第6节平面一般力系

第六节平面一般力系各力作用线在同一平面内任意分布的力系称为平面一般力系。简易吊车的横梁在考虑自重时的受力情况就属于平面一般力系（参见图7-26）。下面先讨论平面一般力系简化的理论依据——力线平移定理。一、力线平移定理作用于刚体上的力F，可以平行移动到刚体上的任一点，但必须附加一力偶，其力偶矩等于原力F对新的作用点之矩。证明：设力F作用在刚体上的A点，见图7-24a。在此刚体上任取一点O，并在O点加上一对作用线与力F平行的平衡力F'和F，且使F'=F=F，见图7-24b。则力系F'、F、F和原力F等效。显然，其中力F'相当于由力F从A点平移而来，而力F和F构成了一个附加力偶，其力偶矩MO等于力F对O点之矩。即MO＝MO（F）＝Fh，见图7-24c，这就证明了定理。a）b）c）图7-24力线平移定理这个定理说明了一个力可以与同一平面内的一个力和一个力偶等效，反之亦然。即F＝F'＋MO＝F'＋MO（F）（7-15）二、平面一般力系的简化a）b）c）图7-25平面一般力系的简化设刚体上作用有一个平面一般力系Fl、F2和F3，见图7-25a。将力系向所在平面内的任一点O简化，即将力Fl、F2和F3分别向O点平移，O点称为简化中心。根据力线平移定理，即式（7-15），可以得到作用于O点的一个平面汇交力系Fl'、F2'和F3'以及一个力偶矩分别为MO1＝MO（F1）、MO2＝MO（F2）、MO3＝MO（F3）的附加平面力偶系，见图7-25b。上述平面汇交力系又可以合成为一个合力F'，称为原力系的主矢。即F'＝Fl'＋F2'＋F3'＝Fl＋F2＋F3而附加力偶系又可以合成为一个合力偶MO，称为原力系的主矩。即MO＝MO1+MO2+MO3=MO（F1）+MO（F2）+MO（F3）推广到有n个力组成的平面一般力系，则有)()()()('''21212121iOnOOOnOOOOinnMMMMMMMMFFFFFFFFFFFF'（7-16）由此得出结论：平面一般力系可以简化为一个主矢和一个主矩，见图7－25c。主矢等于各力的矢量和；主矩等于各力对简化中心之矩的代数和。三、平面一般力系的平衡方程及其应用平面一般力系平衡的必要和充分条件是主矢和主矩同时为零。即0)(0iOOiMMFFF'（7-17）写成投影式则有0)(00iOiyixFMFF（7-18）为了简便起见，常将ΣMO（Fi）简写为ΣMO，并略去投影式中的下标i，将上式进一步简写为000OyxMFF（7-19）即平面一般力系的平衡条件是力系中各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零以及各力对任一点的矩的代数和为零。式（7-19）称为平面一般力系的平衡方程，其中前两个方程称为投影方程，后一个方程称为力矩方程。这是三个独立方程，所以可以求解三个未知数。上式称为平衡方程的基本形式，也称为一力矩式或一点式。平面一般力系的平衡方程还可以表达为如下两种形式：两力矩式000BAxMMF（7-20）式中A、B两点的连线不得垂直于x轴。因为如果恰好有一力在A、B两点的连线上，此时满足式（7-20），但ΣFy≠0，力系不平衡。三力矩式000CBAMMM（7-21）式中A、B、C三点不得共线。因为如果恰好有一力在A、B、C三点的连线上，此时满足式（7-21），但ΣFy≠0，力系不平衡。（以上证明从略）有时用力矩式进行计算往往比投影式更简便，根据具体问题的解题方便，可以灵活应用其中的任一种形式。例7-6如图7-26a所示的简易起重吊车，已知横梁AB的自重G＝2kN，最大起重量W＝10kN，几何尺寸如图，α＝30°，求图示位置时，杆CD所受的力和铰链A处的约束力。a)b)图7-26平面一般力系的解题举例解：取横梁AB为研究对象，作受力图见图7-26b。取坐标系Axy，并取A点为矩心，列平衡方程并求解0sin0AEWAHGADFMDA，故kN26kN30sin35.31022sinADAEWAHGFD0cos0DAxxFFF，故kN5.22kN)30cos26(cosDAxFF0sin0WGFFFDAyy，故kN1kN)30sin26102(sinDAyFWGF所得结果FD为正值，表示与假设方向相同；FAx、FAy为负值，表示与假设方向相反。A处的约束力用合力来表示时，其大小为kN5.22kN)1()5.22(2222AyAxAFFF其方向朝左下方，与x轴所夹的锐角54.25.221arctanarctanAxAyFF本题也可以用两力矩方程求解，可分别选取A、D两点为矩心（其连线不垂直于X轴），列平衡方程并求解0sin0AEWAHGADFMDA，故kN26kN30sin35.31022sinADAEWAHGFD00ADFDEWHDGMAyD，故kN1kN35.01012＝ｙADDEWHDGFA0cos0DAxxFFF，故kN5.22kN)30cos26(cosDAxFF本题还可以用三力矩方程求解，请自行分析求解。为了避免解联立方程的麻烦，力矩方程的矩心应尽量选在两个未知力的交点上；投影方程坐标系的选取应使坐标轴与该力系中的多数力平行或垂直，以简化力的投影。下面再介绍一种工程上常见的约束——固定端约束及其约束力的求法。夹紧在刀架上的车刀，见图7-27a；埋入地面的电线杆等零件，它们的共同特点是零件的一端被固定，工程上称为固定端约束。图7-27b是其简图。固定端约束既限制零件在力系作用平面内的转动，又限制零件上、下和左、右移动，所以这种约束可以产生一个约束力偶和一个约束力，约束力通常又用两个正交分力来表示，见图7-27c。约束力偶以及约束力的大小和方向则由零件上所受的主动力来决定，见例7-27。a）b）c）图7-27固定端约束及其约束力的求法a）固定端约束实例b)简图c）受力图例7-7用图7-27a所示的车刀割槽时，设车刀长度l和刀头上所受的切削力Fx和Fy均为已知，试求固定端A处的约束力。解：取车刀为研究对象，它在切削力Fx、Fy和约束力FAx和FAy以及约束力偶MA的作用下平衡，可画出其受力图见图7-27c。建立坐标系Axy，并列出平衡方程lFMlFMMFFFFFFFFFFyAyAAyAyyAyyxAxxAxx000000，，，nf切槽(俯视)应当指出，不论选用哪组形式的平衡方程，对于同一个平面力系来说，最多只能列出三个独立的方程，因而只能求出三个未知量。补例如补例图a所示，水平托架承受两个管子，管重Gl=G2=300N，A、B、C处均为铰链连接，不计杆的重量，试求A处的约束力及支杆BC所受的力。补例图解(1)取水平杆AB为研究对象作用于水平杆上的力有管子的压力Fl、F2，它们大小分别等于管子重量Gl、G2，铅垂向下，因杆重不计，故BC杆是二力杆，水平杆B处的约束力FB沿BC杆轴线，指向暂假设，铰链支座A处的约束力方向未知，故用两正交分力FAx、FAy表示，水平杆的受力如补例图b所示。显然这是一个平面力系，而且平衡。(2)列平衡方程建立直角坐标系xAy，根据式(7—19)030cos0BAxxFFF，①030sin021BAyyFFFFF，②，0AM030sin2321bFbFbFB③由式③解得N1200N5.02300330030sin2330sin232121GGbbFbFFB支杆BC受压将FB值代入式①得N1039N866.0120030cosBAxFF方向向左将FB值代入式②得0N5.0120030030030sin21＝）（BAyFFFF