第6课时电磁感应的综合应用

1电磁感应问题的综合应用一、单杆问题1、如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距l=0.5m，左端接有阻值R=0.3Ω的电阻，一质量m=0.1kg，电阻r=0.1Ω的金属棒MN放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.4T，棒在水平向右的外力作用下，由静止开始以a=2m/s2的加速度做匀加速运动，当棒的位移x=9m时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1：Q2=2:1，导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，求（1）棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量q（2）撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2（3）外力做的功WF2、如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L＝1m，导轨平面与水平面夹角α＝30°，导轨电阻不计．磁感应强度为B1＝2T的匀强磁场垂直导轨平面向上，长为L＝1m的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m1＝2kg、电阻为R1＝1Ω.两金属导轨的上端连接右侧电路，电路中通过导线接一对水平放置的平行金属板，两板间的距离和板长均为d＝0.5m，定值电阻为R2＝3Ω，现闭合开关S并将金属棒由静止释放，重力加速度为g＝10m/s2，试求：(1)金属棒下滑的最大速度为多大？(2)当金属棒下滑达到稳定状态时，整个电路消耗的电功率P为多少？(3)当金属棒稳定下滑时，在水平放置的平行金属间加一垂直于纸面向里的匀强磁场B2＝3T，在下板的右端且非常靠近下板的位置有一质量为m2＝3×10－4kg、带电量为q＝－1×10－4C的液滴以初速度v水平向左射入两板间，该液滴可视为质点．要使带电粒子能从金属板间射出，初速度v应满足什么条件？BMNRa2二、双杆问题：3、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量均为m，电阻均为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？4、如图所示，abcd和a/b/c/d/为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。ab、a/b/间的宽度是cd、c/d/间宽度的2倍。设导轨足够长，导体棒ef的质量是棒gh的质量的2倍。现给导体棒ef一个初速度v0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少？Bv0Lacdbaa/bb/dd/cc/efgh3三、综合应用5、如图，质量为M的足够长金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上。一电阻不计，质量为m的导体棒PQ放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc构成矩形。棒与导轨间动摩擦因数为，棒左侧有两个固定于水平面的立柱。导轨bc段长为L，开始时PQ左侧导轨的总电阻为R，右侧导轨单位长度的电阻为R0。以ef为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B。在t＝0时，一水平向左的拉力F垂直作用于导轨的bc边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为aX（1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式；（2）经过多少时间拉力F达到最大值，拉力F的最大值为多少？（3）某一过程中回路产生的焦耳热为Q，导轨克服摩擦力做功为W，求导轨动能的增加量。6、如图所示，间距为l、电阻不计的两根平行金属导轨MN、PQ（足够长）被固定在同一水平面内，质量均为m、电阻均为R的两根相同导体棒a、b垂直于导轨放在导轨上，一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与a棒连接，其下端悬挂一个质量为M的物体C，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。开始时使a、b、C都处于静止状态，现释放C，经过时间t，C的速度为1、b的速度为2。不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力加速度为g，求：（1）t时刻C的加速度值；（2）t时刻a、b与导轨所组成的闭合回路消耗的总电功率。BbeQaFBcfPd47、如图甲所示，一端封闭的两条平行光滑导轨相距L，距左端L处的中间一段被弯成半径为H的1/4圆弧，导轨左右两段处于高度相差H的水平面上。圆弧导轨所在区域无磁场，右段区域存在磁场B0，左段区域存在均匀分布但随时间线性变化的磁场B(t)，如图乙所示，两磁场方向均竖直向上。在圆弧顶端，放置一质量为m的金属棒ab，与导轨左段形成闭合回路，从金属棒下滑开始计时，经过时间t0滑到圆弧底端。设金属棒在回路中的电阻为R，导轨电阻不计，重力加速度为g。⑴金属棒在圆弧内滑动时，回路中感应电流的大小和方向是否发生改变？为什么？⑵求0到时间t0内，回路中感应电流产生的焦耳热量。⑶探讨在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场B0的一瞬间，回路中感应电流的大小和方向。8、如图所示，将边长为a、质量为m、电阻为R的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里．线框向上离开磁场时的速度刚好是进入磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进入磁场．整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f且线框不发生转动．求：⑴线框在下落阶段匀速进入磁场时的速度v2；⑵线框在上升阶段刚离开磁场时的速度v1；⑶线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q．B(t)tO2t0t0B0HHLLabB0B(t)H图10-60-8乙甲abB52、解析：(1)当金属棒匀速下滑时速度最大，设最大速度为vm，达到最大时则有m1gsinα＝F安F安＝ILB1，I＝B1LvmR1＋R2，所以m1gsinα＝B21L2vmR1＋R2，解得最大速度vm＝10m/s.(2)整个电路消耗的电功率P＝m1gsinα·vm，所以P＝100W.(3)金属棒下滑稳定时，两板间电压U＝IR2＝15V，因为液滴在两板间有m2g＝qUd，所以该液滴在两平行金属板间做匀速圆周运动，当液滴恰从上板左端边缘射出时：r1＝d＝m2v1B2q，所以v1＝0.5m/s；当液滴恰从上板右侧边缘射出时：r2＝d2＝m2v2B2q，所以v2＝0.25m/s初速度v应满足的条件是：v≤0.25m/s或v≥0.5m/s.答案：(1)10m/s(2)100W(3)v≤0.25m/s或v≥0.5m/s3、解析：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流．ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动．在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速．两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动．（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mvmv20根据能量守恒，整个过程中产生的总热量2022041)2(2121mvvmmvQ（2）设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为v1，则由动量守恒可知：10043mvvmmv此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：BLvvE)43(10，REI2此时cd棒所受的安培力：IBLF，所以cd棒的加速度为mFa由以上各式，可得mRvLBa4022。4、解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒ef的速度减小到v1，导体棒gh的速度增大到v2，则有2BLv1-BLv2=0，即v2=2v1。对导体棒ef由动量定理得：01222mvmvtIBL对导体棒gh由动量定理得：02mvtIBL由以上各式可得：020132,31vvvv66、解析：（1）根据法拉第电磁感应定律，t时刻回路的感应电动势12()EBlt①回路中感应电流2EIR②以a为研究对象，根据牛顿第二定律TBIlma③以C为研究对象，根据牛顿第二定律MgTMa④联立以上各式解得22122()2()MgRBlaRMm（2）解法一：单位时间内，通过a棒克服安培力做功，把C物体的一部分重力势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为b棒的动能，所以，t时刻闭合回路的电功率等于a棒克服安培力做功的功率，即221211()2BlPBIlR解法二：a棒可等效为发电机，b棒可等效为电动机a棒的感应电动势为1aEBlv⑤闭合回路消耗的总电功率为aPIE⑥联立①②⑤⑥解得221211()2BlPBIlR解法三：闭合回路消耗的热功率为222212()22BlvvEPRR热b棒的机械功率为221222()2BlvvvPBIlvR机故闭合回路消耗的总电功率为PPP热机22121()2BlR说明：在单位时间t内，整个系统的功能关系和能量转化关系如下：7、解：⑴感应电流的大小和方向均不发生改变。因为金属棒滑到圆弧任意位置时，回路中磁通量的变化率相同。①⑵0—t0时间内，设回路中感应电动势大小为E0，感应电流为I，感应电流产生的焦耳热为Q，由法拉第电磁感应定律：2000BELtt②根据闭合电路的欧姆定律：REI0③由焦定律及②③有：RtBLRtIQ02042④⑶设金属进入磁场B0一瞬间的速度变v，金属棒在圆弧区域下滑的过程中，机械能守恒：221mvmgH⑤在很短的时间t内，根据法拉第电磁感应定律，金属棒进入磁场B0区域瞬间的感应电动势为E，则：7Et，xvt20()BLxLBt⑥由闭合电路欧姆定律及⑤⑥，求得感应电流：002tLgHRLBI⑦根据⑦讨论：I.当02tLgH时，I=0；II.当02tLgH时，002tLgHRLBI，方向为ab；III.当02tLgH时，gHtLRLBI200，方向为ba。8、解：⑴下落阶段匀速进入，受到向上的安培力，F=BaI①，下落时切割磁感线产生的感应电动势为：E=Bav2②，而感应电流为：I=ER③，匀速运动时受力平衡：mg=f+F④，联①～④式解得v2=(mg-f)RB2a2⑤⑵设磁场上边缘距线框所能到达的最高的距离为h，由动能定理知离开磁场的上升阶段：(mg+f)h=12mv12⑥下落阶段：(mg－f)h=12mv22⑦由以上⑤⑥⑦得：v1=RB2a2(mg)2－f2⑧⑶分析线框在穿越磁场的过程，设刚进入磁场时速度为v0，由功能关系有：12mv02－12mv12＝(mg+f)(a+b)+Q⑨由题设知v0=2v1⑩联⑧⑨⑩解得：Q=(mg+f)［3mR22B4a4(mg－f)－a－b］