第7章第2节空间几何体的表面积与体积

2010~2014年高考真题备选题库第7章立体几何第2节空间几何体的表面积与体积1．（2014陕西，5分）已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A.32π3B．4πC．2πD.4π3解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝1212＋12＋22＝1，所以V球＝4π3×13＝4π3.故选D.答案：D2．（2014山东，5分）三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则V1V2＝________.解析：如图，设点C到平面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，则V2＝13Sh，V1＝VE－ADB＝13×12S×12h＝112Sh，所以V1V2＝14.3．（2014江苏，5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且S1S2＝94，则V1V2的值是________．解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r1，r2，母线长分别是l1，l2.则由S1S2＝94可得r1r2＝32.又两个圆柱的侧面积相等，即2πr1l1＝2πr2l2，则l1l2＝r2r1＝23，所以V1V2＝S1l1S2l2＝94×23＝32.答案：324．（2013新课标全国Ⅰ，5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A.500π3cm3B.866π3cm3C.1372π3cm3D.2048π3cm3解析：本题考查正方体和球组成的组合体、球的体积的计算，意在考查考生的空间想象能力、转化化归能力以及运用体积公式进行计算的能力．解题时，先根据已知条件分析出正方体的上底面到球心的距离为(R－2)cm(其中R为球半径)，再利用球半径、球心距和截面圆半径构成的直角三角形求出球半径，进而计算出球的体积．设球半径为Rcm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面的距离为(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝43πR3＝43π×53＝500π3cm3，选择A.答案：A5．（2013辽宁，5分）已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310解析：本题主要考查多面体、球等基本概念以及如何根据组合体中的位置关系进行准确计算，意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力以及转化思想．如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝522＋62＝132.答案：C6．（2012新课标全国，5分）已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22解析：在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝4－1＝3；同理SB＝3.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝12SA＝32，则△ABD的面积为12×1×AD2－122＝24，则三棱锥的体积为13×24×2＝26.答案：A7.（2012江西，5分）如右图，已知正四棱锥S－ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE＝x(0x1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数y＝V(x)的图像大致为()解析：(1)当0x12时，过E点的截面为五边形EFGHI(如图1所示)，连接FI，∵SC与该截面垂直，∴SC⊥EF，SC⊥EI，∴EF＝EI＝SEtan60°＝3x，SI＝2SE＝2x，IH＝FG＝BI＝1－2x，FI＝GH＝2AH＝22x，∴五边形EFGHI的面积S＝FG×GH＋12FI×EF2－12FI2＝22x－32x2，∴V(x)＝VC－EFGHI＋2VI－BHC＝13(22x－32x2)×CE＋2×13×12×1×(1－2x)×22(1－2x)＝2x3－2x2＋26，其图像不可能是一条线段，故排除C，D.(2)当12≤x1时，过E点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG，则EG＝EF＝ECtan60°＝3(1－x)，CG＝CF＝2CE＝2(1－x)，三棱锥E－FGC底面FGC上的高h＝ECsin45°＝22(1－x)，∴V(x)＝13×12CG·CF·h＝23(1－x)3，∴V′(x)＝－2(1－x)2，又显然V′(x)＝－2(1－x)2在区间(12，1)上单调递增，V′(x)0(x∈(12，1))，∴函数V(x)＝23(1－x)3在区间(12，1)上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B，应选A.答案：A8．（2011辽宁，5分）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为()A．33B．23C.3D．1解析：由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S－ABD和C－ABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝33x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中，BD＝3(4－x)，所以33x＝3(4－x)，所以x＝3，AD＝BD＝3，所以三角形ABD为正三角形，所以V＝13S△ABD×4＝3.答案：C9.（2012山东，4分）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．解析：因为E点在线段AA1上，所以S△DED1＝12×1×1＝12，又因为F点在线段B1C上，所以点F到平面DED1的距离为1，即h＝1，所以VD1－EDF＝VF－DED1＝13×S△DED1×h＝13×12×1＝16.答案：16