第6讲 双曲线

第6讲双曲线【2013年高考会这样考】1．考查利用基本量求双曲线的标准方程，考查双曲线的定义、几何图形、几何性质．2．考查求双曲线的离心率及渐近线方程．【复习指导】本节复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及简单的几何性质、本节近几年高考多以选择题、填空题的形式考查．基础梳理1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a0，c0；(1)当ac时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当ac时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)一条规律双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．两种方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．三个防范(1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．(3)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±abx.双基自测1．(人教A版教材习题改编)双曲线x210－y22＝1的焦距为()．A．32B．42C．33D．43解析由已知有c2＝a2＋b2＝12，∴c＝23，故双曲线的焦距为43.答案D2．(2011·安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()．A．2B．22C．4D．42解析双曲线2x2－y2＝8的标准方程为x24－y28＝1，所以实轴长2a＝4.答案C3．下列曲线中离心率为62的是()．A.x22－y24＝1B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1D.x24－y210＝1解析由已知e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝32.得b2a2＝12，即a2＝2b2.观察选项得B.答案B4．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()．A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±22xD．y＝±12x解析由题意得b＝1，c＝3.∴a＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±bax，即y＝±22x.答案C5．(2012·银川质检)设P是双曲线x2a2－y29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于________．解析由渐近线方程y＝32x，且b＝3，得a＝2，由双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝4，又|PF1|＝3，∴|PF2|＝7.答案7考向一双曲线定义的应用【例1】►在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线x225－y211＝1的左支上，则sinA－sinCsinB＝________.[审题视点]从双曲线的方程中可以确定A、C就是双曲线的焦点，从而根据双曲线的定义可以确定△ABC的三边的关系，再应用正弦定理解决．解析由条件可知|BC|－|BA|＝10，且|AC|＝12，又在△ABC中，有|BC|sinA＝|AB|sinC＝|AC|sinB＝2R，R为△ABC外接圆半径，从而sinA－sinCsinB＝|BC|－|AB||AC|＝56.答案56双曲线定义的应用(1)判定动点与两定点距离差的轨迹是否为双曲线．(2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题．在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简化．【训练1】(2011·太原重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.答案4考向二求双曲线的标准方程【例2】►(2011·东莞调研)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()．A.x242－y232＝1B.x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D.x2132－y2122＝1[审题视点]抓住C2上动点满足的几何条件用定义法求方程．解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为：F1(－5,0)，F2(5,0)．设曲线C2上的一点P.则||PF1|－|PF2||＝8.由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为x242－y232＝1.答案A(1)当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，求方程时应分类讨论，或者将方程设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．(2)已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．根据其他条件确定λ的值．若求得λ＞0，则焦点在x轴上；若求得λ＜0，则焦点在y轴上．【训练2】(2012·郑州模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同．则双曲线的方程为________．解析∵双曲线的渐近线为y＝3x，∴ba＝3，①∵双曲线的一个焦点与y2＝16x的焦点相同．∴c＝4.②∴由①②可知a2＝4，b2＝12.∴双曲线的方程为x24－y212＝1.答案x24－y212＝1考向三双曲线的几何性质的应用【例3】►(2011·浙江)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则()．A．a2＝132B．a2＝13C．b2＝12D．b2＝2[审题视点]取一条C2的渐近线，将其与C1联立求得弦长|AB|，令|AB|＝23a，方可得出结论．解析依题意a2－b2＝5，根据对称性，不妨取一条渐近线y＝2x，由y＝2x，x2a2＋y2b2＝1，解得x＝±ab4a2＋b2，故被椭圆截得的弦长为25ab4a2＋b2，又C1把AB三等分，所以25ab4a2＋b2＝2a3，两边平方并整理得a2＝11b2，代入a2－b2＝5得b2＝12.答案C在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程；(3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k＝ba＝c2－a2a＝c2a2－1＝e2－1.【训练3】(2011·济南模拟)设点P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF1＝3PF2，则双曲线的离心率为________________________________________．解析由于a2＋b2＝c2，所以圆x2＋y2＝a2＋b2即为x2＋y2＝c2，因此该圆与x轴的交点就是双曲线的两个焦点，而点P是圆与双曲线在第一象限的交点，所以PF1⊥PF2，即(PF1)2＋(PF2)2＝(2c)2，而PF1＝3PF2，所以PF1＝3105c，PF2＝105c，又由双曲线的定义得PF1－PF2＝2a，所以3105c－105c＝2a，即2105c＝2a，于是e＝ca＝102.答案102难点突破21——高考中椭圆与双曲线的离心率的求解问题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆或双曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆和双曲线的离心率问题难点的根本方法．【示例1】►(2011·福建)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于()．A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32【示例2】►(2010·广东)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()．A.45B.35C.25D.15【示例3】►(2010·辽宁)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()．A.2B.3C.3＋12D.5＋12