第8章_静电场_第789节

第七节静电场中的导体导体的特点是，其内存在着大量自由电荷（电子海），在没有外加电场时，这些自由电荷作无规则的热运动。在外加电场的作用下，自由电荷发生移动，从而改变电荷的分布，与此同时，电荷分布的改变又会影响电场的分布，两者之间互相影响，相互制约，最终达到新的平衡。静电场中导体的几个特点：1、均匀导体达到静电平衡后，其体内电场处处为0。在外加电场E0的作用下，会使导体的一端带正电，另一端带负电，这就产生一个附加电场E’，只有当E＝E0＋E’＝0时，自由电荷便不再移动，即达到平衡。由此得到两点推论：i．导体是个等势体，导体表面是个等势面。证明：在导体内任意选择两点：a，b，∵E＝0∴0babauEdlii．电力线与导体表面垂直。2、电荷只分布在导体的表面。证明：取一个完全在导体内部的闭合高斯面S，∵E＝0∴∯E·dS＝q/ε0＝0∴q＝03、导体表面电荷密度与电场强度的关系为：E＝σ/ε0证明：在导体表面作一微小的圆柱型高斯面，其轴与导体表面垂直，两端面和导体表面平行，上端面在导体外，下端面在导体内，包围的电量为：σdS∵电场与导体表面垂直∴小高斯的侧面电通量为0；∵导体内电场为0，∴下端面电通量为0∴∯E·dS＝EdS＝σdS/ε0∴E＝σ/ε04、导体内的电荷在尖端处密度大，电场强；在平坦的地方次之，凹进的地方最弱。5、导体壳i腔内无电荷此时相当于将导体的内部挖去，导体内本来就没有电荷，＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋∴对原来的电场没有影响。由此得到的结论：a导体壳内表面上没有电荷，电荷只分布在外表面；b导体壳腔内没有电场，腔内的电位为常数。ii腔内有电荷壳的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为0。证明：在导体壳内作一高斯面，∵导体内E＝0∴∯E·dS＝0书中例题8.28(p.332)带电量为＋q的导体球和与它同心的带电量为－Q(Qq)的导体球壳组成一导体组。求：达到平衡时，各表面上电荷分布。解：静电感应，球壳内表面感应出负电荷－q’。在导体壳内作一同心高斯面球面，因为导体内电场强度为0，∴∯E·dS＝0∴q－q’＝0∴球壳外表面电量Q’＝q－Q书中例题8.27(p.331)两平行导电板，面积为S，间距为d，且Sd2，带电量分别为qa和qb求：静电平衡时，各面上电荷的面密度。解：导体表面上的电荷面密度分别为：σ1、σ2、σ3、σ4，由电荷守恒：σ1S＋σ2S＝qAσ3S＋σ4S＝qBPA和PB分别在金属板内，这两点的电场强度为0。电荷分布在金属板的表面，对每一个表面单独存在时产生的电场可由高斯定理求得：由电场的对称性得E左dS＋E右dS＝σdS/ε0E左＝E右＝σ/2ε0PA和PB两点的电场强度为四个带电面的叠加。EPA＝σ1/2ε0－σ2/2ε0－σ3/2ε0－σ4/2ε0＝0EPB＝σ1/2ε0＋σ2/2ε0＋σ3/2ε0－σ4/2ε0＝0整理得：σ1＋σ2＝qA/Sσ3＋σ4＝qB/Sσ1σ2σ3σ4PAPBqAqB＋＋＋＋＋＋＋σ1－σ2－σ3－σ4＝0σ1＋σ2＋σ3－σ4＝0解之得σ1＝σ4＝(qA＋qB)/2Sσ2＝－σ3＝(qA－qB)/2S孤立导体的电容一个带电量为Q的孤立导体，具有一定的电势。带电量增加时，其电势也随之增加，带电量与电势之比：C＝q/uC定义为孤立导体的电容，即：使导体升高单位电势所需的电量。电容单位：法拉＝库伦/伏特对于半径为R的孤立导体球，带有电量Q，选无穷远处为电势0点，其电势为：014QuR其电容为：C＝Q/u＝4πε0R由此式看出，电容C与q，u无关，其值取决于导体的形状和大小。正如水桶的容量与水和水位无关，取决于水桶的大小和形状。电容器的电容孤立导体的电势是受外界条件影响的。用电屏蔽的方法，用一个封闭的导体壳B把带电导体A包围起来，使电场集中在两极板之间，这时两极板的电位差就不受外界条件影响。如此构成一个电容器。电容器的电容定义为：AABqCuu电容器的电容与极板大小、形状、相对位置及介质有关。书中例题8.29(P.334)求：平行板电容器的电容。解：平行板电容器的面积很大，间距很小，边界效应可以忽略。平行板电容器的电场集中在极板之间，电容器外没有电场，可作一高斯面，只有电容器内的面元有电通量EdS，包围的电荷σdS，由高斯定理可得E＝σ/ε0两极板的电势差为：1200qduuEddS电容器的电容：012SqCuud平行板电容器的电容与极板面积S成正比，与间距d成反比。增大电容就要增大面积，减小间距。σ＋σ－书中例题8.30(P.334)由两个同心导体球组成的电容器，半径分别为R1、R2，带电量分别为＋q和－q。求：球形电容器的电容。解：由高斯定理可求出电场强度为：2014qEr2211211220012144RRRRRRqquuEdldrrRR电容器的电容：01212214RRqCuuRR球形电容器的电容与两球的半径有关。书中例题8.31(P.335)由两个同轴导体圆柱组成的电容器，半径分别为R1、R2，长度LR2－R1带电量分别为＋q和－q。求：球形电容器的电容。解：由高斯定理可求出电场强度为：02qELr22112120011ln22RRRRRqquuEdldrLrLR电容器的电容：012212ln(/)LqCuuRR书中例题8.32(P.335)由两个半径为a的平行长直导线，轴间距离为da。线电荷密度分别为＋λ和－λ。求：单位长度平行直导线之间的电容。解：由高斯定理可求出直导线在P点产生的电场强度大小分别为：02Ex和02()EdxE＋和E－的方向一致，所以：0112Exdx21210011ln2daduuEdldxxdxa电容器的电容：012ln(/)qCuuda任何导体之间都存在着电容，在电子线路中，这种电容称为分布电容，一般情况下分布电容值很小，可忽略不计，但在高频电路中，需要考虑分布电容。dxd-xPu1u2第八节电场能量给电容器充电的过程，是电源把电荷从负极板移到正极板的过程，这一过程需要作功。电源需要消耗其它形式的能量来完成这一作功的过程。在电源的作用下，电荷不断地从B板移到A板，在时间t内，移动了电荷q(t)，这时极板间的电势差为：u(t)＝q/C继续从B板移动电荷dq到A板，需要作功dA：qdAudqdqC从极板上没有电荷直到极板上带有电荷Q，电源所作的功为：202QqQAdAdqCC由于Q＝CU，A可以写成：2211222QACUQUC电源所作的功转换成电容器中电场储存的能量W2211222QWCUQUCQ＋BQ－Adq对于平行板电容器，U＝Ed，C＝ε0S/d∴22200111222WCUESdEV其中V为电容器中电场遍及的空间体积。电能密度：单位体积中的电能。2012WwEV由上式看出，电能密度只与电场强度E有关，与电荷Q、电容C无关。这说明电场中的能量是电场本身固有的。只要存在电场，就存在能量。与电荷无关，电荷的作用是能够产生电场。上式虽然是从平行板电容器中储存的能量导出的，但它是普遍成立的。对于不均匀电场，取一体元dV，该点的电场能量密度为w，则体元dV中储存的静电能为：dW＝wdV，整个电场中的静电能为：W＝∫vdw＝∫v½ε0E2dv正负电荷合在一起时，空间没有场，也没有电场能。＋＋用外力把正负电荷分开，就需要克服库伦力作功，同时在正负电荷之间产生电场。库伦力是保守力，外力所作的功就以电场能的形式储存在电场中。在这个过程中，正负电荷并没有发生变化，只是其分布有变化。书中例题8.33(P.338)半径为a，带电量为q的孤立金属球，求：它所产生的电场储存的静电能。解：由高斯定理可求出电场强度2014qEr半径为r，厚度为dr的球壳中的静电能为：22022020220142114248dWwdVErdrqrdrrqdrr整个空间中电场的能量为a到∞的积分22200188VaqqWdWdrrardrqa书中例题8.33(P.338)圆柱形电容器长为L，半径分别为R1、R2，长度LR2－R1带电量分别为＋Q和－Q。求：球形电容器的电场中的能量。解：由高斯定理可求出电场强度为：02qELr电场能量密度为：2202220128qwELr取圆柱薄层半径为r，厚度为dr，长为L，则体元为：dV＝2πrLdr体元中电场的能量：2222200284qqdWwdvrLdrdrLrLr圆桶之间的电场能量为R1到R2间的积分：21222001ln44RVRRqdrqWwdvLrLR电容器的并联与串联并联时：U1＝U2＝……＝Un＝Uq＝q1＋q2＋……＋qn121212..................nnnqqqqCUUqqqUUUCCC串联时：q1＝q2＝……＝qn＝qU＝U1＋U2＋……＋Un12122121......11111............nnqCUUUUqUUUCCCqqq整理得∴121111......nCCCC书中例题8.35(P.339)如图两电容并联C1＝1μF，u1＝100VC2＝1μF，u2＝200V将电容器的正极与正极相联，负极与负极相联。求：并联前后电容器所储存的静电能。解：并联前W1＝½C1u12＝½×1.0×10－6×1002＝0.005(J)W2＝½C2u22＝½×2.0×10－6×2002＝0.04(J)总能量：W＝W1＋W2＝0.045（J）并联后，C＝C1＋C2，Q＝Q1＋Q2222121122()()0.042()222QQCuCuQWJCCC并联后能量减少了0.003JC1C2第九节静电场中的电介质将绝缘物质（电介质）插在两平行电极之间时，虽然电荷不能通过电介质，但在电介质中会感应出极化电荷。极化的微观机制：i．无极分子：分子的正负电荷中心重合，分子无电偶极矩。在外电场的作用下，分子的正负电荷受到相反方向的电场力，使正负电荷中心发生微小的相对位移，从而形成电偶极子，并沿外电场方向排列起来。在电介质内部，前后电荷互相抵消，只有在表面产生极化电荷。这种极化称为位移极化。Eii．有极分子：分子的正负电荷中心不重合，分子存在电偶极矩。在没有外加电场时，分子的电偶极矩的取向无规则，电解质呈电中性。在有外加电场时，分子的电偶极矩沿外电场方向定向排列起来，最终结果使介质表面呈现出极化电荷。这种有极分子定向取向造成的极化称为取向极化E电解质内的电场强度电解质内部任意一点的电场强度E应等于极板上的自由电荷产生的电场强度E0与极化电荷产生的电场强度E’的矢量和。即：E＝E0＋E’自由电荷产生的电场强度：E0＝σ0/ε0极化电荷产生的电场强度：E’＝σ’/ε0E0与E’的方向相反∴E＝E0－E’＝σ0/ε0－σ’/ε0(1)E0可用真空中的平行板电容器测量出来，也可计算出来；E’无法测量出来，也很难计算出来；E可用介质中的平行板电容器测量出来：将平行板电容器放入电解质（油）中，测量电势U的变化，发现电势由U0减小为U，为原来电势的1/εr倍:U＝U0/εrεr称为相对电容率或相对介电常数相应的电场强度：E＝E0/εr代人（1）式得：0001'1rr由此得出极化电荷密度是自由电荷密度的1－1/εr倍。εr由电介质材料决定的。－－－－E0EE’＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋―――――――――――+σ0－σ’-σ’+σ0电介质中的高斯定理电位移矢量D在平行板电容器中取高斯面根据高斯定理，电荷应包含自由电荷和极化电荷。001(')SEdSS将01'1r代人得0000000111(')1rr