2009~2013年高考真题备选题库第8章平面解析几何第9节圆锥曲线的综合问题考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2013安徽,5分)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为________.解析:本题考查直线与抛物线的位置关系,圆的性质,考查考生的转化与化归能力.法一:设直线y=a与y轴交于点M,抛物线y=x2上要存在C点,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有交点即可,也就是使|AM|≤|MO|,即a≤a(a0),所以a≥1.法二:易知a0,设C(m,m2),由已知可令A(a,a),B(-a,a),则AC=(m-a,m2-a),BC=(m+a,m2-a),因为AC⊥BC,所以m2-a+m4-2am2+a2=0,可得(m2-a)(m2+1-a)=0.因为由题易知m2≠a,所以m2=a-1≥0,故a∈[1,+∞).答案:[1,+∞)2.(2013浙江,4分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若|FQ|=2,则直线l的斜率等于________.解析:本题考查抛物线方程、性质,直线与抛物线的位置关系,考查数形结合思想及运算求解能力.法一:注意到|FQ|=2,正好是抛物线通径的一半,所以点Q为通径的一个端点,其坐标为(1,±2),这时A,B,Q三点重合,直线l的斜率为±1.法二:令直线l的方程为x=ty-1,由x=ty-1,y2=4x,得y2-4ty+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=4,x1+x2=4t2-2,所以xQ=2t2-1,yQ=2t,|FQ|2=(xQ-1)2+y2Q=4,代入解得,t=±1或t=0(舍去),即直线l的斜率为±1.答案:±13.(2013新课标全国Ⅱ,12分)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)右焦点的直线x+y-3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(1)求M的方程;(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.解:本题考查用待定系数法求椭圆方程以及直线与椭圆位置关系的问题,考查利用函数思想求最值,体现对考生综合素质特别是对考生分析问题、解决问题以及化归与转化能力的考查.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则x21a2+y21b2=1,x22a2+y22b2=1,y2-y1x2-x1=-1,由此可得b2x2+x1a2y2+y1=-y2-y1x2-x1=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y0x0=12,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(3,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程为x26+y23=1.(2)由x+y-3=0,x26+y23=1,解得x=433,y=-33,或x=0,y=3.因此|AB|=463.由题意可设直线CD的方程为y=x+n-533<n<3,设C(x3,y3),D(x4,y4).由y=x+n,x26+y23=1得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=-2n±29-n23.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=2|x4-x3|=439-n2.由已知,四边形ACBD的面积S=12|CD|·|AB|=8699-n2.当n=0时,S取得最大值,最大值为863.所以四边形ACBD面积的最大值为863.4.(2013浙江,15分)如图,点P(0,-1)是椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程;(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.解:本题考查椭圆的几何性质,直线与圆的位置关系,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.(1)由题意得b=1,a=2.所以椭圆C1的方程为x24+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为y=kx-1.又圆C2:x2+y2=4,故点O到直线l1的距离d=1k2+1,所以|AB|=24-d2=24k2+3k2+1.又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0.由x+ky+k=0,x2+4y2=4,消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故x0=-8k4+k2.所以|PD|=8k2+14+k2.设△ABD的面积为S,则S=12|AB|·|PD|=84k2+34+k2,所以S=324k2+3+134k2+3≤3224k2+3·134k2+3=161313,当且仅当k=±102时取等号.所以所求直线l1的方程为y=±102x-1.5.(2013江西,13分)如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P(1,32),离心率e=12,直线l的方程为x=4.(1)求椭圆C的方程;(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.解:本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系等,旨在考查考生综合应用知识的能力.(1)由P1,32在椭圆上得,1a2+94b2=1.①依题设知a=2c,则b2=3c2.②②代入①解得c2=1,a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)法一:由题意可设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-1).③代入椭圆方程3x2+4y2=12并整理,得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-34k2+3.④在方程③中令x=4得,M的坐标为(4,3k).从而k1=y1-32x1-1,k2=y2-32x2-1,k3=3k-324-1=k-12.由于A,F,B三点共线,则有k=kAF=kBF,即有y1x1-1=y2x2-1=k.所以k1+k2=y1-32x1-1+y2-32x2-1=y1x1-1+y2x2-1-321x1-1+1x2-1=2k-32·x1+x2-2x1x2-x1+x2+1.⑤④代入⑤得k1+k2=2k-32·8k24k2+3-24k2-34k2+3-8k24k2+3+1=2k-1,又k3=k-12,所以k1+k2=2k3.故存在常数λ=2符合题意.法二:设B(x0,y0)(x0≠1),则直线FB的方程为y=y0x0-1(x-1),令x=4,求得M4,3y0x0-1,从而直线PM的斜率为k3=2y0-x0+12x0-1,联立y=y0x0-1x-1,x24+y23=1,得A5x0-82x0-5,3y02x0-5,则直线PA的斜率为k1=2y0-2x0+52x0-1,直线PB的斜率为k2=2y0-32x0-1,所以k1+k2=2y0-2x0+52x0-1+2y0-32x0-1=2y0-x0+1x0-1=2k3,故存在常数λ=2符合题意.6.(2013福建,13分)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9).(1)求证:点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若△OCM与△OCN的面积比为4∶1,求直线l的方程.解:本小题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.法一:(1)依题意,过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x=i,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=i10x.设Pi的坐标为(x,y),由x=i,y=i10x,得y=110x2,即x2=10y.所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10.由y=kx+10,x2=10y,得x2-10kx-100=0,此时Δ=100k2+4000,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=10k,①x1·x2=-100.②因为S△OCM=4S△OCN,所以|x1|=4|x2|.又x1·x20,所以x1=-4x2,分别代入①和②,得-3x2=10k,-4x22=-100,解得k=±32.所以直线l的方程为y=±32x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.法二:(1)点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在抛物线E:x2=10y上.证明如下:过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x=i,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=i10x.由x=i,y=i10x,解得Pi的坐标为i,i210.因为点Pi的坐标都满足方程x2=10y,所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)同法一.7.(2012辽宁,5分)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为()A.1B.3C.-4D.-8解析:因为P,Q两点的横坐标分别为4,-2,且P,Q两点都在抛物线y=12x2上,所以P(4,8),Q(-2,2).因为y′=x,所以kPA=4,kQA=-2,则直线PA,QA的方程联立得y-8=4x-4y-2=-2x+2,即y=4x-8y=-2x-2,可得A点坐标为(1,-4).答案:C8.(2012北京,5分)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为________.解析:直线l的方程为y=3(x-1),即x=33y+1,代入抛物线方程得y2-433y-4=0,解得yA=433+163+162=23(yB<0,舍去),故△OAF的面积为12×1×23=3.答案:39.(2009·宁夏、海南,5分)已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A、B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为________.解析:抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),∴p2=1,抛物线方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,y21=4x1①y22=4x2②①-②得y21-y22=4(x1-x2),∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),∴y1-y2x1-x2=1,∴直线l的斜率为1,且过点(2,2),∴直线方程为y-2=x-2,∴x-y=0.答案:x-y=010.(2012新课标全国,12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为42,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解:(1)由已知