第8篇第1节跟踪训练40直线与方程

1/11第八篇平面解析几何第1节直线与方程质疑探究1：任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？提示：每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．质疑探究2：直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确．由k＝tanθθ≠π2知(1)当θ∈[0，π2)时，k0，θ越大，斜率就越大；(2)当θ∈[π2，π)时，k0，θ越大，斜率也越大．2．直线方程的五种形式2/11名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式斜率k与截距by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)、(x2，y2)(其中x1≠x2、y1≠y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)截距式截距a与bxa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用质疑探究3：截距是距离吗？提示：直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．3．两条直线位置关系的判定斜截式一般式直线方程y＝k1x＋b1y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0斜截式一般式平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0B2C1－B1C2≠0或A1B2－A2B1＝0A1C2－A2C1≠0重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝0B2C1－B1C2＝0或A1B2－A2B1＝0A1C2－A2C1＝03/114.两条直线的交点设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0.(1)若方程组有唯一解，则l1与l2相交，此解就是l1、l2交点的坐标；(2)若方程组无解，则l1与l2无公共点，此时l1∥l2；(3)若方程组有无数组解，则l1与l2重合．5．几种距离(1)两点距离两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12(2)点线距离点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)线线距离两平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B21．若直线过点P(1－a,1＋a)，Q(3,2a)，且倾斜角为135°，则a等于()A．12B．－12C．14D．－14解析：由题意知直线PQ的斜率k＝2a－1＋a3－1－a＝a－12＋a＝－1，解得a＝－12.故选B.答案：B2．点(1,1)到直线x＋2y＝5的距离为()A．55B．855C．355D．2554/11解析：直线方程化为一般式x＋2y－5＝0，所以d＝|1＋2×1－5|12＋22＝25＝255.故选D.3．若直线x－2y＋4＝0与直线kx＋y－2＝0垂直，则k等于()A．2B．－2C．12D．－12解析：由两直线垂直的充要条件，得1×k＋(－2)×1＝0，解得k＝2.故选A.答案：A4．过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距之和等于0的直线方程为_____．解析：设直线在x、y轴上的截距为a，b，由已知a＋b＝0，①当a＝0时，b＝0，此时直线过坐标原点O.故k＝－4－03－0＝－43，方程为y＝－43x，即4x＋3y＝0.②当a≠0时，b＝－a，由截距式方程得直线方程为xa＋y－a＝1，即x－y－a＝0.由M在直线上得3－(－4)－a＝0，解得a＝7.此时直线方程为x－y－7＝0，故直线方程为4x＋3y＝0或x－y－7＝0.答案：4x＋3y＝0或x－y－7＝0即时突破1直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是()A．0，π2B．(0，π)C．－π4，π4D．0，π4∪34π，π解析：由xsinα－y＋1＝0得y＝xsinα＋1.设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝sinα，∵－1≤sinα≤1，∴－1≤tanθ≤1.5/11又∵0≤θ＜π，∴0≤θ≤π4或3π4≤θπ，∴倾斜角θ的变化范围为0，π4∪34π，π，故选D.即时突破2已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程．(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为16.解：(1)法一设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知得(3k＋4)4k＋3＝±6，解得k＝－23或k＝－83.故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.法二由题知直线l在x轴、y轴上的截距均不为0，设直线l的方程为xa＋yb＝1，则由题意得12|ab|＝3，－3a＋4b＝1，即ab＝6，4a－3b＝ab①或ab＝－6，4a－3b＝ab.②解①得a＝3，b＝2，或a＝－32，b＝－4，②无解．6/11所以直线方程为x3＋y2＝1或x－32＋y－4＝1，即2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为y＝16x＋b，它在x轴上的截距为－6b，由已知得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.即时突破3已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1解：(1)由题意得m2－8＋n＝0，2m－m－1＝0，解得m＝1，n＝7.即m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(m，－1)．(2)∵l1∥l2，∴m2－16＝0，－m－2n≠0，解得m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2.即m＝4，n≠－2时或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.(3)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2.又－n8＝－1，∴n＝8.即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.7/11P216[课时跟踪训练(04)直线与方程]216页[2015年高三总复习][皮山县高级中学：艾沙江老师编制2015年2月10日]8/11课时跟踪训练(04)直线与方程一、选择题1．已知两点A(－3，3)，B(3，－1)，则直线AB的倾斜角等于()A．π3B．2π3C．π6D．56π解析：斜率k＝－1－33－－3＝－33，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝56π.故选D.答案：D2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：①当a＝0时，y＝2不合题意．②a≠0，x＝0时，y＝2＋a.y＝0时，x＝a＋2a，则a＋2a＝a＋2，得a＝1或a＝－2.故选D.答案：D3．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为()A．2x＋y－1＝0B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0D．x－2y＋7＝0解析：因所求直线与直线x－2y＋3＝0垂直，故可设为2x＋y＋m＝0.又因为所求直线过点(－1,3)，所以有2×(－1)＋3＋m＝0，解得m＝－1.故所求直线方程为2x＋y－1＝0.故选A.答案：A4．(2014济南一模)已知直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0与l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于()9/11A．－1B．2C．0或－2D．－1或2解析：由l1∥l2，得(a－1)×a－2×1＝0，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，l1：－2x＋2y＋1＝0，即2x－2y－1＝0，l2：x－y＋3＝0，显然l1∥l2.当a＝2时，l1：x＋2y＋1＝0，l2：x＋2y＋3＝0，显然l1∥l2，综上，a＝－1或2.故选D.答案：D5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点()A．(0,4)B．(0,2)C．(－2,4)D．(4，－2)解析：直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)．故选B.答案：B6．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为()A．x＋2y－6＝0B．2x＋y－6＝0C．x－2y＋7＝0D．x－2y－7＝0解析：法一设直线方程为xa＋yb＝1，∵直线过点P(1,4)，∴1a＋4b＝1，即a＝bb－4.∵a0，b0，∴bb－40，即b4.∴a＋b＝b＋bb－4＝b＋4b－4＋1＝(b－4)＋4b－4＋5≥9.(当且仅当a＝3，b＝6时，“＝”成立)，故直线方程为2x＋y－6＝0.故选B.法二设直线方程为xa＋yb＝1(a0，b0)，∵直线过点P(1,4)，10/11∴1a＋4b＝1.∴a＋b＝(a＋b)×(1a＋4b)＝1＋4ab＋ba＋4＝5＋(4ab＋ba)≥5＋24ab×ba＝9.(当且仅当4ab＝ba，即b＝2a，也就是a＝3，b＝6时等号成立)∴截距之和最小时直线方程为x3＋y6＝1，即2x＋y－6＝0.故选B.答案：B二、填空题7．已知直线l经过点P(2014,1)，Q(2014，m2)(m∈R)，则直线l的倾斜角的取值范围是________．解析：直线l的斜率k＝m2－12013－2014＝1－m2.因为m∈R，所以k∈(－∞，1]，所以直线l的倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[π2，π).答案：[0，π4]∪[π2，π)8．过点(3,0)且倾斜角是直线x－2y－1＝0的倾斜角的两倍的直线方程为______．解析：设直线x－2y－1＝0的倾斜角为α，则tanα＝12.∴所求直线的斜率k＝tan2α＝2tanα1－tan2α＝43.故直线方程为y－0＝43(x－3)，即4x－3y－12＝0.答案：4x－3y－12＝09．已知A(3,0)，B(0,4)，点P(x，y)在直线AB上，则x2＋y2的最小值为________．解析：直线AB的方程为x3＋y4＝1，即4x＋3y－12＝0，而x2＋y2表示P点与坐标原点O的距离，故其最小值为点O到直线AB的距离d＝|－12|42＋32＝125.答案：12511/1110．过两直线x＋3y－10＝0和y＝3x的交点，并且与原点距离为1的直线方程为____________．解析：设所求直线为(x＋3y－10)＋λ(3x－y)＝0，整理得(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0.由点到直线距离公式得|－10|1＋3λ2＋3－λ2＝1，解得λ＝±3.∴所求直线为x＝1或4x－3y＋5＝0.答案：x＝1或4x－3y＋5＝0三、解答题11．已知A(1，－4)，B(3，－2)和直线l：4x－3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使得|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离等于3.解：由|PA|＝|PB|知点P在线段AB的中垂线上，而kAB＝－2－－43－1＝1，AB中点M1＋32，－4－22，即M(2，－3)．故AB中垂线的斜率k＝－1kAB＝－1，其方程为y－(－3)＝－1×(x－2)，即y＝－x－1.设P(a，－a－1)，由已知P到直线l的距离为3，故|4a－3－a－1－2|42＋－32＝3，整理得|7a＋1|＝15，解得a＝2或a＝－167.所以点P的坐标为(2，－3)或－167，97.12．(2014合肥月考)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a、b的值．(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原