第7讲立体几何中的向量方法(一)(教师版)

1第7讲立体几何中的向量方法(一)【高考会这样考】1．通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算．2．能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理．3．利用空间向量求空间距离．【复习指导】本讲复习中要掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，会用向量法求空间距离．基础梳理1．空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则：①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|AB→|＝a2－a12＋b2－b12＋c2－c12.2．立体几何中的向量方法(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB→为直线l的方向向量，与AB→平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0，n·b＝0.(2)用向量证明空间中的平行关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.(3)用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.(4)点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝|AB→·n||n|.一种思想2向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范，是对向量大小和方向的量化：(1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标；(2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标．得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题．三种方法主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题：(1)平行直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行(2)垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直(3)点到平面的距离求点到平面距离是向量数量积运算(求投影)的具体应用，也是求异面直线之间距离，直线与平面距离和平面与平面距离的基础．双基自测1．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0,－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是()．A．平行B．相交C．垂直D．不确定2．已知平面α内有一个点M(1,－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6,－3,6)，则下列点P中在平面α内的是()．A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3,－3,4)3．已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则AP→·AB→＝0，且AP→·AC→＝0是AP→·BC→＝0的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知a＝(－2,－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4,－6,2)，则下列结论正确的是()．A．a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对5．已知AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．考向一利用空间向量证明平行问题【例1】►如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.[审题视点]直接用线面平行定理不易证明，考虑用向量方法证明．证明法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M0，1，12，N12，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN→＝12，0，12，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·DA1→＝0，且n·DB→＝0，得x＋z＝0，x＋y＝0.取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN→·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN→⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.法二MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12(D1A1→－D1D→)＝12DA1→，∴MN→∥DA1→，又∵MN与DA1不共线，∴MN∥DA1，又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积3为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题．【训练1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.证明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)．∴PB→＝(2,0，－2)，FE→＝(0，－1,0)，FG→＝(1,1，－1)，设PB→＝sFE→＋tFG→，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴t＝2，t－s＝0，－t＝－2，解得s＝t＝2.∴PB→＝2FE→＋2FG→，又∵FE→与FG→不共线，∴PB→、FE→与FG→共面．∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.考向二利用空间向量证明垂直问题【例2】►在棱长为1的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系O­xyz.(1)求证A1F⊥C1E；(2)若A1，E，F，C1四点共面，求证：A1F→＝12A1C1→＋A1E→.[审题视点]本题已建好空间直角坐标系，故可用向量法求解，要注意找准点的坐标．证明(1)由已知条件A1(1,0,1)，F(1－x,1,0)，C1(0,1,1)，E(1，x,0)，A1F→＝(－x,1，－1)，C1E→＝(1，x－1，－1)，则A1F→·C1E→＝－x＋(x－1)＋1＝0，∴A1F→⊥C1E→，即A1F⊥C1E.(2)A1F→＝(－x,1，－1)，A1C1→＝(－1,1,0)，A1E→＝(0，x，－1)，设A1F→＝λA1C1→＋μA1E→，－x＝－λ，1＝λ＋μx，－1＝－μ，解得λ＝12，μ＝1.∴A1F→＝12A1C1→＋A1E→.证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．【训练2】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.证明AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．(1)∵∠ABC＝60°，△ABC为正三角形．∴C12，32，0，E14，34，12.设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得AC→·CD→＝0，即y＝233，则D0，233，0，∴CD→＝－12，36，0.又AE→＝14，34，12，4∴AE→·CD→＝－12×14＋36×34＝0，∴AE→⊥CD→，即AE⊥CD.(2)法一∵P(0,0,1)，∴PD→＝0，233，－1.又AE→·PD→＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD→⊥AE→，即PD⊥AE.AB→＝(1,0,0)，∴PD→·AB→＝0，∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面AEB.法二AB→＝(1,0,0)，AE→＝14，34，12，设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则x＝0，14x＋34y＋12z＝0，令y＝2，则z＝－3，∴n＝(0,2，－3)．∵PD→＝0，233，－1，显然PD→＝33n.∵PD→∥n，∴PD→⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.考向三利用向量求空间距离【例3】►在三棱锥SABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝23，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示，求点B到平面CMN的距离．[审题视点]考虑用向量法求距离，距离公式不要记错．解取AC的中点O，连接OS、OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.如图所示，建立空间直角坐标系O­xyz，则B(0,23，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,22)，M(1，3，0)，N(0，3，2)．∴CM→＝(3，3，0)，MN→＝(－1,0，2)，MB→＝(－1，3，0)．设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则CM→·n＝3x＋3y＝0，MN→·n＝－x＋2z＝0，取z＝1，则x＝2，y＝－6，∴n＝(2，－6，1)．∴点B到平面CMN的距离d＝|n·MB→||n|＝423.点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法，如本题，事实上，作BH⊥平面CMN于H.由BH→＝BM→＋MH→及BH→·n＝n·BM→，得|BH→·n|＝|n·BM→|＝|BH→|·|n|，所以|BH→|＝|n·BM→||n|，即d＝|n·BM→||n|.【训练3】如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝23.(1)求点A到平面MBC的距离；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．解取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.取O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图．OB＝OM＝3，则各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,0，3)，B(0，－3，0)，A(0，－3，23)．5(1)设n＝(x，y，z)是平面MBC的法向量，则BC→＝(1，3，0)，BM→＝(0，3，3)，由n⊥BC→得x＋3y＝0；由n⊥BM→得3y＋3z＝0.取n＝(3，－1,1)，BA→＝(0,0,23)，则d＝|BA→·n||n|＝235＝2155.(2)CM→＝(－1,0，3)，CA→＝(－1，－3，23)．设平面ACM的法向量为n1＝(x，y，z)，由n1⊥CM→，n1⊥CA→得－x＋3z＝0，－x－3y＋23z＝0，解得x＝3z，y＝z，取n1＝(3，1,1