第6讲几何概型

第6讲几何概型【2013年高考会这样考】以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容．新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主．【复习指导】本节复习时，准确理解几何概型的意义、构造出度量区域是用几何概型求随机事件概率的关键，复习时要多反思和多领悟，掌握方法要领．同时要加强与平面区域、空间几何体、平面向量、函数结合等方面的训练．基础梳理1．几何概型事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．一条规律对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()．A.12B.13C.14D．1解析点坐标小于1的区间长度为1，故所求其概率为13.答案B2．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是()．A.15B.25C.35D.45解析以时间的长短进行度量，故P＝3075＝25.答案B3．(2012·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()．解析P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)．答案A4．某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为()．A.π3B.334πC.34D．以上全错解析设正三角形边长为a，则外接圆半径r＝32a×23＝33a，∴所求概率P＝34a2π33a2＝334π.答案B5．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．解析如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P＝|CD||AB|＝13.答案13考向一与长度有关的几何概型【例1】►点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．[审题视点]用劣弧的长度与圆周长的比值．解析如图，设A、M、N为圆周的三等分点，当B点取在优弧上时，对劣弧AB来说，其长度小于1，故其概率为23.答案23将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．【训练1】一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．解析如图，该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的长度为：1＋2＋3＝6，故所求概率为P＝612＝12.答案12考向二与面积有关的几何概型【例2】►(2012·华东师大附中模拟)设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[审题视点](1)为古典概型，利用列举法求概率．(2)建立ab平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型．解设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，利用公式可求．【训练2】(2011·福建)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()．A.14B.13C.12D.23解析S△ABE＝12|AB|·|AD|，S矩形ABCD＝|AB||AD|.故所求概率P＝S△ABES矩形ABCD＝12.答案C考向三与角度、体积有关的几何概型【例3】►在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率．[审题视点]如图所示，因为过一点作射线是均匀的，因而应把在∠ACB内作射线CM看做是等可能的，基本事件是射线CM落在∠ACB内任一处，使|AM|＞|AC|的概率只与∠BCC′的大小有关，这符合几何概型的条件．解设事件D为“作射线CM，使|AM|＞|AC|”．在AB上取点C′使|AC′|＝|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′＝180°－30°2＝75°，μA＝90－75＝15，μΩ＝90，所以P(D)＝1590＝16.几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”．因为射线CM落在∠ACB内的任意位置是等可能的．若以长度为“测度”，就是错误的，因为M在AB上的落点不是等可能的．【训练3】(2011·长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．解析点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记点P到点O的距离大于1为事件A，则P(A)＝23－12×4π3×1323＝1－π12.答案1－π12规范解答16——如何解决概率与函数的综合问题【问题研究】所谓概率，就是某种事件发生的可能性的大小，而“事件”可以是日常生活中常见的例子，也可以是有关的数学问题，如以函数的基本性质定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性为背景，设置概型，提出问题，考查考生综合分析问题、解决问题的能力.,【解决方案】首先认真阅读题目，把其中的有用信息向我们熟悉的知识方面转化，实现知识的迁移，然后再利用概率的知识去解决.【示例】►(本题满分12分)(2011·潍坊模拟)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域x＋y－8≤0，x＞0，y＞0内的一点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．本题以“二次函数的单调性”为背景，首先写出事件发生所满足的条件，在第(1)问中，给出了有限个数据，从而判断是古典概型问题，利用列举法写出事件发生的总数以及满足条件的事件发生的个数，再利用公式求之；第(2)问中，a和b有无限个数据，所以是几何概型问题，首先计算事件发生的总数与满足条件的事件发生的个数的测度，再利用公式求之．[解答示范](1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为直线x＝2ba，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a＞0且2ba≤1，即2b≤a.(2分)若a＝1，则b＝－1；若a＝2，则b＝－1或1；若a＝3，则b＝－1或1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.(5分)∴所求事件的概率为515＝13.(6分)(2)由(1)，知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知事件的全部结果所构成的区域为a，ba＋b－8≤0，a＞0，b＞0，构成所求事件的区域为三角形部分．(8分)由a＋b－8＝0，b＝a2，得交点坐标为163，83，(10分)∴所求事件的概率为P＝12×8×8312×8×8＝13.(12分)本题中先将f(x)在[1，＋∞)上为增函数转化为满足条件2b≤a且a＞0，然后再联系已知条件，将问题转化为几何概型，实现了知识的逐步迁移，这种转化迁移的思想值得考生注意，另外，对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，在某一区间[m，＋∞)上单调递增的充要条件是a＞0，－b2a≤m，切勿漏掉a＞0.【试一试】已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.(1)若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程没有实根的概率．[尝试解答](1)基本事件(a，b)共有36个，方程有正根等价于a－2＞0,16－b2＞0，Δ≥0，即a＞2，－4＜b＜4，(a－2)2＋b2≥16.设“方程有两个正根”为事件A，则事件A包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个，故所求的概率为P(A)＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16，设“方程无实根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2＜16}，其面积为S(B)＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P(B)＝4π16＝π4.