第7讲函数的奇偶性(艺考生专用)

梅花香自苦寒来宝剑锋从磨砺出坚持吧，因为美好的生活将要实现了！1★谨以此案赠送给有梦想的学子第七讲函数的奇偶性◆知识精要1.规定：一个函数的图象关于y轴对称，这个函数就是偶函数，一个函数的图象关于坐标原点对称，这个函数就是奇函数.⑴观察上面五个函数的图象，指出哪些是偶函数，哪些是奇函数？⑵思考：如果一个函数是偶函数，观察)(xf与)(xf的大小关系？如果一个函数是奇函数，观察)(xf与)(xf的大小关系？2.总结出函数奇、偶性的定义：偶函数：一般地，如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么)(xf就叫做偶函数．奇函数：一般地，如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有()()fxfx，那么f(x)就叫做奇函数．说明：⑴奇、偶函数的定义域都关于y轴对称，其图象也关于y轴对称.⑵如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.⑶如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.梅花香自苦寒来宝剑锋从磨砺出坚持吧，因为美好的生活将要实现了！2⑷由定义知，判断一个函数的奇偶性时，其步骤如下：①观察其定义域是否关于y轴对称；②求出)(xf，观察)(xf与)(xf是否相等，如果不等，将)(xf的解析式提取“-”号，再观察提取“-”号后的解析式是否与)(xf相等；③根据定义作出判断，如果)()(xfxf，则)(xf为偶函数，如果()()fxfx，则)(xf为奇函数.3.奇偶性的判断例1判别下列函数的奇偶性：（1）34()fxx；（2）43()fxx；（3）42()35fxxx；（4）331()fxxx.考考你：判别下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝|x＋1|+|x－1|；（2）f(x)＝x＋1x；（3）f(x)＝21xx；（4）f(x)＝x2,x∈[-2,3].4.已知一个函数的奇偶性，怎样求参数的值.例2已知函数)127()2()1()(22mmxmxmxf为偶函数，则m的值是（）梅花香自苦寒来宝剑锋从磨砺出坚持吧，因为美好的生活将要实现了！3A.1B.2C.3D.4说明：这类题目的解决的办法：⑴求出)(xf，如果条件是)(xf为偶函数，则使)()(xfxf，比较对应系数相等，求出参数的值；如果条件是)(xf为奇函数，则使)()(xfxf，比较对应系数相等，求出参数的值；⑵经验总结：如果)(xf为偶函数，则其解析式中奇次项的系数“等于0”，如果)(xf为奇函数，则其解析式中偶次项的系数“等于0”.该你大显身手了：⑴若函数2()1xafxxbx在1,1上是奇函数,则()fx的解析式为________.⑵求函数y=cxbax2为奇函数的时，a、b、c所满足的条件。4.一个函数的奇偶性与单调性的关系：我们通过图像观察得知：如果一个函数是偶函数，它的单调性关于y轴对称；如果一个函数是奇函数，它的单调性在y轴两侧相同.说明：解决这类题目，我们通常根据条件采取作简图的方法，完成题目.例3已知)(xf是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断)(xf在[b,a]上的单调性.例4如果偶函数在],[ba具有最大值，那么该函数在],[ab有（）A.最大值B.最小值C.没有最大值D.没有最小值考考你：1．若偶函数)(xf在1,上是增函数，则下列关系式中成立的是（）梅花香自苦寒来宝剑锋从磨砺出坚持吧，因为美好的生活将要实现了！4A．)2()1()23(fffB．)2()23()1(fffC．)23()1()2(fffD．)1()23()2(fff2．如果奇函数)(xf在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么)(xf在区间3,7上是（）A．增函数且最小值是5B．增函数且最大值是5C．减函数且最大值是5D．减函数且最小值是53.奇函数()fx在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1，则2(6)(3)ff__________.5.利用函数的奇偶性，求函数的解析式例5已知定义在R上的奇函数()fx，当0x时，1||)(2xxxf，那么0x时，()fx.说明：根据奇偶性条件求函数解析式，方法如下，⑴求哪个区间上的解析式，就在哪个区间上设自变量x；⑵在x前面添加“-”号，发现x在条件中给出的已知区间内，代入求出)(xf；⑶根据奇偶性条件，找出)(xf与)(xf之间的关系，得到所求函数的解析式.考考你：⑴设()fx在R上是奇函数，当0x时，()(1)fxxx，求当0x时，()fx的表达式.⑵已知()fx是奇函数，()gx是偶函数，且1()()1fxgxx，求()fx、()gx.梅花香自苦寒来宝剑锋从磨砺出坚持吧，因为美好的生活将要实现了！5（提示：我们可以把1()()1fxgxx看作是以()fx，()gx为未知数的二元方程，根据奇偶性条件，再建立一个以()fx，()gx为未知数的二元方程，两个方程联立便可求出()fx，()gx的解析式）6.根据奇偶性条件，解“抽象不等式”说明：解决这类题目，表面上看起来比较难，实际上却很容易，这是因为解决这类题目的方法是死板的，同学们只要在理解的基础上记着解题过程就行了，其解题步骤如下：⑴第一步：根据定义域结合“取代思想”列出不等式；⑵第二步：对原不等式进行变形，必须化成“(?)f与(?)f”之间的关系；⑶第三步：最后根据单调性列出不等式，将这个不等式与之间的不等式联立，解这个不等式组，求出参数的取值.例5已知函数()fx的定义域是),0(，且满足()()()fxyfxfy,1()12f,如果对于0xy,都有()()fxfy,（1）求(1)f；（2）解不等式2)3()(xfxf。考考你：设定义在［－2,2］上的偶函数)(xf在区间［0,2］上单调递减，若)()1(mfmf，求实数m的取值范围．◆精选作业一、选择题梅花香自苦寒来宝剑锋从磨砺出坚持吧，因为美好的生活将要实现了！61.对于定义域是R的任意奇函数()fx有（）.A．()()0fxfxB．()()0fxfxC．0)()(xfxfD．(0)0f2.已知()fx是定义(,)上的奇函数，且()fx在0,上是减函数.下列关系式中正确的是（）A.(5)(5)ffB.(4)(3)ffC.(2)(2)ffD.(8)(8)ff3.下列说法错误的是（）.A.1()fxxx是奇函数B.()|2|fxx是偶函数C.()0,[6,6]fxx既是奇函数，又是偶函数D.32()1xxfxx既不是奇函数，又不是偶函数4.函数()|2||2|fxxx的奇偶性是.5.已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是函数，且最值为.6．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（）A．31a，b＝0B．a＝－1，b＝0C．a＝1，b＝0D．a＝3，b＝07．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（）A．y＝x（x－2）B．y＝x（｜x｜－1）C．y＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）8．已知8)(35bxaxxxf，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（）A．－26B．－18C．－10D．109．设)(xf是定义在R上的一个函数，则函数)()()(xfxfxF在R上一定是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数。10．下列函数中,在区间0,1上是增函数的是（）A．xyB．xy3C．xy1D．42xy11．函数)11()(xxxxf是（）A．是奇函数又是减函数B．是奇函数但不是减函数C．是减函数但不是奇函数D．不是奇函数也不是减函数二、填空题12．设奇函数)(xf的定义域为5,5，若当[0,5]x时，梅花香自苦寒来宝剑锋从磨砺出坚持吧，因为美好的生活将要实现了！7)(xf的图象如右图,则不等式()0fx的解是13．函数21yxx的值域是________________。14．已知[0,1]x，则函数21yxx的值域是.15．若函数2()(2)(1)3fxkxkx是偶函数，则)(xf的递减区间是.16．下列四个命题（1）()21fxxx有意义;（2）函数是其定义域到值域的映射;（3）函数2()yxxN的图象是一直线；（4）函数22,0,0xxyxx的图象是抛物线，其中正确的命题个数是____________。三、解答题17．判断一次函数,bkxy反比例函数xky，二次函数cbxaxy2的单调性.18．已知函数()fx的定义域为1,1，且同时满足下列条件：（1）()fx是奇函数；（2）()fx在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,fafa求a的取值范围。19．利用函数的单调性求函数xxy21的值域；20．已知函数2()22,5,5fxxaxx.①当1a时，求函数的最大值和最小值；②求实数a的取值范围，使()yfx在区间5,5上是单调函数.