第7章衍射

1第七章光的衍射P261．7．17．27．3在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长λ1和λ2，并垂直入射于单缝上．假如λ1的第一级衍射极小与λ2的第三级衍射极小相重合，试问：（1）这两种波长之间有什么关系；（2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？[解答]（1）单缝衍射的暗条纹形成条件是δ=asinθ=±k'λ，(k'=1,2,3,…)，k1'=1和k2'=3的条纹重合时，它们对应同一衍射角，由于因此λ1=3λ2．（2）当其他极小重合时，必有k1'λ1=k2'λ2，所以k2'=3k1'，当k1'=2时k2'=6，可见：还有其他极小重合．7．4单缝的宽度a=0.40mm，以波长λ=589nm的单色光垂直照射，设透镜的焦距f=1.0m．求：（1）第一暗纹距中心的距离；（2）第二明纹的宽度；（3）如单色光以入射角i=30º斜射到单缝上，则上述结果有何变动？[解答]（1）单缝衍射的暗条纹分布规律是fyka，(k'=1,2,3,…)，当k'=1时，y1=fλ/a=1.4725(mm)．（2）除中央明纹外，第二级明纹和其他明纹的宽度为Δy=yk'+1-yk'=fλ/a=1.4725(mm)．（3）当入射光斜射时，光程差为δ=asinθ–asinφ=±k'λ，(k'=1,2,3,…)．当k'=1时，可得sinθ1=sinφ±λ/a=0.5015和0.4985，cosθ1=(1–sin2θ1)1/2=0.8652和0.8669．两条一级暗纹到中心的距离分别为y1=ftanθ1=579.6(mm)和575.1(mm)．当k'=2时，可得sinθ2=asinφ±2λ/a=0.5029和0.4971，cosθ2=(1–sin2θ2)1/2=0.8642和0.8677．φθaO2两条二级暗纹距中心的距离分别为y2=ftanθ2=581.9(mm)和572.8(mm)．第二明纹的宽度都为Δy=y2–y1=2.3(mm)，比原来的条纹加宽了．7．5一单色平行光垂直入射于一单缝，若其第三级衍射明纹位置正好和波长为600nm的单色光垂直入射该缝时的第二级衍射明纹位置一样，求该单色光的波长．[解答]除了中央明纹之外，单缝衍射的条纹形成的条件是sin(21)2ak，(k=1,2,3,…)．当条纹重合时，它们对应同一衍射角，因此(2k1+1)λ1=(2k2+1)λ2，解得此单色光的波长为12122121kk=428.6(nm)．7．67．7一衍射光栅，每厘米有400条刻痕，刻痕宽为1.5×10-5m，光栅后放一焦距为1m的的凸透镜，现以λ=500nm的单色光垂直照射光栅，求：（1）透光缝宽为多少？透光缝的单缝衍射中央明纹宽度为多少？（2）在该宽度内，有几条光栅衍射主极大明纹？[解答]（1）光栅常数为a+b=0.01/400=2.5×10-5(m)，由于刻痕宽为b=1.5×10-5m，所以透光缝宽为a=(a+b)–b=1.0×10-5(m)．对于宽度为a的单缝来说，暗纹形成的条件是asinθ=±2k'(λ/2)=±k'λ，当θ很小时，θ=sinθ=tanθ=y/f，因此暗纹的位置是fyka，(k'=1,2,3,…)，取k'=1，得一级暗纹的位置y±1=fλ/a=50(mm)．因此中央明纹的宽度为Δy0=2y1=2fλ/a=100(mm)．（2）对于光珊来说，形成明纹的必要条件是(a+b)sinθ=kλ，在衍射的中央明纹范围内，光珊衍射的最高级数为1max()()sinabyabkfaba=2.5，取整数2，可知光珊衍射在单缝衍射中央有3k=0,±1,±2共5条主极大明纹．另外，根据缺级条件k/k'=(a+b)/a=2.5=5/2，可知：光栅干涉的第5级明纹出现在单缝衍射的第2级暗纹处，因而缺级；其他4根条纹近似等角度分布，各有两根在单缝衍射的中央明纹和一级明纹中．根据对称性，一级干涉明纹有两条，二级干涉明纹也有两条，包括中央明纹，共有5条干涉主极大明纹在单缝衍射的中央明纹宽度内．7．8波长为600nm的单色光垂直入射在一光栅上，第二、第三级主极大明纹分别出现在sinθ=0.2及sinθ=0.3处，第四级缺级，求：（1）光栅常数；（2）光栅上狭缝的宽度；（3）屏上一共能观察到多少根主极大明纹[解答]（1）（2）根据缺级条件(a+b)/a=k/k'，由题意得k'=1，k=4．解得b=3a．再根据光栅方程(a+b)sinθ=kλ，可得狭缝的宽度为a=kλ/4sinθ，将k=2，sinθ=0.2或将k=3，sinθ=0.3代入上式，可得a=1500(nm)．刻痕的宽度为b=3a=4500(nm)，光栅常数为a+b=6000(nm)．（3）在光栅方程中a+b)sinθ=kλ，令sinθ=1，得k=(a+b)/λ=10．由于θ=90°的条纹是观察不到的，所以明条纹的最高级数为9．又由于缺了4和8级明条纹，所以在屏上能够观察到2×7+1=15条明纹．7．9以氢放电管发出的光垂直照射在某光栅上，在衍射角θ=41º的方向上看到λ1=656.2nm和λ2=410.1nm的谱线重合，求光栅常数的最小值是多少？[解答]根据光栅方程得(a+b)sinθ=k1λ1，和(a+b)sinθ=k2λ2，因此k2/k1=λ1/λ2=1.6=16/10=8/5，可见：k1最小取5，k2最小取8．因此最小光栅常数为4a+b=k1λ1/sinθ=5000(nm)．此题与第四题的解法相同．7．107．11白光中包含了波长从400nm到760nm之间的所有可见光谱，用白光垂直照射一光栅，每一级衍射光谱是否仍只有一条谱线？第一级衍射光谱和第二级衍射光谱是否有重叠？第二级和第三级情况如何？[解答]由于白光是连续光谱，经过光栅衍射之后仍然是连续光谱，所以每一级衍射光谱都是一条光谱带，而不是一条光谱线．根据光栅方程(a+b)sinθ=kλ，如果两种不同级的单色光重叠，它们的衍射角应该相同．假设某波长可见光的2级衍射谱线与波长最长的可见光的一级谱线重叠，即2λ=1×760，可得λ=380nm，由于该波长比波长最短的可见光的波长400nm还要短，可知：第一级衍射光谱和第二级衍射光谱没有重叠．假设某波长可见光的3级衍射谱线与波长最长的可见光的二级谱线重叠，即3λ=2×760，可得λ=507nm，该波长在可见光的波长之内，可知：第二级衍射光谱和第三级衍射光谱有重叠．反过来，假设波长最短的可见光的3级衍射谱线与某波长的可见光的二级谱线重叠，即3×400=2λ'，可得λ'=600nm，可知：第二级衍射光谱在600~760nm的波长范围与第三级衍射光谱在400~507nm波长范围有重叠．7．9迎面开来的汽车，其两车灯相距为1m，汽车离人多远时，两灯刚能为人眼所分辨？（假定人眼瞳孔直径d为3mm，光在空气中的有效波长为λ=500nm）[解答]人眼的最小分辨角为θ0=1.22λ/D=2.033×10-4(rad)，当车很远时θ0=w/l，所以距离为l=w/θ0=4918(m)．7．127．137．14在X射线衍射实验中，用波长从0.095nm到0.130nm连续的X射线以30º角入射到晶体表面．若晶体的晶格常数d=0.275nm，则在反射方向上有哪些波长的X射线形成二级光谱三级光谱400~507nm600~760nm760nm400nm5衍射极大？[解答]30º是入射角，因此掠射角为θ=90º-30º=60º．根据布喇格公式2dsinθ=kλ，得X射线形成衍射极大的波长为λ=2dsinθ/k，(k=1,2,3,…)．数值和结果如表所示．7．4以某放电管发出的光垂直照射到一个光栅上，测得波长λ1=669nm的谱线的衍射角θ=30º．如果在同样的θ角处出现波长λ2=446nm的更高级次的谱线，那么光栅常数最小为多少？[解答]根据光栅方程得(a+b)sinθ=k1λ1，和(a+b)sinθ=k2λ2，可得k1λ1=k2λ2，因此k2/k1=λ1/λ2=3/2，可见：k1最小取2，k2最小取3．因此最小光栅常数为a+b=k1λ1/sinθ=2676(nm)．这个最小光珊常数也可以下式计算：a+b=k2λ2/sinθ．级数k123456波长λ(nm)0.4760.2380.1590.1190.0950.079是否所求NoNoNoYesYesNo