第8章单位根协积和格兰杰因果关系

第8章、单位根、协积和格兰杰因果关系谬误回归（spuriousregression）：两个没有任何逻辑联系的序列进行回归，含有很高的R2，因为两个序列都与时俱进（具有时间趋势）。例子，考研人数与手机数量。那么，消费函数Cy也是谬误回归吗？点击美国消费数据文件，工具栏中选择quick/graph，输入coy，观察图形。当我们引入平稳和非平稳的概念。如果消费、收入和残差是非平稳的，那么所有的统计量全部失效了。并且，我们将发现，消费和收入确实是非平稳的。本节使用单位根、协积和格兰杰因果关系来研究这个问题。§1、单位根1、平稳性定义：随机过程{yt}是弱平稳的（weaklystationary，covariancestationary），若（1）Eyt与t无关（2）var(yt)是与t无关的常数（3）cov(yt,ys)是t-s的函数，但不是t或s的函数2、AR(1)过程定义：yt服从一阶自回归过程（autoregressiveprocess），记为AR(1)，若1tttyy其中t是白噪声（whitenoise，即0,tE2var()t，cov(,)0ts），||1。3、AR(1)过程是平稳序列吗？若yt服从AR(1)过程，1tttyy试计算yt的均值、方差和自相关函数。定理：若||1，则AR(1)过程是平稳过程。因为（1）1tEy（2）2||2cov(,)1htthyy，22var()1ty（3）||(,)hth证明：（1）1()11ittitiEyE（2）依据协方差的定义，有00000020cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)var()iitthitijthjijijtithjijjitithjhjjthjyy220221hjjh（3）||cov(,)(,)var()htthtyythy观察：若||1，{yt}还是平稳过程吗？为什么？看图识平稳。下面分别给出时间序列的图形和程序。是平稳过程吗？y(1)=0;fort=1:1200y(t+1)=5+0.8*y(t)+2*randn;end;plot(y)y(1)=0;fort=1:1200y(t+1)=5+0.1*y(t)+2*randn;end;plot(y)y(1)=0;fort=1:1200y(t+1)=5+0.0001*y(t)+2*randn;end;plot(y)y(1)=0;fori=1:1200y(t+1)=5+0.95*y(t)+2*randn;end;plot(y)y(1)=0;fort=1:1200y(t+1)=5+0.9999*y(t)+2*randn;end;plot(y)y(1)=0;fort=1:1200y(t+1)=5+1.0*y(t)+2*randn;end;plot(y)y(1)=0;fort=1:1200y(t+1)=5+1.1*y(t)+2*randn;end;plot(y)4、积分过程积分过程（integratedprocess），也译为“单整过程”或者“求和过程”。定义：{yt}是非平稳过程，但是一阶差分以后1(1)ttttyLyyy是平稳过程。称{yt}为一阶积分过程，记为I(1)。定义：I(d)过程，若(1)ddttyLy是平稳过程。显然，I(0)过程是平稳序列。习题：将yt进行d阶差分，即1()ddttyy，展开以后观察是否等于(1)dtLy。Ld表示d阶滞后算子，即Ldyt＝yt－d。当回归模型中含有非平稳的I(d)序列时，常规的统计推断都不再成立，因此必须检验被解释变量和解释变量是不是平稳的。标准的检验方法是“单位根检验”。5、单位根单位根过程（unitroot）随机游动（randomwalk）I(1)过程1的AR(1)过程使用数学记号表示为1tttyy其中t是白噪声。练习：计算I(1)过程的均值和方差12101()tttttttiiyyyyt0tEyEyt20var()var()tyyt6、单位根检验（1）DF检验（Dickey－Fullertest）1tttyy等价于11(1)ttttyyy1tttyy其中1。如果存在单位根，即1，那么0。因此定义原假设H0：0等价于0H:1似乎可以直接对1tttyy进行线性回归，并进行系数的t检验，但是这是不对的。因为在存在单位根的原假设下，系数的t统计量不再服从常规的t分布了。Dickey和Fuller（1979）证明了分布不是标准的t分布，并模拟了给定样本大小的临界值。比如，下面的定理。定理（Dickey－Fuller检验）：若H0为真，那么0Pr((1)21.8|H0.05TT为真）0Pr(3.41|H0.05Tt为真）证明：见《FinancialEconometrics》，GourierouxandJasiak。使用这个定理不太方便，Eview给出了更加方便的结果。（2）使用Eviews进行单位根检验Eviews提供了如下三种检验形式：包含常数项1tttyy包含常数项和线性时间调整项1tttyty无常数项和线性时间调整项1tttyy如果时间趋势和常数都不显著，就改为无常数项和线性时间调整项的情形。选择Quick/SeriesStatistics/UnitRoottest，输入序列名即可。Laggeddifferences为0即为DF检验Laggeddifferences不为0即为ADF检验例子：美国消费和可支配收入的ADF检验消费和收入的图形为0100020003000400030354045505560657075808590COY感觉消费和收入是平稳序列吗？对y进行ADF检验。滞后期为0，即DF检验。ADFTestStatistic-2.1899751%CriticalValue*-4.10355%CriticalValue-3.479010%CriticalValue-3.1669*MacKinnoncriticalvaluesforrejectionofhypothesisofaunitroot.AugmentedDickey-FullerTestEquationDependentVariable:D(Y)Method:LeastSquaresDate:11/26/04Time:17:14Sample(adjusted):19301994Includedobservations:65afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.Y(-1)-0.0467090.021329-2.1899750.0323C2.3552289.6814460.2432720.8086@TREND(1929)3.8440711.1485743.3468210.0014R-squared0.359151Meandependentvar49.99385AdjustedR-squared0.338478S.D.dependentvar47.27257S.E.ofregression38.44867Akaikeinfocriterion10.18158Sumsquaredresid91654.63Schwarzcriterion10.28194Loglikelihood-327.9014F-statistic17.37329Durbin-Watsonstat1.693296Prob(F-statistic)0.000001表中Y(-1)、C和@Trend分别表示模型中的参数,和。D(Y)表示消费的一阶差分。观察下面的命令：如何读表？注意1，从而0，因此观察分布的左边即可。Eviews软件给出了ADF统计量（统计量）的数值以及1％、5％和10％三个显著性水平的临界值。如果以5％作为显著性水平，那么若统计量在5％CV左边，则拒绝H0，即无单位根，序列是平稳的。若统计量在5％CV右边，并且为负，则不能拒绝H0，即有单位根，序列是非平稳的。若统计量在5％CV右边，并且为正，则序列是爆炸性的，显然也是非平稳的。ADFTestStatistic为10.16257，比显著性水平为10%的临界值都大，因此不能拒绝原假设，即序列存在单位根，是非平稳的。实际上，是爆炸性的序列。注意：按照多元线性回归的t统计量，Y(-1)的系数是显著的！！！1YYttt按照ADF检验，不显著。因此，这说明非平稳时间序列的回归的t统计量和F统计量是无效的。不能使用非平稳时间序列的t统计量做显著性检验。7、ADF检验当yt为AR(1)过程时，DF检验是有限的。若ty为AR(p)过程，那么必须使用ADF检验（AugmentedDF）。将AR(p)过程写成如下差分的形式，1112211ttttptptyyyyy注意p等于1时，ADF检验就退化为DF检验。因此，DF是ADF的特例：110p。Eviews实现：与DF一样，除了Laggeddifferences选择p即可。如何选择p：找AIC和SC最小的p。回顾AIC和SC定义：AIC准则（Akaikeinformationcriterion）2ln2AICLKnnAIC越小越好，结合如下两者：K（自变量个数）减少，模型简洁LnL增加，模型精确SC准则（Schwazcriterion）2lnln()SCLKnnn例子：消费和收入的ADF检验通过调整ADF检验的滞后期，取AIC和SC最小的滞后期。8、PP检验（Pillips－perron）不作要求。9、I(d)过程的检验d阶积分过程的定义：原始序列是非平稳过程，但是经过d次差分后是平稳过程，记为I(d)。我们按照这个定义进行检验，以I(1)为例。检验yt是I(1)过程：step1：yt是非平稳的step2：差分序列yt是平稳的（单位根检验时，改为1stdifference）例子：消费、收入和GDP是积分过程吗？§2、协积协积（cointegration，协整）的重要意义：1.两个非平稳时间序列之间的线性回归的t检验和F检验是无效的。但是，Granger指出如果两个非平稳时间序列之间有协积关系，那么线性回归的t检验和F检验是有效的。2.Granger还指出，如果两个时间序列存在协积关系，那么这两个序列至少在一个方向上存在Granger因果关系。不是谬误回归。1、协积定义随机过程tx和ty都是非平稳的，但两者的线性组合却有可能是平稳的，这个线性组合反映了tx和ty之间存在长期的均衡关系。协积的数学定义：考虑下面的回归方程tttyx其中tx和ty都是I(d)过程（一般情况下，t也是I(d)），但t是I(0)即为平稳过程。那么称tx和ty是协积的，(1,)是协积向量。协积的含义：如果回归残差是平稳的，那么t检验和F检验仍然可用。反过来想，若残差不平稳，不满足2()0,var()ttE，无自相关，违反了多项线性回归的第三个假设，t检验和F检验都无效。因此，单位根和协积的意义在于迫使我们去检查回归残差是否平稳。（※※※※）2、协积检验：Engle－Granger检验多变量协积的定义和检验要用VAR模型和Johansen检验。下面只考虑最常见的两变量情形。EG检验：依据定义即可，下面以消费函数为例step1：消费co是I(d)过程1step2：收入y也是I(d)过程step3