第7章点集拓扑学练习题参考答案

1点集拓扑学练习题参考答案（第7章）一、单项选择题1、若拓扑空间X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个（）①lindeloff空间②正则空间③紧致空间④可分空间答案：③2、紧致空间中的每一个闭子集都是（）①非紧致子集②开集③紧致子集④以上都不对答案：③3、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（）①即开又闭子集②开集③闭集④以上都不对答案：③4、拓扑空间X的任何一个有限子集都是（）①闭集②紧致子集③非紧致子集④开集答案：②5、实数空间R的子集{1,2,3,4}A是（）①闭集②紧致子集③开集④非紧致子集答案：①②6、如果拓扑空间X的每个紧致子集都是闭集，则X是（）①2T空间②紧致空间③可数补空间④非紧致空间答案：①7、设X是拓扑空间，A是X的子集，则下列不正确的命题是()①.若A是序列紧致的，则A是可数紧致的②.A是列紧的当且仅当A是序列紧致的③.若A是可数紧致的，则A是列紧的④.若A是紧致的，则A是列紧的答案：②2二、填空题（每题1分）1、设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个.答案：紧致空间2、设X是一个拓扑空间，Y是X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个.答案：紧致子集3、设X是一个拓扑空间.如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个可数紧致空间4、设X是一个拓扑空间.如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是一个.答案：列紧空间5、设X是一个拓扑空间.如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X是一个.答案：序列紧致空间6.当X为___________________________空间，则X的闭集是紧致子集；X为___________________________空间，则X的紧致子集是闭集；7.X为__________________________________,且为序列紧空间时,X为可数紧空间.8.Yf]1,0[:为连续的满射，则Y是。（填Y具有哪些具体的紧致性、可数性、分离性等性质，写3个）三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、设,AB是拓扑空间X的两个紧致子集，则AB是一个紧致子集.()答案：√理由：设A是一个由X中的开集构成的AB的覆盖，由于A和B都是X的紧致子集，从而存在A的有限子族A1A2分别是A和B的覆盖，故12AA是A的有限子族且覆盖AB，所以AB是紧致子集.32、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.()答案：√理由：设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集，则对于任何xX，若xA，则易知x不是A的凝聚点，因此AA，从而A是一个闭集.四．简答题（每题4分）1、试说明紧致空间X的无穷子集必有凝聚点.答案：如果X的无穷子集的A没有凝聚点，则对于任意xX，有开邻域xU，使得(){}xUAx，于是X的开覆盖{|}xUxX没有有限子覆盖，从而X不是紧致空间，矛盾.故紧致空间X的无穷子集必有凝聚点.2、如果XY是紧致空间，则X是紧致空间.答案：考虑投射1:PXYX，由于1:PXYX是一个连续的满射，从而由XY紧致知X是一个紧致空间.3、试说明紧致空间X的每一个闭子集Y都是紧致子集.答案：如果A是Y的任意一个由X中的开集构成的覆盖，则{}YB=A是X的一个开覆盖.设1B是B的一个有限子族并且覆盖X.则1{}YB便是A的一个有限子族并且覆盖Y，从而Y是紧致子集.五、证明题（每题8分）1、设,XY是两个拓扑空间，:fXY是一个连续映射.如果A是X的一个紧致子集，证明()fA是Y的一个紧致子集.证明：设C是()fA的一个由Y中的开集构成的覆盖.对于任意CC，1()fC是X中的一个开集，由于()cCfAC,从而有：111()()(())CCfCfCffAACC所以A1()|fCCA={C}是一个由X中的开集构成的A的覆盖.由于A是X的一个紧致子集，所以A有一个有限子族，设为111{(),,()}nfCfC覆4盖A.因为11111()()()nnfCfCfCCA，从而1()nCCfA，即1{,,}nCC是C的一个子族并且覆盖()fA，因此()fA是Y的一个紧致子集.2、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集，XY.证明：如果AYA,则Y也是X的一个紧致子集.证明：设A是任意一个由X中的开集构成的Y的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员nAA,,1使得niiAA1.由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域U，使得niiAU1,从而有YAAnii1,从而A有有限子族},,{1nAA覆盖Y，因此Y是X的一个紧致子集.3、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集.证明：A也是X的一个紧致子集.证明：设A是任意一个由X中的开集构成的A的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员nAA,,1使得niiAA1.由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域U，使得niiAU1,从而有AAnii1,从而A有有限子族},,{1nAA覆盖A，因此A是X的一个紧致子集.4、设X是一个Hausdorff空间，A是它的一个非空集族，由X的紧致子集构成，证明：AAA是X的一个紧致子集.证明：对于任意A∈A，易知A是X的一个闭集，5从而AAA是X的一个闭集.取0AAA，则有0AAAA，由于0A是紧致的闭集，从而AAA是紧致子集0A一个闭子集，故（由紧致的闭遗传知）AAA也是X的一个紧致子集.5、设:fXY是连续的一一映射，其中X是紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，证明:fXY是一个同胚映射.证明：要证明:fXY是一个同胚映射，只需证明1:fYX连续，进而只需证明f是闭映射.设A是X的闭集，由X是紧致空间，从而A是X的一个紧致子集，故()fA是Y的一个紧致子集，由于Y是一个Hausdorff空间，因此()fA是Y的一个闭集，从而f是闭映射.6、证明Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭子集.证明：设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集，设对于任意xA，有x和A的开邻域U和V使得UV，从而({})UAx，故()xdA，所以()dAA，即A是一个闭集．