第6章自适应过滤法

《统计预测和决策》讲稿第六章自适应过滤法第1页共6页第六章自适应过滤法教学目标：通过本章学习，使学生能掌握自适应过滤法的基本原理及其应用过程。教学内容：第一节自适应过滤法的基本原理自适应过滤法与移动平均法、指数平滑法一样，也是一种时间序列预测技术，即它是建立在时间序列的原始数据基础之上，通过对历史观察值进行某种加权平均来预测的。这种方法在原始数据的基本模式比较复杂时使用（具有长期趋势性变动或季节性变动的确定型时间序列），常常可以取得优于指数平滑法和移动平均法的预测结果。一、自适应过滤法的基本原理设txx,,1为某一时间序列，则有如下有关时间序列的一般预测模型：11211ptptttxxxx6－1式中，1tx是1t期的预测值，1itx是第1it期的观察值，i（pi,,1）是权数，p是权数的个数。第五章中所讨论的移动平均法和指数平滑法以及本章所讨论的自适应过滤法，实际上都可以用上述模式来概括，如：对于一次移动平均法：pi1（pi,,1）对于一次指数平滑法：1)1(ii不同的是，上述两种方法的权数都是固定的，而自适应过滤法中的权数i则是根据预测误差ie的大小不断调整修改而获得的最佳权数。自适应过滤法的基本原理就在于通过其反复迭代以调整加权系数的过程，“过滤”掉预测误差，选择出“最佳”加权系数用于预测。整个计算过程从选取一组初始加权系数开始，然后计算得到预测值及预测误差（预测值与实际值之差），再根据一定公式调整加权系数以减少误差，经过多次反复迭代，直至选择出“最佳”加权系数。由于整个过程与通信工程中过滤传输噪声的过程极为接近，故被称为“自适应过滤法”。运用自适应过滤法调整权数的计算公式为：112ittiixke6－2《统计预测和决策》讲稿第六章自适应过滤法第2页共6页式中i（pi,,1）是调整后的权数；i（pi,,1）是调整前的权数，k为调整系数，也称学习常数；111tttxxe是第1t期的预测误差；1itx是第1it期的观测值。（6－2）式表明，调整后的一组权数应等于旧的一组权数加上误差调整项，这个调整项包括预测误差、原观察值和学习常数三个因素。二、自适应过滤法的计算步骤下面通过介绍权数调整的具体步骤来说明自适应过滤法的应用过程。设时间序列为nxx,,1。㈠确定加权平均的权数个数p一般来说，如果时间序列原始数据具有明显的季节性变动特征，则可确定权数个数p为季节周期长度。当数据以1年为周期进行季节变动时，若数据以月份统计，则取12p；若数据以季度统计，则取4p。一般地，p取在这两者之间即可。应当注意，p越大，要达到“最佳”权数的迭代次越多。因此，选择恰当的p值对整个计算过程十分重要。㈡确定初始权数一般情况下，初始权数取为pp121，即以简单的算术平均数作为初始的加权平均数。有时也可以根据时间序列数据的自相关系数，利用Yule-Walker方程来求得，即：pppppppp221122211111216－3其中，),,1(pii是自回归系数。用矩阵形式可表示为：pppppp2121212111111即：ppP可由时间序列数据得到样本自相关系数),,2,1(pii，且系数矩阵pP可逆，则初始权数可得：1)(ppP6－4《统计预测和决策》讲稿第六章自适应过滤法第3页共6页说明：在自适应过滤法中，尽管权数的初始值一般取),,1(1pipi，能够满足11pii的条件，然而按照(6－2)式调整权数后，就无法保证11pii了。因此，自适应过滤法对权数的处理可以说是突破了一切约束，不但可以出现负数，而且还允许权数之和不等于1。㈢计算预测值利用(6－1)式，选取数据样本中前p个数据pxx,,1，计算第1p期的预测值。11211xxxxpppp6－5㈣计算预测误差第1p期的预测误差的计算公式为：111pppxxe6－6㈤权数调整利用(6－2)式对权数进行调整：112ippiixke),,1(pi6－7其中，学习常数k的选取直接影响到了权数调整的速度，在一定程度上还影响了最终的预测效果。所以，这里着重讨论一下k的取值条件。必须注意到，要使初始权数经过(6－2)式的调整逐步向最佳权数逼近，从而使模型的MSE向一最小值收敛，k的取值是有一定条件的。为了使权数迅速逼近最佳值，k的取值应尽量接近于1，这样可以减少迭代次数。然而，太大的k值也可能导致误差序列的发散性，从而使得最终的均方差有所增大，影响了预测效果。因此，k值存在一定的取值范围。根据美国B.Widrow(1966)的研究证明，按照(6－2)式调整权数的自适应过滤法收敛的充分条件是：jpjiipnjxk120max16－8为了提高模型逼近最佳权数的速度，应取较大的k值，但必须满足pk1。即取：pxkjpjiipnj1,max1min120㈥进行迭代调整《统计预测和决策》讲稿第六章自适应过滤法第4页共6页利用第五步得到的新一组权数i),,1(pi，返回第三步，进行第2p期预测值计算，并产生预测误差2pe，再按公式(6－2)进行再一次的权数调整。考虑这种不断迭代的过程，可以将公式(6－5)式、(6－6)式、(6－7)式调整为以下公式：⑴11211ptptttxxxx)1,,(npt；⑵111tttxxe；⑶112ittiixke),,1(pi。这样反复进行下去，┅┅当权数调整进行到第n期，这时循环迭代调整的计算已经使用了全部的原始数据，若预测的均方误差1211)(1nptttxxpnMSE为0，则系数的调整过程即告结束；若预测的均方误差MSE不为0时，这时需将最后得到的一组权数作为新的初始值，再重新进行新一轮的调整过程。当新一轮调整结束后，若预测的均方误差MSE为0，则系数的调整过程即告结束。否则，继续迭代。然而，大多数情况下，最终的预测的均方误差无法降到零，此时使用的衡量标准为：当我们继续迭代时，预测的均方误差MSE没有进一步较明显地变小，即认为MSE达到较小，系数的调整过程结束。这时的权数就是我们所需要的较佳权数，可以用它们来计算第1n期的预测值。三、自适应过滤法的优点及应用准则1、自适应过滤法的优点⑴方法简单易行，可采用标准程序上机运算；⑵需要数据量较少；⑶约束条件较少；⑷具有自适应性，它能自动调整权数，是一种可变系数的模型。2、自适应过滤法的应用准则⑴自适应过滤法主要适用于水平的数据，对于有线性趋势的数据，可以应用差分方法来消除数据的趋势。⑵当数据的波动较大时，在调整权数之前，对原始数据值做标准化处理，可以加快调整速度，使权数迅速收敛于“最佳”的一组权数，并可使学习常数k的最佳值近似于p1，从而使自适应过滤法更为有效。第二节自适应过滤法的应用一、自适应过滤法的实际应用《统计预测和决策》讲稿第六章自适应过滤法第5页共6页为了说明自适应过滤法的实际应用，我们举一个简单的例子。例假设某商品最近5年的销售额资料如表6－1所示，利用自适应过滤法预测2007年、2008年该商品的销售额。表6－1某商品5年的销售额资料期数1t2t3t4t5t年份20022003200420052006销售额4345485053解取2p，可得初始权数：5.021121p学习常数：00018836.053501max12221230jjiijxk在此取0001888.0k。┅┅二、标准化处理问题在第一节中提到，当数据的波动较大时，在调整权数之前，应对原始数据值做标准化处理。标准化处理一方面可以加快调整速度，使权数迅速收敛于“最佳”的一组权数，并可使学习常数k的最佳值近似于p1，从而使自适应过滤法更为有效；另一方面，可以使数据和残差无量纲化，有助于不同单位时间序列数据的比较。根据Makridakis和Wheelwright(1977)的研究，标准化公式为：2/11211*)(),1(piititxxitx（1,,npt；pi,,1,0。）其中，2/1121)()1(piitxt（1,,npt）称为标准化常数。迭代调整公式：⑴),1()2,1()1,1(**2*11ptxtxtxxpt；⑵)1()0,1(11**1textxettt；⑶),1(2**1itxketii),,1(pi。《统计预测和决策》讲稿第六章自适应过滤法第6页共6页这样反复进行下去，┅┅另外，预测的均方误差为：121*))0,1((1npttxtxpnMSE计算第1p期的预测值的公式仍为：11211xxxxpppp下面举一个例子来说明标准化处理的应用。假设有以下10个样本的时间序列数据，见表6－2。表6－210个样本的时间序列数据期数12345678910数据ix1.971.892.43.22.783.451.92.342.022.5现预测其第11期的数值。解标准化变换的第一步：求标准化常数；第二步：计算数据的标准化值；第三步：用已标准化的新数据进行迭代调整，直至找到较佳权数。┅┅第三节电子计算机在自适应过滤法中的应用如前所述，对初始系数的逐次迭代需要大量的计算，这使自适应过滤法的应用受到了限制。然而，如果利用电子计算机进行运算，那么，这些计算便可以得到迅速实现。我们再看一个例子。（见教材第125页）