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第0章引论、预备知识§1微分方程数学来源于人类的社会生产活动。现代数学的产生和发展与力学、物理学、天文学等应用学科的发展相辅相成：它们为数学提出问题，而数学在解决这些问题的过程中所获得的更广泛、更深刻的结果反过来推动这些学科的发展。现实世界中绝大多数事物的内外联系是极其复杂的，其状态随着时间、地点、条件的不同而不同，我们只能通过对问题进行简化和作某些假定，从中找出其状态和状态的变化规律之间的关系，也即一些函数与它们的导数之间的关系，这种关系的数学表达就是微分方程分类：常微分方程（ODE）、偏微分方程（PDE）一．常见偏微分方程含未知函数12,,,,,0TnnuxtxxxxRt的偏导数的方程。Ex1：Laplace方程0u——描述力学、电学中的位势方程的解ux称为调和函数，例如力学、电学中的势函数。如果等号右端是一个给定的函数)(xf，则称为Poisson方程。即：ufxEx2：波动方程222,uauFxtt——描述声、光、力学中的波动问题Ex3：扩散方程、热传导方程,0uauFxtat——描述物质的扩散或热传导注：Ex2或Ex3中，若FFx，u与时间t无关，则方程可化为Ex1中的形式。与时间无关的情形称为定常情形。方程中出现的偏导的最高阶称为方程的阶。Ex4：其他方程重调和方程：20u（高阶）N-S方程：0ufupuutu（非线性）二．偏微分方程分类定常、非定常；线性、非线性线性PDE：方程中出现的未知函数及其导数都是线性的。拟线性PDE：方程对最高阶项是线性的。以二阶线性偏微分方程为例，简单回顾一下偏微分方程的分类：(,)xxxyyyxyaubucudueufuFxy记acb42，则000椭圆型：抛物型：双曲型：§2PDE的定解问题PDE的解一般很难用通解形式表示，需要在一些特定条件下求方程之解。这些特定条件称为定解条件，由方程和定解条件确定方程之解，称为定解问题。定解条件：边界条件：若在nR中某个区域内求解方程，一般需给出u在的边界上的条件|u，称为边界条件。)(|)],(),([Robin/)(|),()(|),(tgtxuntxutgntxuNeumanntgtxuDirichlet混合）：第三边界条件（）：第二边界条件（）：第一边界条件（初始条件：若PDE含时间变量，一般需给出u在超平面0tt的条件00|,ttuuxt，称为初始条件。定解问题：泛定方程+定解条件边值问题、初值问题（Cauchy问题或无边界问题）、混合问题。§3数值求解微分方程如果能找到一个（或一族）具有所要求阶连续导数的解析函数，将它代入微分方程（组）中，恰好使得方程（组）的所有条件都得到满足，我们就将它称为这个方程（组）的解析解（也称古典解）。寻找解析解的过程称为求解微分方程。微分方程的解在数学意义上的存在性可以在非常一般的条件下得到证明，这已有许多重要的结论。然而一般而言，找出解的解析式对大部分问题是不可能的。人们往往也只关心某个定义范围内，对应某些特定的自变量的解的取值或是近似值。这样一组数值称为这个微分方程在该范围内的数值解，寻找数值解的过程称为数值求解微分方程。数值求解过程：1．区域刨分把整个定义域分成若干个小块，以便对每小块上的点或片求出近似值，这样按一定规律对定义域分切的过程称为区域剖分。2．微分方程的离散区域剖分完毕后，依据原来的微分方程去形成关于这些离散点或片的函数值的递推公式或方程。这时它们的未知量已不是一个连续函数，而成了若干个离散的未知值的某种组合了，这个步骤称为微分方程离散。3．初始和边界条件处理离散后系统是一个递推公式，那它需要若干个初值才能启动。若是一个方程组，那它所含的方程个数一般少于未知量的个数，要想求解还需要补充若干个方程。这些需要补充的初值和方程往往可以通过微分方程的初始条件和边界条件来得到，这就是初始和边界条件处理过程。4．离散系统的性态研究（误差分析）这个系统是否可解，即解的存在性、唯一性问题；它与精确解的差距有多大，这个差距当区域剖分的尺寸趋于零时，是否也会趋于零，趋于零的速度多快，即解的收敛性和收敛速度问题；当外界对数据有所干扰时，所得的解是否会严重背离离散系统的固有的解，即解的稳定性问题。误差的来源：1．模型误差在将实际问题归结为数学模型时需要对问题作一定的简化和假设，由此产生的误差叫模型误差。2．观测误差数学模型中需要用到的一些系数，初值等常数来自于测量仪器或统计资料，由于客观条件和仪器精度的限制不可避免有误差，这被称为观测误差。3．截断误差将数学模型离散化时由于舍弃一些次要的项而导致的模型问题真解与离散问题真解的误差称为截断误差。4．舍入误差在上机实际计算中，由于计算机对所运算的对象按计算机字长四舍五入而产生的最终计算解与离散问题真解的误差是舍入误差。现实问题数学模型离散格式数值解建模离散计算模型误差观测误差截断误差舍入误差