第8章反常积分练习

1第8章反常积分§1反常积分的概念与计算问题的提出:针对Riemann积分的缺陷⑴要求积分区间有限;⑵被积函数有界再结合[1]P264两例.广义积分亦称为Cauchy—Riemann积分,或C—R积分.一.无穷限广义积分:1．概念和几何意义：定义AaAF)(，aaFFf)()(.几何意义:例1⑴讨论积分021xdx,021xdx,21xdx的敛散性.⑵计算积分0252xxdx.例2讨论以下积分的敛散性:⑴1pxdx;⑵2)(lnpxxdx.例3讨论积分axdxcos的敛散性.2.无穷积分的性质:⑴)(xf在区间),[a上可积,k为常数,则函数k)(xf在区间),[a上可积,且akdxxkf)(adxxf)(.⑵)(xf和)(xg在区间),[a上可积)(xf)(xg在区间),[a上可积,且agf)(afag.2§2反常积分的收敛判别法无穷积分收敛的Cauchy准则:(翻译.,)(ABAF)Th积分adxxf)(收敛AAdxxfAAAA)(,,,,0.⑷绝对收敛与条件收敛:定义概念.绝对收敛收敛,(证)但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分.3.无穷积分判敛法:非负函数无穷积分判敛法:对非负函数,有)(AF↗.非负函数无穷积分敛散性记法.⑴比较判敛法:设在区间),[a上函数)(xf和)(xg非负且)(xf)(xg，又对任何Aa,)(xf和)(xg在区间],[Aa上可积.则agaf；afag.(证)例4判断积分0225)1sin(dxxx的敛散性.比较原则的极限形式:设在区间),[a上函数0,0fg,cgfxlim.则ⅰ0caf与ag共敛散;ⅱc0ag时,af；ⅲc,ag时,af.(证)⑵Cauchy判敛法:(以1pxdx为比较对象,即取)(xgpx1.以下a0)3设对任何Aa,)(xf],[AaC,0)(xfpx1且p1,af；若)(xfpx1且p1,af.Cauchy判敛法的极限形式:设)(xf是在任何有限区间],[Aa上可积的正值函数.且)(limxfxpx.则ⅰ,0,1paf；ⅱ,0,1paf.(证)例5讨论以下无穷积分的敛散性:ⅰ0);0(,dxexxⅱ052.1dxxx[1]P324E6⑶其他判敛法:Abel判敛法:若)(xf在区间),[a上可积,)(xg单调有界,则积分adxxgxf)()(收敛.Dirichlet判敛法:设AafAF)(在区间),[a上有界，)(xg在),[a上单调,且当x时，)(xg0.则积分adxxgxf)()(收敛.例6讨论无穷积分1sindxxxp与1cosdxxxp)0(p的敛散性.例7例7证明下列无穷积分收敛,且为条件收敛:12sindxx,12cosdxx,14sindxxx.4例8(乘积不可积的例)设)(xfxxsin,x),1[.由例6的结果,积分1)(dxxf收敛.但积分1)()(dxxfxf12sindxxx却发散.(参阅例6)二.反常积分:先介绍函数的瑕点.1.瑕积分的定义:以点b为瑕点给出定义.然后就点a为瑕点、点),(bac为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明.例9判断积分1021xdx的敛散性.例10讨论瑕积分10)0(qxdxq的敛散性,并讨论积分0pxdx的敛散性.2.瑕积分与无穷积分的关系:设函数)(xf连续,b为瑕点.有baabxbtdtttbfdxxf12111)(,把瑕积分化成了无穷积分;设0a,有aaaxttdttgtdttgdxxg011022111)(，把无穷积分化成了瑕积分.可见,瑕积分与无穷积分可以互化.因此,它们有平行的理论和结果.例11证明瑕积分101sin1dxxx当2时收敛.证12110sindttttx,由例6,该积分当2时收敛.1.瑕积分判敛法:Th(比较原则)见教材Th10-23.5推论1(Cauchy判别法)推论2(Cauchy判别法的极限形式)例12判别下列瑕积分的敛散性:⑴10,lndxxx(注意被积函数非正).⑵21lndxxx.例13讨论非正常积分011dxxx的敛散性.三.C—R积分与R积分的差异:1.)(xfR],[ba在],[ba上)(xf)1(0;但)(xf在区间),[a上可积,)(xf在区间),[a上有界.例如函数.1,0,,)(nxxnxnxf但2.)(xfR],[ba,|)(xf|R],[ba,但反之不确.R积分是绝对型积分.|)(xf|在区间),[a上可积)(xf在区间),[a上可积,但反之不确.C—R积分是非绝对型积分.3.)(xf,)(xgR],[ba)(xf)(xgR],[ba;但)(xf和)(xg在区间),[a上可积)(xf)(xg在区间),[a上可积.可见,)(xf在区间),[a上可积)(2xf在区间),[a上可积.