1.7设S1,和S2,是群,函数f:S1S2时同态映射,f(S1)={f(x)|x∈S1}叫f的同态像,Ker(f)={x|x∈S1且f(x)=e}叫同态映射f的核。像6.2群6.2.1群的定义定义6.2.1设G,是半群点。若G含有幺元且G中每一个元素都是可逆的,则称G,是群。注:G,是群:(1)满足结合律;(2)存在么元;(3)G上每个元素有逆元;定义6.2.2若群G,中的二元运算是可交换的,则称G,为可交换群或Abel群。[例6.2.1](1)Z,+,Q-{0},×,R,+是群;2N,+,Q,×,R,×不是群。3Zn,+是群。4Klein四元群G={e,a,b,c}。eabceeabcaaecbbbceaccbae3①②e是单位元;②是可交换的;③a,b,c任意两个的运算结果等于第三个.说明:(1)交换群(Abel群),有限群,无限群(2)设G,为群,a∈G,则a的整数次幂可定义如下:①a0=e;②an+1=ana,n∈N;③a-n=(a-1)n,nN+。6.2.2群的性质和元素的阶定理6.2.1设G,为群,则(1)a∈G,(a-1)-1=a;(2)a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1;(3)a,b∈G,方程ax=b,ya=b在G中都有惟一解;(4)G中消去律成立。即若ab=ac,则b=c;若ba=ca,则b=c.(5)对m,n∈N,aman=am+n,(am)n=amn。定义6.2.3设G,是群,a∈G,则使an=e成立的最小正整数n称为a的阶(周期),记为|a|,且称a的阶是有限的,否则称a的阶是无穷的。单位元是群中阶为1的惟一元素。[例6.2.2](1)在群Z,+中,任一非零整数的阶是无限的;(2)在群N6,+4中,|0|=1,|1|=|5|=6,|2|=3。定理6.2.2设G,是有限群,|G|=n,则a∈G,|a|n。6.2.3子群定义6.2.4设G,是群,H是G的非空子集。若H,也是群,则称H,是G,的子群,记作HG。若H是G的非空真子集,则称H,是G,的真子群,记作HG。[例6.2.3]Z,+Q,+R,+。定理6.2.3(子群判别法1)设H是群G,的非空子集,则HG当且仅当(1)a,b∈H,ab∈H;(2)a∈H,a-1∈H。4定理6.2.4(子群判别法2)设H是群G,的非空子集,则HG当且仅当a,b∈H,ab-1∈H。定理6.2.6(子群判别法3)设H是群G,的非空有限子集。若H关于封闭,则HG。[例6.2.4]设G,是可交换群,H={a∈G|k∈I,使ak=e},则HG。6.2.4循环群定义6.2.6设G,是群,a∈G,记(a)={ai|i∈Z}。(a)称为由a生成的子群;设G,是群。若a∈G,使得(a)=G,则称G是循环群,又并称G是由a生成的,a称为G的生成元。[例6.2.5](1)1是m阶循环群Nm,+m的生成元;(2)Z,+是无限阶循环群,其生成元只有1和-1。说明:每个循环群是可交换群。定理6.2.8设G=(a),(1)若|a|无限,则G≌I,+;(2)若|a|为n,则G≌Nn,+n。推论6.2.1设G=(a),(1)若G为无限群,则|a|无限,且G={…,a-1,a-1,e,a,a2,…};(2)若|G|=n∈N,则|a|=n,且G={e,a,a2,…,an-1}。推论6.2.2设G为n阶循环群,a∈G,则G=(a)当且仅当|a|=n。6.2.5置换群定义6.2.7有限集合S到其自身的双射称为S上的置换,|S|称为置换的阶。定义6.2.8一个有n个元素的集合上的所有置换在函数的合成运算下构成的群称为n次对称群,记为Sn。Sn的子群称为n阶置换群。注:|Sn|=n!。设S={1,2,…,n},则Sn可记为)(...)2()1(...21nn置换的轮换表示法:5[例6.2.8]令S={1,2,3},求S3。6.2.6群同态定义6.1.9设S1,和S2,是群,函数f:S1S2。若a,b∈S1,有f(ab)=f(a)f(b),则称f是S1,到S2,的群同态。若f是双射,则称f为群同构。定义6.1.7设S1,和S2,是群,函数f:S1S2时同态映射,f(S1)={f(x)|x∈S1}叫f的同态像,Ker(f)={x|x∈S1且f(x)=e}叫同态映射f的核。推论6.2.3任一个有限群都与某个置换群同构。6.3环和域这一节我们要讨论含有两个二元运算的代数结构,环和域.6.3.1环下文中符号+,·表示一般二元运算,分别称为加、乘运算(未必是数加和数乘),并对它们沿用数加、数乘的术语及运算约定,例如,a,b的积表示为ab,n个a的和a+…+a表示为na,n个a的积表示为an等.定义6.3.1称代数结构R,+,·为环(ring),如果(1)R,+是阿贝尔群(或加群).(2)R,·是半群.(5)乘运算对加运算可分配,即对任意元素a,b,cR,a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca[例6.3.1](1)Z,+,·(I为整数集,+,·为数加与数乘运算)为一环.(2)Nk,⊕,为环,因为我们已知Nk,⊕为加群,Nk,为半群,此外,a(b⊕c)=a((b+c)modk)=(a(b+c)(modk))(modk)=(a(b+c))(modk)=(ab+ac)(modk)=ab(modk)⊕ac(modk)=(ab)⊕(ac)(3)所有整数分量的nn方阵集合Mn与矩阵加运算(+)及矩阵乘运算(◦)构成一环,即,Mn,+,◦为环.(4)所有实系数多项式(以x为变元)的集合R[x]与多项式加,乘运算构成环,即6R[x],+,·为环.(5){0},+,·(其中0为加法么元、乘法零元)为一环,称为零环。(其它环至少有两个元素.)(6){0,e},+,·(其中0为加法么元、乘法零元,e为乘法么元)为一环.6.3.2环有下列基本性质.定理6.3.1设R,+,·为环,0为加法么元,那么对任意a,b,cR(1)0a=a0=0(加法么元必为乘法零元)(2)(-a)b=a(-b)=-ab(-a表示a的加法逆元,下同)(3)(-a)(-b)=ab(4)若用a–b表示a+(-b),则(a-b)c=ac–bc,c(a-b)=ca-cb定义6.3.2(1)环R,+,·中,·运算满足交换律时,称R为交换环,(2)环R,+,·中,·当·运算有么元时,称R为含么环(3)设R,+,·为环,若有非零元素a,b满足ab=0,则称a,b为R的零因子,并称R为含零因子环,否则称R为无零因子环.[例6.3.2]在环Nn,⊕,中,0是零元,[2],[3]为零因子,因为[2][3]=0.在环M2,+,◦中有零因子1111和1111因为1111◦1111=0000它是矩阵加的么元.(4)环R,+,·中,当·运算满足交换律、有单位元、无零因子,则称R为整环(5)环R,+,·中,当·运算满足交换律、有单位元、R-{0}中每元有逆元,则称R为除环6.3.2域定义6.3.4若F,+,·既是整环,又是除环,则称它为域,[例6.3.3](1)Q,+,·为域,但I,+,·不是域,因为在整数集中整数没有乘法逆元.(2)N5,+5,5为域,1和4的逆元是4和1,2和3互为逆元.(3)但N6,+6,6不是域,它甚至不是整环,同为它有零因子,例如2,3,它们没有乘法7逆元.域有以下基本性质.定理6.3.2Np,+p,p为域当且仅当p为质数.定理6.3.3有限整环都是域.6.4格与布尔代数6.4.1格的定义和性质定义6.4.1设L,≤是偏序集,若L的任两个元素组成的集合均有上确界(最小上界)和下确界(最大下界),则称L,≤为一个格(偏序格)。通常记ab=最大下界,ab=最小上界。这是集合L上的两个二元运算。[例6.4.1](1)设nI+,定义Sn={x|xI+且x|n},则Sn,|是格。(2)有的偏序集不是格。见例6.8[例6.4.2]设A是任意集合,则(A),是格。定理6.4.1设L,≤是格,a,b,cL,则(1)交换律:ab=ba,ab=ba;(2)结合律:a(bc)=(ab)c,(ab)c=a(bc);(3)幂等律:aa=a,aa=a(4)吸收律:a(ab)=a,a(ab)=a。说明:各有一条重要原理:对偶原理。6.4.2格的代数定义和子格定义6.4.2设代数系统L,,中的两个二元运算和⊕满足交换律、结合律和吸收律,则称L,,是格(代数格)。说明:幂等律可由吸收率导出aa=a(a(aa))=a定理6.4.2偏序格必是代数格,代数格必是偏序格。定义6.4.3设L,,是格,S是L的非空子集。若S关于和是封闭的,则称8S,,是L,,的子格。[例6.4.3]设A={a,b,c},求(A),的子格。6.4.3特殊格定义6.4.4设L,,是格。如果满族分配律,即a,b,cL,都有a(bc)=(ab)(ac),a(bc)=(ab)(ac)则称L,,是分配格。定义6.4.5有最大元和最小元的格称为有界格,
本文标题:第6章几个典型的代数系统
链接地址:https://www.777doc.com/doc-2197362 .html