第6讲全等三角形性质与判定

1第6讲全等三角形性质与判定〖学习目标〗1.理解全等三角形的概念，掌握并能运用全等三角形的性质．2.掌握判定三角形全等的几种方法，能判定两个三角形全等．3.能利用三角形全等证明的一些结论．※考情分析全等三角形是证明线段相等和角度相等，在中考试卷中可能出现在填空或选择中，也可能作为简单的解答题出现．这部分涉及的一些常用辅助线作法，不但在全等三角形部分运用，也是解决几何一些综合题，甚至压轴题的手段．全等三角形在中考试卷中，如果直接考查全等知识一般不会太难，如果作为解决综合问题的手段，那么难度可能会提升．〖基础知识·轻松学〗一、全等三角形的定义1．全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，其中“∽”表示形状相同，“＝”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小相等．2．寻找对应边和对应角的常用方法：对应角：①对应边所对的角是对应角；②两条对应边所夹的角是对应角；③有公共角，一定是对应角；④有对顶角，一定是对应角；⑤最大的角是对应角，最小的角是对应角．对应边：①对应角所对的边是对应边；②两个对应角所夹的边是对应边；③有公共边，一定是对应边；④最长的边是对应边，最短的边是对应边．二、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等．精讲：由于全等的两个三角形能够完全重合，因此全等三角形对应边上的中线、高，对应角的角平分线也相等，全等三角形的周长和面积也相等．三、三角形全等的判定方法1．边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．2．边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形，简写成“边角边”或“SAS”．3．角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）4．HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称：“斜边、直角边”或“HL”）．精讲：HL应用说明2（1）HL是识别两个直角三角形全等特有的方法，应用此方法时要注意：①要保证两个三角形是直角三角形；②斜边相等；③任意一条直角边对应相等．（2）三角形全等判定方法的选择已知条件可供选择的判定方法一边和这边邻角对应相等选边：只能选角的另一边（SAS）选角：可选另外两对角中任意1对角（AAS，ASA）一边及它的对角对应相等只能再选一角：可选另外两对角中任意1对角（AAS）两边对应相等选边：只能选剩下的1对边（SSS）选角：只能选两边的夹角（SAS）两角对应相等只能选边：可选三条边的任意一对对应边（AAS，ASA）（3）一般三角形全等的判定方法对判断两个直角三角形全等全部适用．也就是说判定两个直角三角形全等共有5种方法，即SSS，SAS，ASA，AAS，HL．四、全等三角形判定的两个反例1．AAA不能判定两三角形全等反例：如图6-1，在△ABC和△ADE中，当DE∥BC时，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等．ABCDEABCD图6-1图6-22．ASS不能判定两三角形全等反例：如图6-2，△ABC和△ABD中，∠B＝∠B，AB＝AB，AC＝AD，但是△ABC与△ABD并不全等．〖重难疑点·轻松破〗一、用变换的视角看全等仔细观察本章题目中涉及的全等三角形，可以发现，大多数图形中两个三角形，其中一个三角形通过平移、旋转和翻折，都能和另一个三角形完全重合．1.平移：如图6-3，将△ABC沿着BC方向，平移一段距离后到达△DEF的位置，平移前后的两个三角形全等，这种变换称为平移变换．2.翻折：如图6-4，将△ABC沿着BC翻折得到△BDC，翻折前后的这两个三角形全等，这种变换称为翻折变换．3.旋转：如图6-5，将△ABC绕点A逆时针旋转180°后得到△ADE，旋转前后的这两个3三角形全等，图6-3图6-4图6-5经过图形的变换，图形的一些性质改变了，而另一些性质仍然保留下来，上面这三种变换中，变换前后的两个图形仍然全等，这三种变换也称为全等变换．例1：如图6-6，AB＝CD，AB∥CD，CE＝AF．判断△ABE与△CDF是否全等，并说明理由．DCABEF图6-6分析：要说明△ABE与△CDF是否全等，“AB＝CD”是题目直接提供的，由“CE＝AF”可得“AE＝CF”，“AB∥CD”可得夹角“∠DCA＝∠CAB”，此时三个条件具备了，最后根据SAS可证两个三角形全等．答：△ABE与△CDF全等．理由：∵CE＝AF，∴AE＝CF．∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB．在△ABE与△CDF中ABCDDCABACCFAE∴△ABE≌△CDF（SAS）点评：证明两个三角形全等需要寻找相等的对应边和对应角，由于△CDF可看作由△ABE旋转得到的，因此我们可以从旋转对称的角度来寻找相等的对应边和对应角，这样有利于迅速找到全等所需的条件．变式练习1：如图6-7，点E，F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，BE＝CF，B，E，F，C在同一直线上，求证：△ABF≌△DCE．ABEFCD图6-7二、证明线段、角度相等的思路证明两条线段或者两个角度相等时，可考虑将这两条线段或两个角置于一对三角形中，通过证明这两个三角形全等来证明这两条线段或角度相等．4例2：如图6-8，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．ABOCED图6-8分析：从结论“BD＝CE”来看，有两种思路，思路一：通过证明△BOD≌△COE得到对应边相等；思路二：通过证明“△ACD≌△ABE”得到AB＝AC和AD＝AE，然后运用等式性质证得．从题设看，由“AB＝AC，∠B＝∠C”加上公共角∠A，可得△ACD≌△ABE，所以我们考虑使用思路二给出证明过程．证明：在△ACD和△ABE中，BCABACAA，∴△ACD≌△ABE（ASA），∴AD＝AE∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE．点评：哪些情况下，可考虑利用全等的性质来证明线段相等和角度相等呢？本题中，这个图形很显然是轴对称的图形，而BD和CE也是轴对称的，这时候就可以考虑BD和CE置于一对轴对称的三角形中，且BD和CE恰好是一对对应边．变式练习2：如图6-9，AD是△ABC的中线，过C，B分别作AD及AD的延长线的垂线CF，BE．求证：BE＝CF．BAEDFC图6-9三、两次或两次以上全等，寻找思路“两头凑”例3：如图6-10，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF．求证：O是AC的中点．ABCDFEO图6-10分析：从已知看，由AB＝CD，AD＝BC和AC＝AC，由“边边边”得△ABC≌△CDA．从结论看，要证明“O是AC的中点”，需要证明OA＝OC，可将OA，OC置于△AOE和△COF中，通过证明△AOE≌△COF来实现．要证明△AOE≌△COF，已经具备AE＝CF，5∠AOE＝∠COF，我们只能再找一对对应角相等，这对对应角可由△ABC≌△CDA获得．证明：在△ABC和△CDA中，ABCDADBCACCA∴△ABC≌△CDA（SSS）．∴∠DAC＝∠ACB．在△AOE和△COF中，DACACBAOECOFAECF，∴△AOE≌△COF（AAS）．∴OA＝OC，∴O是AC的中点．点评：“两头凑”的方法是先有已知条件结合已经学过的定义、定理、公理推导，看能推导出什么结论；同时由结论出发，反过来寻找能使结论成立所需的条件，一步一步地逆推，当正好和已知推导出的结论相吻合时，问题即可得证．即：已知→中间条件←结论．变式练习3：如图6-11，AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF．求证：EB∥CF．CFDOBEA4213图6-11四、三点定形确定全等三角形．例4：如图6-12，AD＝BC，AC＝BD，求证：∠C＝∠D．DCABO图6-12分析：由已知“AD＝BC，AC＝BD”可得两种情况：“AD与AC在同一个三角形中，BC与BD在同一个三角形中”或“AD与BD在同一个三角形中，BC与AC在同一个三角形中”，即本题可证明△ACD≌△BDC或者△ABD≌△BAC，由于本题要证明的∠C＝∠D是△ABD≌△BAC的一对对应角，所以本题可考虑证明△ABD≌△BAC．证明：连接AB，在△ABD和△BAC中，ADBCACBDABBA∴△ABD≌△BAC（SSS），∴∠C＝∠D．点评：已知条件提供的线段相等一般是对应边相等，这时我们可以将这些线段置于三角形中，如AD与BD在同一个三角形中，这两条线段涉及的三个字母A，B，D确定了△ABD，这就是三点定形法．6三点定型法适用于已知两对对应边相等情况下，确定全等三角形．变式练习4：如图6-13，AD＝BC，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，AD和CB平行吗？为什么？图6-13五、角度相等的重要证明手段――同角的余角相等例5：如图6-14，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F是BD上一点，BF＝AC，G是CE延长线上一点，CG＝AB，连结AG,AF.（1）求证：∠ABD＝∠ACE;（2）探求线段AF,AG有什么关系，并证明．图6-14分析：（1）∠ABD,∠ACE都和∠BAC互余，根据“同角的余角相等”可证明∠ABD＝∠ACE；（2）由已知条件“BF＝AC”,“CG＝AB”,“∠ABD＝∠ACE”可证明△ABF＝△GCA，AF,AG恰好是这对全等三角形的对应边，所以这两条线段的大小关系是相等．又由于∠G＝∠BAF，∠G＋∠GAE＝90°，因此∠GAF＝90°，所以AF和AG的位置关系是垂直．答案：（1）证明：∵CE⊥AB，∴∠ACG＋∠BAC＝90°，同理∠ABF＋∠BAC＝90°．∴∠ABD＝∠ACE．（2）答：AF＝AG，AF⊥AG．理由：在△ABF和△GCA中，BFACABDACECGAB，∴△ABF≌△GCA．∴AF＝AG，∠G＝∠BAF．∵GE⊥AB，∴∠G＋∠GAE＝90°．∴∠BAF＋∠GAE＝90°．∴AF⊥AG．点评：（1）当已知两条边相等，要证明两个三角形全等时，“同角的余角相等”是常用的证明夹角相等的手段．（2）要证明两直线垂直，证明夹角等于90°也是常用思路，当夹角是有两个角的和组成的时候，常考虑证明这两个角的和等于90°．ABCDEFABCEDFG7变式练习5：如图6-15，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．求证：AB＝FC．图6-15【课时作业·轻松练】A．基础题组1．如图6-16，∠1＝∠2，AO＝BO．求证：AC＝BC．图6-162．如图6-17，AD⊥DB，BC⊥CA，AC，BD相交于点O，且AC＝BD，求证：AD＝BC．DCBAO图6-173．如图6-18，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．求证：AB＝AD．图6-184．如图6-19，点EAC，，在同一条直线上，ABCD∥，ABCEACCD，．求证：BCED．图6-19EDCBAFDBCEAABCDEF1238B．提升题组5．如图6-20，AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F，AB与DE交于点O，且EC＝BF，AB＝DE，求证：AE＝DB．图6-206．如图6-21，A，E，F，B四点在一条直线上，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD．求证：CF＝DE．ACFDEB图6-21〖中考试题初体验〗1．（2013湖南娄底）如图6-22，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是__________．（添加一个条件即可）图6-222．（2013呼和浩特）如图6-23，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC．求证：DE＝AB．图6-23五、我的错题本参考答案AODFCEB9变式练习1.∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF．即BF＝CE．在△ABF和△DCE中，,,.ABDCAFDEBFCE∴