第6讲三角函数图象与性质(教师)

专题2三角函数与平面向量三角函数作为基本初等函数,它是周期函数模型的典范,这部分内容概念、公式较多,知识点琐碎繁杂,需要强化记忆,要把握三角函数图象的几何特征,灵活应用其性质.平面向量具有几何与代数形式的双重性,是知识网络的重要交汇点,它与三角函数、解析几何、平面几何等都有一定的联系,要给予高度的重视.江苏近三年高考三角函数与平面向量的试题,一般是两到三个小题和一个大题;解答题一般都为基础题,处在送分题的位置;而在两个到三个小题中,08年和09年有一个较容易,而另一个为中档题,2010年15,17题出了两个有关三角函数和向量的解答题,且位置靠前,所以填空题的难度相对加大,但整体得分与往年相比没有大的变化.从近三年高考命题来看,平面向量的数量积,正余弦定理的运用,三角函数的图象和性质,尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换、特征分析(对称轴、对称中心)和三角函数式的恒等变形等仍是命题热点.预计2011年高考本专题的命题方向是:①考小题,重在基础:有关三角函数的小题,其考查的重点在于基础知识:解析式、图象及图象变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)以及简单的三角变换(求值、化简及比较大小).有关平面向量的小题,其考查重点仍会是数量积及相关运算.②考大题,重在本质:有关三角函数和平面向量的大题即解答题,通过公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了,而是考查基础知识、基本技能和基本方法.③考应用,融入三角形之中:这种题型既能考查解三角形的知识与方法,又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能,故近年来倍受命题者的青睐.主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正(余)弦定理、面积公式等,并结合三角公式进行三角变换,从而获解.④考综合,体现三角向量的工具和传接作用:由于近年高考命题突出以能力立意,加强对知识综合性和应用性的考查,故常常在知识的交汇点处命题.因而对三角向量有时会综合在一起来考查.但与其他知识交汇的可能性不大.第6讲三角函数的图象与性质一.瞄准高考1.任意角的三角函数(1)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sinα=y,cosα=x,tanα=yx.(2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.2.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限.3.同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,tanα=sinαcosα(cosα≠0).4.函数y=Asin(ωx+φ)(A0,0)的性质①定义域;②值域;③周期性;④单调性;⑤对称性.5.函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1)“五点法”作图;(2)图象变换.二.解析高考题型一三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用例1如图在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α、β,它们的终边分别与单位圆交于A、B两点,已知A、B的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.【思维启迪】根据任意角三角函数的定义cosα=xr不难得到cosα、cosβ的值,利用同角三角函数可求sinα、sinβ、tanα、tanβ的值,进而利用和角公式求tan(α+β)的值.注意到第(2)问相当于“给值求角”问题,除注意到“角的变换”:α+2β=(α+β)+β外,还应注意该类问题求解的一般程序.【解答】(1)由已知条件及三角函数的定义可知,cosα=210,cosβ=255.因为α为锐角,故sinα0,从而sinα=1－cos2α=7210.同理可得sinβ=55.因此tanα=7,tanβ=12.所以tan(α+β)=tanα＋tanβ1－tanαtanβ=7＋121－7×12=－3.(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=tan(α＋β)＋tanβ1－tan(α＋β)tanβ=－3＋121－(－3)×12=－1,又0απ2,0βπ2,故0α+2β3π2,从而由tan(α+2β)=－1得α+2β=3π4.【探究提高】本题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式,考查考生的运算求解能力.根据三角函数的定义,本题所给的两个横坐标实际上就是α、β的余弦值,又由于这两个角都是锐角,由同角三角函数的关系式就可以求出这两个角的正切,剩下的问题就是代入公式计算了.【变式】已知点P(sin3π4,cos3π4)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值_______.【解析】tanθ=cos34πsin34π=－cosπ4sinπ4=－1,又sin34π0,cos34π0,∴θ为第四象限角且θ∈[0,2π),∴θ=7π4,题型二三角函数的图象与解析式例2已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A0,ω0,0≤φ2π)在同一周期内有最高点(π12,1)和最低点(7π12,－3).(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.【解答】(1)由题意,2A=1－(－3)=4,T2=7π12－π12=π2,∴A=2,T=π,B=1＋－2=－1,故f(x)=2sin(2x+φ)－1.∵f(x)图象过点(π12,1),∴2×π12+φ=π2+2kπ,k∈Z,又0≤φ2π,∴φ=π3,f(x)=2sin(2x+π3)－1.(2)如图.【探究提高】求三角函数的解析式f(x)=Asin(ωx+φ)+B,就是根据图象的特征或函数2x+π3π3π2π3π22π7π3x0π12π37π125π6πf(x)3－11－1－313－1的性质,依次确定参数A,B,ω,φ的值.作三角函数图象,一般用五点法,本题的作图是一个难点,它难在[0,π]不是一个标准五点作图的周期,所以在x的取值上要特别注意:先确定x取0,π,相应的取2x+π3取π3,7π3,然后确定2x+π3在π3,7π3内取π2,π,3π2,2π,相应的x在[0,π]内取π12,π3,7π12,5π6,正确地列出表来是能正确画出图的关键.【变式】如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(ω0,A0,|φ|π2)图象的一部分,则f(x)的解析式为______________.y=2sin23x＋π6+1【解析】根据函数图象提供的三个数据解决.(1)最低点(－π,－1);(2)与y轴的交点;(3)最大值3.由于最大值和最小值之差等于4,故A=2,B=1.由于2=2sinφ+1,取φ=π6.取ω(－π)+φ=－π2,得ω=23.所以函数的解析式是y=2sin23x＋π6+1.根据三角函数图象求函数的解析式,主要解决两个问题,一个是ω,一个是φ.ω由三角函数的周期确定,φ由函数图象的位置确定.解决这类题目一般是先根据函数图象找到函数的周期确定ω的值,再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值.这类题目中一般情况下ω的值是唯一确定的,但φ的值是不确定的,它有无数个,事实上如果φ0是满足条件的一个φ值,那么2kπ+φ0都满足条件的φ值,故这类题目一般都限制了φ的取值范围.题型三三角函数的图象与性质例3已知向量m=(cosωx,sinωx),n=(cosωx,3cosωx),设函数f(x)=m·n.(1)若f(x)的最小正周期是2π,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)的图象的一条对称轴是x=π6,(0ω2),求f(x)的周期和值域.【解答】(1)f(x)=cos2ωx+3sinωx·cosωx=cos2ωx2+32sin2ωx+12=sin(2ωx+π6)+12.∵T=2π2ω=2π,∴ω=12,则f(x)=sin(x+π6)+12,由2kπ－π2≤x+π6≤2kπ+π2,得[2kπ－2π3,2kπ+π3](k∈Z)为单调递增区间.(2)∵x=π6是函数的一条对称轴,∴2ω×π6+π6=kπ+π2,∴ω=3k+1.又∵0ω2,k∈Z,∴当k=0时,ω=1,∴f(x)=sin(2x+π6)+12,∴周期为π,值域为－12,32.【探究提高】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性,往往是在定义域内,先化简三角函数式,尽量化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式,然后再借助于正弦曲线性质来求解.(2)对于形如y=asinωx+bcosωx型的三角函数,要通过引入辅助角化为y=a2＋b2sin(ωx+φ)(cosφ=aa2＋b2,sinφ=ba2＋b2)的形式来求.例4已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω0,－π2φπ2的图象如图所示,直线x=3π8,x=7π8是其两条对称轴.(1)求函数f(x)的解析式并写出函数的单调增区间;(2)若f(α)=65,且π8α3π8,求fπ8＋α的值.【解答】(1)由题意,T2=7π8－3π8=π2,∴T=π,又ω0,故ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ).由f3π8=2sin3π4＋φ=2,解得φ=2kπ－π4(k∈Z),又－π2φπ2,∴φ=－π4,∴f(x)=2sin2x－π4.由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ+π2(k∈Z)知,kπ－π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z),∴函数f(x)的单调增区间为kπ－π8，kπ＋3π8(k∈Z).(2)解法1:依题意得2sin2α－π4=65,即sin2α－π4=35,∵π8α3π8,∴02α－π4π2,∴cos2α－π4=1－sin22α－π4=1－352=45,fπ8＋α=2sin2α＋π8－π4=2sin2α－π4＋π4,∵sin2α－π4+π4=sin2α－π4cosπ4+cos2α－π4.sinπ4=2235+45=7210,∴fπ8+α=725.解法2:依题意得sin2α－π4=35,得sin2α－cos2α=325,①∵π8α3π8,∴02α－π4π2,∴cos2α－π4=1－sin22α－π4=1－352=45,由cos2α－π4=45,得sin2α+cos2α=425,②①+②得2sin2α=725,∴fπ8＋α=2sin2α=725.解法3:由sin2α－π4=35,得sin2α－cos2α=325,两边平方得1－sin4α=1825,sin4α=725,∵π8α3π8,∴π24α3π2,∴cos4α=－1－sin24α=－2425,∴sin22α=1－cos4α2=4950,又π42α3π4,∴sin2α=7210,∴fπ8＋α=2sin2α=725.【点评】本题主要考查三角函数性质的基本知识,考查推理和运算能力是高考最常考的一种题型.江苏高考三角函数试题主要以两种形式出现:一是注重考查三角函数的定义、性质、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识;二是以基本三角函数图象和正弦型函数、余弦型函数图象为载体,全面考查三角函数的定义域、值域、单调性,奇偶性、对称性、图象变换等基础知识,即考查三角函数的图象性质和数形结合的思想方法.三.感悟高考1.五点法是作图的基础,五点的横坐标由ωx+φ分别取0,π2,π,3π2,2π来确定;由y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分求其解析式,其中A是图象最高点和最低点纵坐标之差的一半,ω由公式T=2π|ω|确定,φ由ωx+φ所对应的五点中的“关键点”的坐标来确定.2.求三角函数的定义域实质上是解不等式(组),一般根据三角函数的图象或三角函数线直接写出三角不等式的解,求三角函数的值域(最值),一般要结合函数的图象,利用单调性和定义域求解.3.求三角函数的单调区间、对称轴、对称中心等体现了化归及整体代换的思想,关键是视ωx+φ为单角θ,将问题转化为最基本的三角函数y=sinθ或y=cosθ来处理.4.求三角函数的值域(最值)的常用方法:①化为求代数函数的值域;②化为求y=Asin(ωx+φ)+B的值域;③化为关于sinx(或cosx)的二次函数式.四.备战高考